2020高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值理含解析

1、1 专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 一、选择题 1.设AB为过抛物线y2= 2px(p0)的焦点的弦，贝U |AB的最小值为( ) p A. 2 B . p C . 2p D .无法确定 答案 C p 解析 当弦AB垂直于对称轴时|AB最短，这时x = 2, y= p, |AE|min= 2p.故选C. 2 2 2已知F是双曲线X Y2= 1 的左焦点，A(1 , 4) , P是双曲线右支上的动点，则|PF +1 PA的最小值为( ) A. 4 B . 6 C . 8 D . 9 答案 D 解析 注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为 F (4 , 0)，于

2、是由双曲线定 义得 | PF |PF | = 2a= 4，故 | PF + | PA = 2a+ | PF | + | PA 4+ | AF | = 9,当且仅当 A, P, F三点共线时等号成立故选 D. 3. 已知Mxo, yo)为抛物线C: x2= 8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心， |FM为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则y。的取值范围是( ) A. (0, 2) B . 0 , 2 C. (2 ,+) D . 2 ,+) 答案 C 解析 由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为 4,且| FM4 ,根据抛物线的定义知| FM =yo+ 2，所以yo + 24，得yo2，故y

3、o的取值范围是(2 ,+). 2 2 4. 过椭圆x +豊=1的中心任作一直线交椭圆于 P, Q两点，F是椭圆的一个焦点，贝 U 25 16 PQF周长的最小值是( ) A. 14 B . 16 C . 18 D . 2O 答案 C 2 解析 如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知| FQ = |PF2| , | OR = | OQ,所以 PQF的周长为 | PF + | FQ + | PQ = | PFJ + | P| + 2| PO = 2a+ 2| PO = 10 + 2| PO，易知 2|OP的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q为椭圆的上下顶点时， PQF的 周长

4、取得最小值 10+ 2X 4= 18.故选 C. 5. （2018 豫南九校联考）已知两定点 A 1, 0）和B（1 , 0），动点 Rx, y）在直线I : y =x + 3 上移动，椭圆C以代B为焦点且经过点 P,则椭圆C的离心率的最大值为（ ） A.丄 B .卫 C . 士 D . 4 5 5 5 5 答案 A 解析 点A关于直线I : y= x+ 3 的对称点A （ 3, 2），连接A B与直线I相交，当 点P在交点处时，2a= I PA + I PB = I PA | + | PB = I A B = 2击，此时a取得最小值厢, 又c= 1，所以椭圆C的离心率的最大值为4，故选 A.

5、 5 2 2 6. （2019 厦门一中开学考试）已知 ABC三个顶点A, B C都在曲线冷+专=1上，且BC + 2OB= 0（其中O为坐标原点），M N分别为AB AC的中点，若直线 OM ON的斜率存在且 分别为k1, k2,则| k1| + | k2|的取值范围为（ ） 8 A. 9,+ B . 0，+m） 4 4 C. 0, 3 D . 3，+m 答案 D 2 2 2 2 2 2 x y XA VA XB VB 解析 由于A B都在曲线-+专=1 上，则有-+ ” 1,訂专=1,两式相减并整理可 2 2 VA V B 4 得=；，由BC+ 200 知，BC= 2OB贝U B, C关于

6、坐标原点对称，而 M N分别为 XA XB 9 AB, AC 的中点，贝y k1 = kAC, k2 = kAB,则 | 幻| + | k?| = | kA（|+ | kAB诉两両=3 、填空题 2 X 2 7. (2018 湖北黄冈中学二模 )设椭圆-+ y = 1 上任意一点 A到两条直线x2y= 0 的 距离分别为di, d2,则did2的最大值为 _ . 答案4 5 解析 设点A的坐标为(2cos a , sin a )，则 2 X 2 )已知P是双曲线 C： y = i 右支上一点，直线l是双曲 线的一条渐近线，P在I上的射影为 Q Fi是双曲线的左焦点，贝U |PF| + |PQ的

7、最小值是 答案 i+2 2 解析 设双曲线的右焦点为 F2( 3 , 0)，不妨设渐近线I : X 2y = 0，则点F2( 3, 0)到渐近线I的距离为 i，由于点P在双曲线右支上，则|P冋一|PR| = 2a= 2 寸 2, |PFi| = 2 2+ |PF| , | PF| + | PQ = 2 2+ | PR| + | PQ 沁.2+ i，当且仅当点 Q P, F2 三点共线， 且P在Q, F2之间时取等号，故| PF| + |PQ的最小值是 i + 2 2. 9. (20i8 厦门质检一)过抛物线E y2= 4X焦点的直线I与E交于 A, B两点，E在点 A, B处的切线分别与y轴交

8、于C, D两点，贝 U 42|CD TAB的最大值是 _ . 答案 8 2 yi 解析 设 A(xi, yi) , B(X2, y2)，切线 AC的方程为 X= t(y yi) + xi= t (y yi) +，代 入抛物线的方程，消去 X，得 y2 4ty + 4tyi yi= 0.由= i6t2 4(4 ty i y2) = 0,得 t = 2 2，所以直线 AC的方程为X= %y yi) +乍，其中令X= 0,得yc=月，同理可求得yD=鲁, i 2X yA yc XA XC yA yB XA XB yA+ yB XA+ XB 2 2 yA yB 2 2 XA XB 4 3，当且仅当|

9、kAB =| kAc|时，等号成立.故选 D. did2= |2cos a + 2sin 4|cos； a 1 w5,所以did2的最大值为 4 & (2018 河南六市联考 yA yB 2 |2cos a 2sin a | 4 所以| CD = 2 yi y2| .由题意，知抛物线的焦点为 F(i , 0)，则设直线 AB的方程为X= my +1,代入抛物线的方程， 消去X,得y2 4my-4= 0,所以yi+ y2= 4m yiy2= 4,所以4.2 I CD |AB = 2 2 ly1 y2| J + m | yi y2| = 2 2 . yi + y2 2 4yiy2 Qi +

10、 m p(yi+ y 2 4yiy2 = 8 眾寸 1 + m 4(1 + ni) =- 4X( Q1 + m一 眾)2 + 8，所以当5 屮+ m 时，4 CD I AB取得最大值为 8 三、解答题 2 10. (2018 济南模拟)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线Ci： x= 4y，直线l与抛物线 C交于A, B两点. 1 (1)若直线OA OB的斜率之积为4,证明：直线 y= 4 fx2( 2 2x0, X1+ X2= 4k, X1X2= 4m 1 2 1 2 X1 X2 1 1 y1 y2 4 4 X1 X2 .koA koB= = = X1 X2 X1 X2 16 1 由已知 ko

11、A- koB= 4，得 m= 1, .直线I的方程为y = kx+ 1，.直线I过定点(0 , 1). X1 + X2 设 Mx, y。)，则由(1)知 X0= 2 = 2k, . c. 2 l过定点; 若线段AB的中点M在曲线G： 由宀仪 y= kx + m 2 得 x kx m 4, 6 y0= kx0+ n= 2k + m 将 Mx。，y。)代入 C2： y = 4 4X2( 2 2x2 2)得 2k2+ m= 44(2 k)2,. m= 4 3k2, 2 2X02 2,. 2 .22k2 .2, 2k0 , 2kb0)的左、右顶点分别为 M N, a b 点P是椭圆上异于点 M N的任

12、意一点，记直线 PM PN的斜率分别为kPM kpN,满足kpMkpN =3 =4. (1) 求椭圆C的离心率； (2) 设椭圆C的左焦点为F( c, 0)，过点F的直线AB交椭圆于A B两点，AB的中点 为G AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D, E两点，O是坐标原点.记厶GFD勺面积为 2SS2 $, OED勺面积为Sa,求S+S2的取值范围. 2 2 xo yo 解(1)设 P(xo, yo)，则 g+ f= 1, 又 a2 b2 + c2,则有 a2 4c2, a2c, c 1 因此椭圆C的离心率e-=;. a 2 (2)由(1)可知 a 2c, b=疥a2 c2=寸 3c, 2

13、2 则椭圆的方程为 先+的一 1. 4c 3c2 2 xo a 2, 因为kPM- kPN-丄 Xo + a yo Xo 4 所以-02- 3 4, k2+ 1 = 2 k2,即卩 k = 9 根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零, 设直线AB的方程为y= k(x + c), A(xi，yi)，B(X2, y2)，D(XD, 0)， y = k(x + c) 联立 x2 y2 4?+ 1, 2 2 2 2 2 2 (4 k + 3)x + 8ck x + 4k c 12c = 0, 8ck2 从而有 X1+X2 = 4k+3, 6ck yi+ y2= k(xi + X2 + 2c) = 4

14、73， 2SS 9 即S + S的取值范围是 0，41 - 12. (2018 合肥质检二)已知点A(1 , 0)和动点B,以线段 x2 + y2= 4. (1) 求动点B的轨迹方程； (2) 已知点P(2 , 0) , Q2 , 1)，经过点 Q的直线I与动点 求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值. 解(1)如图，设以线段 AB为直径的圆的圆心为 C,取 消去y并整理得 所以 2 4ck 3ck 4k2+ 3，4k2 + 3 因为 3ck 4k2 + 3 DGLAB,所以一 4 k= 1, 2 XD 4k + 3 解得 ck2 XD 一 4 - 由 Rt FGD与 Rt EOD相似， 4

15、ck2 ck2 2 3ck 2 o 2 + 2 + 2 S GD 4k + 3 4k + 3 4k + 3 所以S=OD= ck2 2 4k2 + 3 9 =9+ 29, k 令 I=t,则 t9，从而 StSr， 41， AB为直径的圆内切于圆 O B的轨迹交于M N两点, 10 A ( 1, 0).11 依题意，圆C内切于圆Q 设切点为D,则O C, D三点共线. / O为AA的中点，C为AB的中点， |A B| = 2|0C. I BA | + | BA = 2|0C + 2|AC = 2|0C + 2| CD =2| OD = 4| AA | = 2. 依椭圆的定义可知，动点 2 2

16、X y B的轨迹为椭圆，设为 云十話=1(ab0)，其中|BA|十| BA =2a= 4, | AA | = 2c= 2, 2 2 2 a= 2, c = 1，b = a c = 3, 2 2 动点B的轨迹方程为+ = 1. 4 3 2 2 (2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线I的方程为x= 2，此时直线I与椭圆午+詈=1 相切，与题意不符； 当直线I的斜率存在时，设直线 I的方程为y+ 1 = k(x 2). y+1=kx2 由 x2 y2 + = 1 4 十 3 ， 得(4 k2十 3) x2 (16 k2+ 8k) x+ 16k2+ 16k8 = 0. 由 = 96(1 2k)0 ?

17、k0 , 1 + 2k ， 2(m-1 j， 所以m1. 又点Mm 0)在椭圆长轴上(不含端点)， 所以 1m 2 ,即实数m的取值范围为(1 , 2). 假设以EF为直径的圆恒过定点. 当EFLx轴时，以EF为直径的圆的方程为 x2 + y2= 1; 2 12 16 =2k 13 当EFLy轴时，以EF为直径的圆的方程为 x2 + y +才=9 ,则两圆的交点为 Q0 , 1). 3 9 下证当直线EF的斜率存在且不为 0 时，点Q0, 1)在以EF为直径的圆上. 1 设直线EF的方程为y= kox孑际工 0),14 2 X 2 2 2 4 代入-+ y = 1，整理得(2ko+ 1)x 3kox 3 16 0, 设 Eg ys) , F(X4, y