2020年浙江高三数学总复习:数列与数学归纳法检测卷(二)(数列综合)_第1页
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1、第九章数列与数学归纳法检测卷(二)(数列综合)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)1.设数列 an 的通项公式为 an=n2+bn,若数列 an是单调递增数列,则 实数 b 的取值范围为()(A)(-2,+ 乂)(B)-2,+)(C)(-3,+ 乂)(D)(- 乂,-3)11 12.数列 1,:, -二一,的前 n 项和为()2n2nn + 2(A) I (B)(C)(D)3.已知数列 an 是等差数列,若 a2,a4+3,a6+6 构成公比为 q 的等比数列,则 q 等于()(A)1(B)2 (C)3 (D)44. 我国古代数学名著算法统宗中有如

2、下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的底层共有灯()(A)186 盏(B)189 盏(C)192 盏(D)96 盏5. 已知 S 为数列an的前 n 项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若关于正整数 n的不等式-tan4)项是公差为 2 的等差数列,从第 m-1 项起,am-1,a鬧皿+1, 成公比为 2 的等比数列.若 a2,则 m _ , an的前 6 项和 S二_.f MX为奇毅时吩为偶数时14. 数列an的递推公式为 an=(n N),可以求得这个数

3、列中的每一项都是奇数,则 a12+a15=_ ;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第 8 个 3 是该数列的第_ 项.15. 已知数列an的首项 a1=m 且 an+1+an=2n+1,如果an是单调递增数列,则实数 m 的取值范围是_.16. 设数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,nSn+(n+2)an为等差数列,则an的通项公式 an=_ .17. 已知数列an的通项公式为 an二-n+t,数列bn的通项公式为 bn=3n-3,叭 + 垢an-bn设 Cn=+,在数列Cn中,Cn C3(n N),则实数 t 的取值范围是_ .三、解答题(共 74 分)18. (本小

4、题满分 14 分)已知数列an各项均为正数,其前 n 项和为 S,且满足 4S=(an+1)2.(1) 求an的通项公式;1设 bn= r,求数列bn的前 n 项和为 Tn.19. (本小题满分 15 分)已知数列an满足 ai=2,an+i=2(Sn+ n+1)(n N),令 bn=an+1.(1) 求证:bn是等比数列;记数列nbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn;i i丄丄丄J_ n求证 J + + + .20. (本小题满分 15 分)12比已知数列an满足 a=:,an+1二:1.证明:(1)an+1an1;(2) a1+G+an1.21. (本小题满分 15 分)已知数列an的首项

5、 a1=4,前 n 项和为 S,且S+1-3Sn-2n-4=0(n N).(1) 求数列an的通项公式;(2) 设函数 f(x)=anx+an-1x2+an-2x3+a1xn,f (x)是函数 f(x)的导函数,令 bn=f (1),求数列bn的通项公式.22. (本小题满分 15 分)已知数列an满足:a1=0,ln(an+1-an)+an+nln 2=0(n N),(1)求 a3;证明:ln(2-21-n) an 1-21-n;(3) 是否存在正实数c,使得对任意的 n N;都有 anan,22即(n+1) +b(n+1)n +bn,化简可得 b-(2n+1),因为 n=1 时,-(2n+

6、1)取得最大值-3,所以 b-3,故选 C.2. B 设该数列为an,贝 Si1n(n + 1)211an=十?十+=2十 1)=2(_ 斤 + 1),11 1111 2n所以前 n 项和为 S=2(1- )+(;:)+)=2(1- -)=.故选 B.3. A 设等差数列an的公差为 d,则 a2=a4-2d,a6+6=a+2d+6,所以3ryr(a4-2d)(a4+2d+6)=(a4+3),化简得(2d+3) =0,解得 d=- ,所以口4 + Rq= =口2 + 2d + 3仏=1.4. C 设塔的底层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个首项为 x,公比174111 1-为的等比数列.=3

7、81,解得 x=192.5. A 因为 a1=1,2Sn=(n+1)an,所以 n 2 时,2Sn-1= nan-1,所以 2an=2(Sn-Sn-i)=(n+1)an-nan-i,- 1整理得=1,% 2竺二所以=I二二二.,所以 an二n.不等式-tan 2t2,化为(n-2t)(n+t)0,所以 0nW2t,关于正整数 n 的不等式1-tanW2t2的解集中的整数解有两个可知 n=1,2.3所以 1Wt0,5因为 a3,a4+ ,an 成等比数列,57_222所以(a4+ ) =a3an,即(+3d) =(1+2d) (1+10d),即 44d -36d-45=0,3所以 ap-aq=

8、(p-q)=15.9.C在 f(x) f(y)=f(x+y) 中,令 x=n,y=1,得 f(n+1)=f(n)f(1),又1 1 1a1= ,an=f(n)(n N),则 an+=an,所以数列an是首项和公比都是的1 11 1 等比数列,其前 n 项和 Sn=-n |10. A 由已知得数列 an 前 n 项的“均倒数”为I=-;:- 可得 S=(2n+1)n,则S-i二2(n-1)+1(n-1)=2n所以 an=S-Sn-i=4n-1,%十i又 bn=;,故 bn= n,I Ii i o+(.)=.=3所以 d= (d=-舍去),所以 an=153n- 1i i=1 ,1),故选 C.2

9、-3n+1,1 1 1所以+, + =1X1 I I 11 1X +X=(1- )+( -:)+故选 A.11. 解析:当 n=1 时,fi(-1)=-ai=-1,得 ai=1,依题意得 fn(-1)=-ai+a2-a3+(-1)nan=(-1)n n,n1n1当 n2 时,fn-i(-l)=-ai+a2-a3+ +(-1) anj=两式相减,得(-1)nan=(-1)n n-(-1)n-1 (n-1)=(-1)n (2n-1),即 an=2n-1.又 a1=1,符合上式,所以 an=2n-1.答案:12n-112. 解析:a1二S=1+2-1=2.2 2当 n2 时,an二S-Sn-1=n

10、+2n-1-(n-1)+2(n-1)-1=2n+1,而 a1不适合.( (M = i,所以 an=1f 2川=1,答案:2:1腦2m-413. 解析:由题意,得 am-1=a1+(m-2)d=2m-6,am=2m-4,则由=凡=2,解得 m=4,所以数列an的前 6 项依次为-2,0,2,4,8,16,所以 S=28.答案:42814. 解析:由题得:这个数列各项的值分别为 1,131,5,3,7,1,9,5,11,3 ,所以 a12+a15=3+15=18.又因为 a3=3,a6=3,a12=3,a24=3,即项的值为 3 时,下角码是首项为 3,公比为 2 的等比数列.所以第 8 个 3

11、是该数列的第 3X28-1=384 项.答案:1838415. 解析:因为 an+i+an=2n+1,所以 an+an-i=2n-1(n 2),两式作差得an+i-an-i=2(n 2),数列中,奇数项和偶数项分别为公差等于2 的等差数列,又由条件可得 ai=m,a2=3-m,as=2+m,a=5-m,若数列为递增数列,13则只需 aia2as,解得m2),片n两式相减整理得(n 2),a2a3an12 3nn则 an二ai. . . 二,xix=,经验证n=1 时也符合,n所以 an=.n答案:17. 解析:由题可得 6皿3时递增,cn=b,因此,当 n=1 或 2 时,-n+t 3n-3恒

12、成立,当 n=2 时,-2+t7 32-3得 t ;当 n3 时,-n+t 3n-3恒成立,当 n=4 时,-4+t 34-3得t b3,则-3+t 30=1,则 t 4,c3=as=-3+t, 因为 C3 C4,故-3+t 34-3=3,故 t 6,即 4Wt 6;2若 a3b3,则-3+t30=1,3_3则 t4,c3=b3=3_=1,由 C3 3,即 3 t4.综上,取和的并集,得 3 t 2),两式相减,得 an+i=3a+2(n2),经检验,当 n=1 时上式也成立,即 an+i=3an+2(n 1).有 an+i+1= 3(an+1),即 bn+i=3bi,故bn是等比数列.(2)

13、解:由(1)得 bn=3n,Tn=1x3+2x32+3X33+nx3n,3Tn=1x32+2x33+3x34+nx3n+1,3(1 -311)两式相减,得-2Tn=3+33+3n-nx3n+1= : -nx3n+1,333化简得 Tn=( n- ) 3n+ .1 i 1证明:由 =:1 ,1 11 111 I 111 1- - - - - - -彳得I+ + +: + + =-: = 又 二:I M1I1 ?: :1I :311=(: ),1 1 1 1有+ + :1 31 111 1 1+(:1)+(:L:丨)+(:_ :) = +(: 丨-厂)13 3 I I=+6.計1花511111 I

14、 I故_2 X萨 旳+軻+七+-+% 0,所以 an+1-1 与 an-1 同号,I由 ai=,可知 an-10,所以 anix+naxn-1,所以 f (1)=an+2an-i+nain1n-20=(5x3 -1)+2(5x3 -1)+-+n(5x3-1)1)n-1n-2n-30-)=53 +2x3 +3x3 +nx3-,令 S=3-1+2x3n-2+3x3n-3+nx30,则 3S=3+2x3n-1+3x3n-2+nx3;n 3-3n + x作差得 S=- -1,5 x 3n + 1-15 n(n + 6)所以 f (1)=1-,5 x 3+ 1-15 n(n + 6)即 bn=-.-(n +nln2)22.(1)解:由已知 an+i=an+,a1=0,i. 1所以 a2= ,a3= +.(2)证明:因为 an+1an,a1=0,-(a +所以 an 0,贝yan+1=an+ an+e-nn=an+2-n,所以 anwa

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