2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：51直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析

1、课时作业51直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. 已知点(a, b)在圆 C: x2+ y2= r2(r半0)的外部，贝卩 ax+ by= r2与 C 的位置关系是(D )A .相切C.内含B .相离D .相交解析：由已知 a2+ b2r2,且圆心到直线 ax+ by= r2的距离为 d,则 dr，故直线 ax+ by= r2与 C 的位置关系是相交.2. 与圆 C1: x2+ y2 6x+4y+ 12= 0, C2: x2+ y2- 14x2y+ 14 =0 都相切的直线有(A )A . 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条解析：两圆分别化为标准形式为 G：(x 3)2+ (y+

2、2)2= 1, C2： (x7)2+ (y 1)2= 36,则两圆圆心距 |GC2=7 32+ 1 2 2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所以 它们只有一条公切线.故选 A.3. 过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，则该切线 的方程为(B )A . 2x+ y 5= 0B. 2x+y 7= 0C. x 2y 5= 0D. x 2y 7= 0解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2= 5,圆的方程为(x 1)2+ y2= 5,则过点(3,1)的切线方程为(x 1) (3-1) + y(1 0)= 5,即 2x+ y 7= 0.故选 B.4. 已知圆

3、心(a, b)(a0, b0),r = |b|,则 b = 2a+ 1,r2= |a|2+ .52,所以圆的方程为(x+ 2)2+ (y+ 3)2= 9.故选 B.5. 已知圆 C1: x2+ y2+4x4y 3= 0,动点 P 在圆 C2: x2+ y24x12 = 0 上，则 PC1C2面积的最大值为(B )A . 2 5B. 4 5C. 8 5D. 20解析：因为 G( 2,2), r1= 11, C2(2,0), r2= 4,所以 |CQ2| =； 2 22+ 22=易知当 PC2丄 C1C2时，DGC2的面积最大，a= 2,解得 b= 3,r = 3,C.496其最大值 Smax=2

4、 .5X4=45.6. 已知点 M 在直线 x +y+ a = 0 上，过点 M 引圆 O: x2+ y2= 2 的切线，若切线长的最小值为 2 2，则实数 a 的值为(D )A. i22B. 3C. 4D. 2 5设圆心 O 到直线 x+y+ a= 0 的距离为 d,则 d=黑过点 M 引圆 X2+ y2= 2 的切线，切线长的最小值为 2 2,则 2+(2 2)a2=2，解得 a= 2 ,5,故选 D.7. (2019 洛阳二模)已知圆 C 的方程为 x2+ y2= 1,直线 I 的方程 为 x+ y= 2,过圆 C 上任意一点 P 作与 I 夹角为 45的直线交 I 于点 A,则|PA|

5、的最小值为(A.1C. 2 1解析：方法 1:D )B. 1D. 2 2由题意可知，直线 PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线 PA 与 y 轴平行或重合，设 P(cosa, sina，则 A(cosa, 2 cosa,/|FA|=|2cosasina=|2-一 2sin(a+4,|PA|的最小值为 2-V2，故选 D.2方法 2:由题意可知圆心(0,0)到直线 x+ y = 2 的距离圆 C 上一点到直线 x + y= 2 的距离的最小值为.21.由题意可得|PA|min= 2( 2 1) = 2- ,2，故选 D.二、填空题8 .圆 x2+ y2= 50 与圆 x2+ y2 12x 6y

6、+ 40= 0 的公共弦的长度为 2 5.解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x + y 15 = 0,原点到该直线的距离为d =解析:则公共弦的长度为 2 , r2- d2= 2 .50- 3,52= 2.5.9. 已知圆 C: (x+1)2+ (y 1)2= 1 与 x 轴切于 A 点，与 y 轴切于B 点，设劣弧 AB 的中点为 M，则过点 M 的圆 C 的切线方程是 x y+ 2 2=0.解析：因为圆 C 与两轴相切，且 M 是劣弧的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为一 1,所以过 M 的切线 的斜率为 1因为圆心到原点的距

7、离为.2,所以|OM|= 2 1,所以 皿乎1, 1-乎,所以切线方程为 y1 += x +1,整理得 x y+ 2 2 = 0.10. 过点 M(1,2)的直线 I 与圆 C: (x 3)2+ (y 4)2= 25 交于 A,B 两点，C 为圆心，当/ ACB 最小时，直线 I 的方程是 x+y 3= 0. 解析：由题意知，当/ACB 最小时，圆心 C(3,4)到直线 I 的距离4 2达到最大，此时直线 I 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为=3 111,所以直线 I 的斜率为=1,因此所求的直线 I 的方程是 y 2=(x 1), 即卩 x+ y 3= 0.11. 已知圆 M :

8、(x 1)2+ (y 1)2= 4,直线 I: x+ y 6= 0, A 为直线 I 上一点，若圆 M 上存在两点 B, C,使得/ BAC= 60则点 A 的横坐标的取值范围为1,5.解析：由题意知，过点 A 的两直线与圆 M 相切时，夹角最大，MB2当/BAC = 60 时，MA =sin304.设 A(x,6 x),所以(x sin /BAMsin301)2+ (6x 1)2= 16,解得 x= 1 或 x= 5,因此点 A 的横坐标的取值范围为1,5.三、解答题12.已知圆 C 经过点 A(2, 1),和直线 x+y= 1 相切，且圆心 在直线 y= 2x 上.(1) 求圆 C 的方程

9、；(2)已知直线 I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 I 的方程.解：(1)设圆心的坐标为 C(a, 2a),化简，得 a2 2a + 1 = 0,解得 a= 1.C(1 , 2),半径 r = |AC|=；1-22+ - 2+ 12= 2.圆 C 的方程为(x 1)2+ (y+ 2)2= 2.当直线 I 的斜率不存在时，直线 I 的方程为 x= 0,此时直线 l 被圆C 截得的弦长为 2,满足条件.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y= kx,由题意得K+ 2|3:2= 1,解得 k= 4,1 + k243二直线 l 的方程为 y= &x,即 3x +

10、 4y= 0.贝匸;a22+ 2a+ 12=|a 2a1|2综上所述，直线 I 的方程为 x= 0 或 3x+ 4y= 0.力提升练13. (2019 河南安阳一模)已知 AB 为圆 Cx2+ y2-2y= 0 的直径， 点 P为直线 y = x- 1 上任意一点，则|PA|2+ |PB|2的最小值为 6.解析：圆心 C(0,1)，设ZPCA=a,|PC| = m,则 |PA|2= m2+ 1 2 2 2 2 22mcosa,|PB|=m+12mcos(n=m+1+2mcosa, /|PA|+|PB|最小值为 2,A|PA|2+ |PB|2的最小值为 2X( .2)2+ 2= 6.14. (2

11、019 江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 圆C: x2+ y2(1) 若直线 I 平行于 AB,与圆 C 相交于 M , N 两点，|MN|=|AB|, 求直线 l 的方程；(2) 在圆 C 上是否存在点 P,使得|FA|2+ |PB|2= 12?若存在，求点 P的个数；若不存在，说明理由.解：(1)圆 C 的标准方程为(x 2)2+ y2= 4,所以圆心 C(2,0),半径为 2.2 0因为 l /AB, A( 1,0), B(1,2),所以直线 l 的斜率为=1.=2m2+2.又 C 到直线 y= x 1 的距离为 d=|0 1 1|=.2,即卩 m 的1 ( 1)设

12、直线 l 的方程为 x y+ m = 0,则圆心 C 到直线 l 的距离为 d =|2 0 + m| |2+ m|2=2.+ 22= 2 2,故直线 I 的方程为 x y = 0 或 xy4= 0.(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x，y)，则(x 2)2+ y2= 4,|RA|2+ |PB|2= (x+ 1)2+ (y 0)2+ (x 1)2+ (y 2)2= 12,化简得x2+ y2 2y 3= 0, 即卩 x2+ (y 1)2=4.因为 |2 2|v ： 2 02+ 0122 + 2,所以圆(x 2)2+ y2= 4 与圆 x2+ (y 1)2= 4 相交，所以存在点 P, 点 P

13、 的个数为 2.尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用15.(2019河南中原名校联考)已知抛物线 C:y2= 4x的焦点为 F, 过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A, B,以线段 AB 为直 径的圆 E上存在点 P, Q,使得以 PQ 为直径的圆过点 D( 2, t)，则 实数 t 的取值范围为(D )A . ( = , 1U1，+乂)B . 1,3C.( 一 OO, 27U2+7, + O)D. 2- 7, 2+ . 7因为 |MN|= |AB| =解得 m= 0 或 m= 4,解析：由题意可得直线 AB 的方程为 x=y+1,与 y2= 4x 联立消 去 x

14、,可得 y24y4= 0,设 A(X1, y) B(X2, y2)，则屮 + y2= 4, y#2yi+ y2=4,设 E(XE,yE),贝 S yE=2 =2,XE= yE+1 = 3,又|AB|=xi+ X2+ 2= yi+ 1 + y2+ 1 +2 =8,所以圆 E 是以(3,2)为圆心，4 为半径 的圆，所以点 D 恒在圆 E 夕卜.圆 E 上存在点 P, Q,使得以 PQ 为直径的圆过点 D( 2, t)即圆 E 上存在点 P, Q,使得 DP 丄 DQ,设过 Dn点的两直线分别切圆 E 于 P,Q点，要满足题意，贝 SDQ,7 t0),因为。H 被直线 x y 1 = 0, x+ y 3= 0 分成面积相等的四部 分，所以圆心 H(m, n)一定是两互相垂直的直线 x y 1 = 0, x + y3= 0 的交点，易得交点坐标为(2,1),所以 m= 2, n= 1. 又。H 截 x 轴所得线段的长为 2,所以 r2= 12+ n2=2.所以。H 的方程为(x 2)2+ (y 1)2= 2.设 N(x0,y。)，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 M ,卑i22因为 M, N 两点均在。H 上, 所以(X。 2)2+ (y 1)2= 2,所以|EPT =|DE| =4 卫 / 3+ 22+ 2 t22,整理得 t