多面体与球的内切和外接常见类型归纳

1、多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后， 往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习 题加以总结和归类如下：B特征分析:1. 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球 心为同一个。2. R=3r. r= 6a R=a。此结论可以记忆。124例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）分析：借助结论，R=Ma=V 2二山，所以S=4 R2 =3。4422、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比

2、是分析：借助R=3r,答案为9: 1二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。SA 面ABC, ABC为直角三角形，BC AB 因为SA AC SB BC球心落在SC 的中点处。所以R=SC。2三正方体与球。1. 正方体的外接球CB即正方体的8个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面。设正方体的边长为 a,则AB= 2 a, BD=2RAD=aR=-a。2球。(1) 与正方体的各面相 切。如图：ABCD为正方 体的平行侧面的正方形。R=a2C2. 正方体的内切(2) 与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形 ABCD勺外接圆。AB=CD=aa。23. 在正方体以一个顶点

3、为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱 锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方 体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是24,它的顶点都在同一球面上，这个球的表 面积是解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R拧2 . 3，S=12。2. 个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R=1=，2 27=233. 将棱长为1的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面 都相切。R,V=4。234. P、A B、C、是球0面上的四个点，PA PB PC两两垂直

4、，且PA=PB=PC=1则球的体积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的1A1D1B10AD外接球，所以2 2四、正棱柱与球1. 正三棱柱外接球。如图所示：过 A点作AD垂直BC,D为三角形ABC的中心，D同样得到。 则球心0必落在DD的中点上。利用三角形 OAD为直角三角形，OA=RM 求出R.2. 正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。 例题：1。已知一个半径为,21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，0A= 21 ,0D=a，AD=a，可23求 a = 6, V=5432.正四棱柱 ABCD-ABiGD的各个顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角 面OD=R设AD=a底面正方形的边长为 b,则有 DC=2b，贝U R2= (a/2 ) 2+ ( - 2b/2 ) 2, S=4ba 2 a2 2b2 =4,2R2五、长方体与球A0C联系角线1. 长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形, 半径与长方体的长宽高。半径为体对 的一半。2. 在长方体以一个顶点为交点的三条 成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求 解。例题：一个三棱锥