江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

1、江苏省南通市启东市2017-2018 学年高二下学期期末考试数学试题第 I 卷（共 160 分）一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1. “ X R,2X 2 3x 4 0 ”的否定是_ .2. 函数 f x x 丄的定义域是2x 1-3. 两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2m 的概率是 _ .4. 命题 p:0 N * ，命题 q：1 Q ，则“ p 或 q ”是 _ 命题 .（填“真”、“假”）5. 函数 f x x 2 2sinx 的导函数 f x _.6. 已知函数 y f x 是 R 上奇函数，且当x 0 时 f

2、 x log 2x，贝卩f 2_.7. 已知集合 A 1,m 2 ,B m ，若 B A ，则实数 m 的值是 _8. 函数 f x x 2 2lnx 的单调减区间为_ .9. _“ f 00 ”是“函数f X 是 R 上的奇函数”的_ 条 件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）10. 设函数 y f x 图象在 x 0 处的切线方程是x y 1 0 ，则函数y f x e x 的图象在x 0 处的切线方程是_ .11. 若关于 x 的不等式 2 x 2 2ax 5 a 的解集是 1,3 ，则实数 a 的值-1-/28是 _ .12. 函数 f x |a

3、x b a 0,a 1,b R 的图象如图所示，贝U a b 的取值范围是 .|创 nO丄2X13. 已知函数 f Xx4x 2，x 0, 若函数 g x f x 2a恰有两个不同2x2eX,x 0的零点，则实数a 的取值范围是_ .14. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f x 在区间 0,上是增函数 .若存在实数t , 对任意的x 1,m , 都有 f x t f 1 lnx, 则正整数 m 的 最大值为.二、解答题( 本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4 的

4、倍数的概率；(2)求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.16. 已知集合A x0kx15,B x 1 x 2.(1) 当 k 1 时，求集合 A ；(2) 当 k 0 时，若 A B B ，求实数 k 的取值范围 .17. 如图，在圆心角为90 ，半径为60cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材-2-/28料 OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A,C 在两半径上，-3-/28现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB xcm , 圆柱形铁皮罐的容积为 V x cm 3.AO（ 1）求圆柱形铁皮罐的容积

5、V x 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（ 2）当 x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V x 最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式： V Sh ， S 为圆柱的底面枳， h 为圆柱的高）x18. 已知命题 p:函数 f x 丄乙是 R 上的奇函数，命题q：函数1 k 2I 4- 的定义域和值域都是k k x.a,b ，其中 a 1（ 1）若命题 p 为真命题，求实数 k 的值 ;若“ p 且 q ”为假命题，“p 或 q ”为真命题，求实数k 的取值 范围.19. 已知函数 f x e x ae x 1，集合 A x x 2 x 0 .（ 1） 当 a 3 时，解不等式 f

6、 x 1；（ 2） 若 B xlogf x 1 ，且 A B，求实数 a 的取值范围；2（ 3）当 a 1 时，若函数f x 的定义域为A，求函数f x 的值域 .20. 已知函数f x In x ax b a,b R.-4-/28(1)若函数f x 的图象在 x 1 处的切线过点2,0 ，求2a b 的值；(2)当 b 0时，函数 y f x 在 1, 上没有零点，求实数a 的取值e范围；(3)当 a 0 时，存在实数xi, X2 xi X2 使得 f x i f X2 ，求证：f 30.2第口卷(共 40 分)( 本大题共 4 小题，共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

7、)21. 求下列函数的导数： ( 1)y e 2x ；( 2) y 1 3x 3.22. 2 名男生、 4 名女生排成一排，问：( 1) 男生平必须排在男生乙的左边( 不一定相邻 ) 的不同排法共有多少种?(2)4 名女生不全相邻的不同排法共有多少种?23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为1，第二次投篮命中的概率为】，前两次投篮是否命中相互之间32没有影响 .第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为- ，否则为 1.34( 1) 求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；(2) 记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量, 求的概率

8、分布及数学期望n n 1 n 2 L n m 124. 已知 m,n N * ，定义 fn mm!(1) 求 f4 2 , f 4 5 的值 ;-5-/28(2 ) 证明：一、填空题2nk 2 kfn k2n 3 n 1k 1试卷答案21.x?R 2x + 3x + 4W0;2. ( ，自 u( 弓， ) (或 工一) ；3.;4. 真;5.2x + 2;6. 1;7.0;8. (0, 1);9. 必要不充分；10.2x y + 2= 0( 或 y = 2x + 2);11. 2；12. (0 ); 13.乡;0( 3, 1ue14.4.二、解答题15 . 【解】 ( 1) 记“他们抛掷的骰子

9、向上的点数之和是4 的倍数”为事件 A,基本事件共有36 个，事件 A 包含 9 个基本事件 ,故 P(A)= 1;(2) 记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件 B,基本事件共有36 个，事件 B 包含 21 个基本事件 ,故P(B)= 36Z1236答 ( 1) 他们抛掷的骰子向上的点数之和是4 的倍数的概率为 ;( 2) 甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的16.【解】 ( 1) 当 k = 1 时， A= 0 wx+ 1< 5 = -1 wxw 4;概率为 .-6-/28( 2) 因为 An B，所以 B A ,由 0w + 1 w 5,得

10、一 1 ww 4, 当0时，满足BA 成立； 当 k<0 时， ：,1，k k4 w 1由 B A , 得 k ,丄> 2k即 k>苏故 2w k 0 ,综上所述：2 w k w 0 .17. 【解】 (1) 连接，在中，由，利用勾股定理可得=,3600 - x), 设圆柱底面半径为 r，则 ,3600 - x) = 2n r,即 4n r = 3600 x，所以 V(x) =nr x =n? ，4n ) ? x= , 4 n ), 即铁皮罐的容积为V(x) 关于 x 的函数关系式为V(x) =, 4 n )，定 义域为 (0 ,60).( 2) 由 V (x) = ,4 n

11、 ) = 0, x?(0 , 60) ，得 x = 20,3) .列表如下：(0 ,x20,3)(20,3) , 60)20,3)V '(x)+0V(x)/极大值 V(20,3)所以当 x = 20,3) 时， V(x) 有极大值，也是最大值为,3), n ). 答：当 x 为20,3) 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是 ,3), n )3.-7-/2818. 【解】 ( 1) 若命题 p 为真命题，则f( - x) +f(x) = 0,化简得 (k 1)(2 x 2 x 2) 0 对任意的X ?R 成立，所以 k = 1.( 2) 若命题 q 为真命题，因为g( x)占

12、o 在 a ,b上恒成立，所以 g(x) 在 a ,b上是单调增函数，又 g(x) 的定义域和值域都是a , b，所以g(a) a,g(b) b,所以 a,b 是方程智 丄 x 的两个不相等的实根，且1 vav b.k k x即方程k2x2 k(2k 1)x 1 0有两个大于1 的实根且不相等，记 h(x) = k2x2- k(2k 1)x + 1, k(2k 1) 2 4k20,故半卫 1,解得中 k 2 ,2 k22h(1) k 2 k(2k 1) 10,所以 k 的取值范围为屮k * .因为 “p且 q”为假命题， “p或 q”为真命题，所以命题 p 和 q 中有且仅有一个为真命题，即

13、p 真 q 假，或 p 假 q 真.k 1,k 1,所以k 三宁，或 k谆或 T所以实数 k 的取值范围为于冷 u1 .19. 【解】 ( 1) 当 a= 3 时，由f(x) > 1 得一 3 1 > 1,所以 e 2 3>0,即(一 3)( + 1) >0,所以 3, 故 x>3,所以不等式的解集为(3 ,+ 8) .-8-/28(2) 由 x xW 0, 得 0wxW 1, 所以 A= 0 wxW 1.因为 An BM，所以 2f(x) >1 在 ow xWl 上有解，即 f(x) >2 在 0wxwi 上有解，即 + 3>0 在 0wxwi

14、 上有解， 所以 a> 3 e2x 在 0w xwi 上有解，即 a> 3 e2x .由 0w xWi 得 1 ww e,所以 3 e = ( ) + ?3e e , ,所以a> 3e e2.(3) 设 t =，由 ( 2) 知 1 w t w e,记 g(t) = t + 1( i w t we,a> 1)，贝U g (t) i 寻(t 岁 a) ,t(1,)(),+ 8)g(t)0+g(t)极小值 当) >e 时，即 a>e2 时，g(t) 在 1w t we 上递减，所以 g(e) wg(t) wg(1) ，即 e 自 1 w g(t) w a e 所

15、以 f(x) 的值域为 e a 1,a .e 当 1v ) v e 时，即 1v av e2 时，g(t) g()= 2) 1,g(t) g(1),g(e) a ,e 1.1° 若 a e a 1 ，即ev av e2 时， g(t) g(1)= a;e所以 f(x) 的值域为 2.、a 1,a ;2° 若 aw e i ，即1 v aWe 时， g(t) g(e) = e 1 ,ee所以 f(x) 的值域为 2 a 1,e a 1 .e-9-/28综上所述，当1v awe 时， f(x) 的值域为 2 a 1,e 旦 1 ;e当 e v av e2 时， f(x) 的值域

16、为 2. a 1,a ；当 a>e 2 时， f(x) 的值域为 e a 1,a .e20. 【解】 ( 1) 因为f '(x) = a, 所以k = f '(1) = 1 a,又因为 f(1) = a b, 所以切线方程为y + a+ b= (1 a)(x 1) ,因为过点 (2 ,0) ，所以 a+ 1 a，即 2a + b = 1.( 2) 解法一：当b= 0 时， f(x) =, 所以f '(x) = a =.10 若 aw0 , 贝 y f '(x) >0, 所以 f(x) 在 ( ，+ )上递增，所以f(x) >f() = 1 ,因

17、为函数 y = f(x) 在 ( ，+x )上没有零点，所以一1 0,即 aw e；20 若 a>0, 由 f '(x) = 0, 得 x =. 当 w 时，即 a>e 时， f ' (x) v 0, f(x) 在 ( ，+ )上递减，所以 f(x)vf() = 1 v 0，符合题意，所以ae； 当时，即0vave 时，若 v xv, f '(x) v0,f(x) 在 ( ，) 上 递增；若 x>, f ' (x) >0, f(x) 在 (，+)上递减，所以 f(x) 在 x =处取得极大值，即为最大值，要使函数 y = f(x) 在 (

18、 ， + )上没有零点，必须满足 f() = 1 = - 1 v0, 得 a>, 所以 v av e.-10-/28综上所述，实数a 的取值范围是aw e 或 a>.解法二：当b = 0 时， f(x) = ,由 f(x) = 0 得 8=，设 g(x) =，则 g (x)=.当 v xv e 时， g ' (x) >0, 所以 g(x) 在( ， e)上递增，当 x >e 时， g ' (x) v 0，所以 g(x) 在 (e，+)上递减，所以 g(x) = g(e) =,又 g() = e, 且当 x>e 时， g(x) => 0 恒成立

19、，所以 g(x) 在( ，+ )上值域为 ( e, ,要使函数 y = f(x) 在 ( ，+x )上没有零点，必须满足aw >,即所求实数a 的取值范围是aw e 或 a>.(3) 不妨设0vxiv X2,由 f(x i) =f(x 2)，得 i 一i 一 b= 2 一 2 一 b,因为 a>0,所以X2 X i iIn x 2In x i a又因为f (x)i a 七严 , f '(X) 在(0 ,+ TO)上递减，且()=0,-i11 - / 28故要证fr务 0，只要证宁只要证只要证xi x2x2 xi，只要证In x 2 In 为 X2Xi2 In X 2I

20、n x ixiX2 '1止竺 ixixi(* ),X2xiiX2记 h(t)冋 ilnt ，t (i ，Xi则h(t)2(t i) 22t-i12 - / 28所以 h(t) 在(1a,)上递减，所以 h(t)v h(1)=0所以 ( *) 成立，所以原命题成立.(3)( 法二)当 a > 0 时， f (x) - a 1 2 axxxf(x) 在 (0 , )上递增，在 ( ， +)上递减 .不妨设0 v xi vX2, 因为 f(x i) = f(x 2)，所以0 v xivv X2故要证f ( 宁) 0，只要证宁1，只要证xX2 > a2只要证 X>x因为Ov

21、xv,所以 x >,X >2i,ii2又因为 f(x) 在 ( ，+a )上递减，所以只要证 f (X2) v f(Xi)2因为 f(x i) = f(x 2)，所以只要证f(x i) v f( a xi)2 2只要i 一i 一bv (o X i) 一 a( 口 Xi) 一 b2只要证 ( ： xi) -i +2i -2>02设 h(x)= ( Q x) -+ 2-2 , 0v xv-1-X-+ 4ax -；l-2(ax- 1/h ' (x)= + 2a 讥； - 乞门：；： -v 01所以 h(x) 在(0 , )上递减，所以h(x) >h() +2 -2=0

22、2所以 ( xi) - 1+ 2i-2>0-ii - / 28所以X1X2>所以f ( 宁) 021.【解】 ( 1)y e 2x (2x) e 2x 2 2e 2x ；( 2)y 3(1 3 X)2(1 3x)9(1 3x) 2 .或 y 81 x 254 x 9 .22.【解】 ( 1)法 1 :A6 360 ，法2： A6；3602A2( 2)A6A：A3576 .答：分别有 360和 576种不同的排法 .23.【解】 ( 1)小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1- )X(1-)X (1 -)=;所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1-= .( 2)E 可能的取值为0

23、,1,2,3.P( 5 = 0)=;P(5=1)=X(1-)X(1-)+(1-)XX (1-)+(1-)X(1X)XP(5=2)=XX +XX +XX =；P(5=3)=XX =；故随机变量 5 的概率分布为5 0123P所以数学期望E( 5) = 0X+ 1X + 2X + 3X =.24 . 【解】 ( 1)f4(2) 牙6 ,f4(5) 4 3 52 1 0 0 .-14-/28m /Cn,mW n,0, m > n 1.-15-/28当 n = 1时，当 n2时，1 2C 1n2由于 k c n2n所以kk 12n 1综上所述，2nk 2 k fn (k)2n 3 n1,等式成立

24、 .k 12nk 2 k fn (k)2fn (1)222 fn (2)3 2 3 fn (3)L n 2 n fn(n)k 122C23 2 3C 3 L2nC：,(n 1)! _k k!(n(k 1)!(k 1)!( n 1)2kf (k)n 2C0FC ；1n 23C ：1n 2?nn 12n 32nn?Nk 1k 2kf(k)2 2n 3n1成立 .n-16-/282017 ? 2018 学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学 ( I) 参考答案一、 填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分.1.x?R,2x + 3x + 4W0;2.( , l) u( 1, ) (

25、或工一 ) ；3.;4 直；5.2x + 2;6. -1;7.0;8. (0,1);9. 必要不充分；10 .2x- y + 2= 0( 或 y = 2x + 2) ;11.2 ;12 .(0;13 . ( 3, 1u 冷;e14.4.二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4 的倍数的概率；(2)求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率 .【解】 ( 1) 记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4 的倍数”为事件 A,

26、基本事件共有36 个，事件 A 包含 9 个基本事件，故 RA>= 4 ; . .6 分( 2) 记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B,基本事件共有36 个，事件 B 包含 21 个基本事件，-17-/28故 RB）=36 12 - .12分答（ 1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4 的倍数的概率为 ;（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为 .14 分16. （本小题满分 14 分）已知集合 A= 0 w+ K 5 ,B= - K xw 2 .（ 1）当 k= 1 时，求集合 A;（ 2）当 k<0 时，若 An B= B ,

27、求实数 k 的取值范围 .【解】（ 1 ）当k = 1 时，A =0 w X +1w 5=-1 w xw 4 ；.z分( 2 ).4AnB,因为所以B A.6分由 0w+ 1w5, 得一 1 ww 4,当0时，满足BA成立;8 分k<010 分由B A12 分1，故1 w k 0 ,综上所-18-/2814 分17. (本小题满分 14 分 )如图，在圆心角为90°, 半径为 60 的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点 O 为圆心，点B 在圆弧上，点A， C 在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面( 不计剪裁和拼接损耗) ，设矩形的边长=x，圆柱形铁皮罐

28、的容积为 V(x) 3.( 1) 求圆柱形铁皮罐的容积V(x)关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2) 当 x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V(x)最大？最大容积是多少？( 圆柱体积公式： V=,S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高 )CO【解】 ( 1) 连接，在中，由，利用勾股定理可得=,3600 -x),设圆柱底面半径为r , 贝 V ,3600 - x)=2 n r,.2 分即 4 n r = 3600 x，所以V(x) = n rx =n? ，4 n ) ? x =,4 n ),即铁皮罐的容积为V(x)关于 x 的函数关系式为V(x)=,4 n )，定义域为 (0

29、 ,60).-19-/28( 2 ) 由 V'(x) = ,4 n ) = 0 ,x ?(0 ,60) ，得x =20,3) . 8分列表如下：x(0 ,20,3)(20,3) , 60)20,3)V '(x )+0V (x)/极大值 V(20,3). 12 分所以当 x = 20,3) 时， V(x)有极大值，也是最大值为,3), n ).答：当 x 为 20,3) 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是,3), n )3. 14分18. (本小题满分 16 分 )已知命题 p：函数 f( x) 丄乙是 R 上的奇函数，命题q：函数1 k 2g(x ) 2k-J 1-的

30、定义域和值域都是a, b，其中 a> 1.k k x(1) 若命题 p 为真命题，求实数 k 的值；(2)若“ p 且 q”为假命题，“p 或 q”为真命题，求实数k 的取值范围 .【解】 ( 1 ) 若命题 p 为真命题，贝U f( -x) + f(x)=-20-/280,2 分即焙得0,化简得 (k 1)(2 x 2 x 2) 0 对任意的X?R 成立，1.(2) 若命题 q 为真命题，因为g(x)o 在 a,b上恒成立 ,所以 g(x)在 a,b上是单调增函数，又 g(x)的定义域和值域都是 a ,b, 所以g(a)a,g(b)b,所以 a, b 是方程瞥总 x 的两个不相等的实根

31、，且1vav b.即方程 k2x2 k(2k 1)x 10 有两个大于的实根且不相等 ,10 分记 h(x) = k2x2 - k(2 k 1) x+ 1,k(2k k(2k1) 24ko,1) 2k 21,解得2h(1) kk(2k1)0,12 分因为“p 且 q”为假命题 ,“p 或 q”为真命题 ,-21-/28所以命题 p 和 q 中有且仅有一个为真命题14 分，即 p 真 q 假，或 p 假 q 真 .k 1,k 1,所以5 十1 或 151k w 宁,或 k >-1 ,宁 k2,所以 实数k的取值范围为y ，- 2 U1. . 16 分19. (本小题满分16 分)已知函数f

32、 (x) =+ x- 1，集合A= 2- xw0 .(1) 当 a=- 3 时，解不等式 f(x) > 1 ；(2) 若 B= x | 2f(x) > 1 ，且 An BM，求实数 a 的取值范围 ;(3) 当 a> 1 时，若函数f (x)的定义域为A,求函数 f(x)的值域.【解】 ( 1) 当 a=- 3 时，由 f (x) > 1 得一 3-1> 1,所以 e2x - 2 - 3 > 0 , 即 ( 一 3)(+1)>0,. 2分所以 3，故 x>3,所以不等式的解集为(3,+ . 4 分( 2) 由 x x w 0, 得 0w xw 1

33、，所以A= 0 w xw 1.因为 An BM ，所以 2 f (x) >1 在 Ow xwi 上有解，即 f (x) >2 在 Owxwi 上有解，30 在Ow xwi上 有-22-/28解，所以 a>3- 62>< 在 Ow x<1 上有解，即a> 3 - e2x .由 Ow xwi 得 1 ww e,所以 3 e = ( ) + ?3e e , ,所以a> 3e10 分(3) 设 t =，由 ( 2) 知 1 w t w e,记 g(t) = t + 1( i w t we , a > 1) ,则g(t) i 耳(t 即 a) ，tt

34、'(1,t)()，+)g，(t)0+g(t极小)值 当 ) >e 时，即 a>e 时，g(t)在 1w t we 上递减，所以g(e) w g(t) w g(1) ，即e - 1 w g(t) w a .e所 以 f (x) 的 值 域 为e a 1,a . 12 分 当 1 v) v e 时，即 1v av e2 时，-23-/28g tg() = 2)-1,gtg(1),g(e) a,.( )( )e | 11° 若 a e 空 1，即 evav e2 时， g(t) g(1)=a ；e所以f (X)的值域为2 a 1,a ；14 分2° 若 aw e 旦即 1v awe 时， g(t) g(e)=e