电磁场与波学习教案

1、会计学1电磁场与波电磁场与波第一页，共115页。2-1 电场(din chng)强度1、 电荷(dinh)密度1）物质(wzh)中的电荷物质中存在有多种形式的电荷，如电子、离子等电荷的最小量度是单个电子的电量Ce191060. 1从微观上看，电荷在空间是离散分布的。我们要讨论的电场是大量的离散分布的电荷共同作用的产生的，是统计平均的结果。这样的电场被称为宏观电磁场。对于宏观电磁场，可以将电荷看成是连续分布的。连续分布的电荷用电荷密度表示。第1页/共115页第二页，共115页。2)电荷(dinh)（体）密度VqrV0lim)(单位(dnwi)：库仑/米3 (C/m3) 由于这样定义的电荷密度的意

2、义是指单位体积中的电量(dinling)，因此也称为电荷体密度。 根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为 qr dVV( )在有些情况下，电荷分布在薄层里。 第2页/共115页第三页，共115页。rSq对于这种情况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场(din chng)，而不分析和计算该薄层内的电场(din chng)时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。 面分布(fnb)的电荷可用电荷面密度表示。 3)电荷(dinh)面密度sSrqS( )lim0单位为C/m2 如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q为qr

3、 dSsS( )第3页/共115页第四页，共115页。在电荷分布在细线上的情况(qngkung)下rql当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略(hl)，认为电荷是线分布。 线分布(fnb)的电荷可用电荷线密度表示。 4)电荷线密度llrql( )lim0单位为 C/m如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q为 qr dlll( )第4页/共115页第五页，共115页。 对于总电量为 q的电荷(dinh)集中在很小区域V的情况当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要(xyo)分析和计算电场的区域又距离电荷区很

4、远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时， ERdR 小体积V中的电荷可看作(kn zu)位于该区域中心电量为q的点电荷。 ERq( )()rqrr5)点电荷第5页/共115页第六页，共115页。2. 库仑定律(k ln dn l) 库仑定律指出，在真空中，两个相对静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们电量的乘积成正比，与它们之间的距离(jl)平方成反比，其方向在它们的连线上。 Q所受的力为RRqQkF2式中 Rrr RRRkFm1 48854100012/,./真空(zhnkng)中的介电常数 rrR第6页/共115页第七页，共115页。在真空(zhnkng)中，多个点电荷q1q

5、2qiqNQ对一个(y )点电荷Q的作用力1r2rirNrr2R1RiRNR等于单个点电荷分别(fnbi)对一个点电荷的作用力之和。iiiniRRQqF41210电场力具有可叠加性。 由库仑定律知道，当一点电荷放在另一点电荷的周围时，该点电荷要受到力的作用，这种力在空间各点的值都是确定的，因此，我们说在电荷周围存在矢量场。这种矢量场表现为对电荷有作用力，故称之为电场。第7页/共115页第八页，共115页。3. 电场(din chng)强度 电场(din chng)表现为对电荷的作用力，因此是矢量场。 电场的大小与方向(fngxing)用电场强度表示。 电场中某一点r处的电场强度E(r)定义为单

6、位试验电荷在该点所受的力 qrFrEq)(lim)(0单位为V/m(或N/C) 根据电场强度定义和库伦定律位置在r的点电荷q，在r点的电场强度为：QRRQqkrEQlim)(2030204) (4)(rrrrqRRqrErrrrRRR第8页/共115页第九页，共115页。同理，多个(du )点电荷在r点的电场强度为：niiiiRRqrE1204)(这里(zhl)，我们就由库仑（实验）定律得到了真空中一个点电荷与多个点电荷的电场强度。可以看出，多个点电荷的电场强度(qingd)等于各单个点电荷的电场强度(qingd)之和。也就是说，电场符合叠加原理。根据点电荷的电场，利用电场的叠加原理，就可以得

7、到真空中已知的各种分布形式的电荷的电场。第9页/共115页第十页，共115页。电荷体分布(fnb)的电场设在区域V中电荷(dinh)密度为 ，下面分析在r点的电场（强度）。 r) (dVr) (dVr304RRRV)(rE同理可得到电荷面分布和线分布的电场强度(qingd)的公式 dSRRrrEsS20) (41)( ) (41)(20dlRRrrEll第10页/共115页第十一页，共115页。电场(din chng)计算步骤1、建立(jinl)坐标系2、任取计算(j sun)场的一点-场点r3、在源分布区 取点电荷 rdq4、写出此点电荷在场点的场RRdqEd4120RRdq30415、在坐

8、标系中表示dVdqdldqlRR6、积分求和dqRRE3041第11页/共115页第十二页，共115页。_+4、电力线电场在空间的分布可用电力线形象地描述。电力线是一族(y z)空间有向曲线，起始于正电荷而终止于负电荷。电力线的稀疏密度表示电场的强弱，电力线上一点的切线方向表示该点电场的方向。 正电荷的电力线负电荷的电力线正正电荷的电力线正负电荷的电力线正负(zhn f)带电板之间的电力线第12页/共115页第十三页，共115页。例1. 计算半径为a，电荷线密度为常数的均匀带电圆环在轴线上的电场(din chng)强度。 aRdl 解：adxyz建立(jinl)坐标系在带电(di din)圆环

9、取微长度元dl此微长度元dl相当于一个点电荷在轴线上的电场强度为303044RadRRdqRladdldqll22zaR az zR2/32204) (zaadaz zl2/3220204zaazdzEl202/32204dzaazzl2/32202zaazzEl第13页/共115页第十四页，共115页。例2. 计算半径为R，电荷面密度为常数的均匀带电圆盘在轴线上的电场(din chng)强度。 Rxyz解：S建立(jinl)坐标系在园盘上取一个(y )园环带d此园环带的电荷线密度为22ddlqSSl由上例的结果，此园环带在轴线上的电场强度为2/32202/322022zdzzzaazzSl2

10、/322002zdzzESR2/322002zdzzRS第14页/共115页第十五页，共115页。RSzzzE02/1220)(12)(1122/1220RzzzzS02limzzzESR020200zzzzSS无限大的带电平板产生(chnshng)的电场为第15页/共115页第十六页，共115页。小结(xioji)电荷(dinh)的分布形式 电荷(dinh)体密度 电荷(dinh)面密度 电荷(dinh)线密度 点电荷(dinh)库仑定律电场强度定义几种电荷(dinh)分布电场强度的计算公式电力线思考题电荷体密度、面密度、线密度之间有什么关系？电场强度的物理意义(yy)是什么？电力线和电场强

11、度之间有什么关系？你能计算点电荷在它所在点上的电场强度吗？为什么？ 第16页/共115页第十七页，共115页。2.2 真空(zhnkng)中的静电场方程 主要(zhyo)内容分析(fnx)电场的通量散度环量旋度场和源的关系建立静电场方程分析方法：计算点电荷电场的通量和环量根据电场的可叠加性得到一般电荷的通量和环量利用高斯定理计算电场第17页/共115页第十八页，共115页。1）点电荷电场强度(qingd)在封闭面上的通量 204)(RRqrEdSRRRqSdESS2040204qdSRqS当电荷(dinh)在封闭面内当电荷(dinh)在封闭面外4d0d1、电通量E rdSqqSqSS( ),0

12、0SSRSdRqSdE204SRSdRq204dq04第18页/共115页第十九页，共115页。2）电场(din chng)强度在封闭面上的通量根据(gnj)电场的叠加性，各种分布形式电荷的静电场对封闭面的通量为SqSdrE0)(q为封闭面内的总电量(dinling)。当封闭面内的电荷为体分布时，则VdVrq)(V为封闭面包围的体积。SVdVrSdrE) (1)(0静电场高斯定理第19页/共115页第二十页，共115页。SqSdrE0)(0SqSdrE)(0ED0qSdDS电位移矢量(shling)SSdD电通量电通量密度(md)第20页/共115页第二十一页，共115页。2、静电场的环量 点

13、电荷的电场(din chng)中 ，电场(din chng)强度从a点沿曲线l到b点的线积分为 )11(444)(02020babababarrqrdrqrl drql drE以上线积分(jfn)结果表明，点电荷电场的线积分(jfn)仅与积分(jfn)的两端点有关，与积分(jfn)路径无关，因此，点电荷电场的闭合回路线积分(jfn)为零ll dE0根据电场(din chng)的叠加性，多个点电荷或连续分布的电荷的电场(din chng)都满足上式，也就是说，电荷产生的静电场(din chng)的闭合回路线积分为零。 静电场是保守场。第21页/共115页第二十二页，共115页。3、真空(zhnk

14、ng)中的静电场方程 SqSdrE0)(VVdVdVE000dVEV0 Ell dE0VdVqSSdE00Ell dE00E真空(zhnkng)中的静电场方程积分(jfn)形式微分形式真空中的静电场是有散无旋场，散度源是电荷体密度。 电荷是静电场的通量源，正电荷是静电场的正源，而负电荷是负源，电力线从正电荷出发，终止于负电荷。静电场是保守场。 SqSdE00 E第22页/共115页第二十三页，共115页。在电荷分布具有某种特殊对称性的情况下，可以利用真空(zhnkng)中的静电场高斯定理计算电场。 例1 真空中有一个半径为a 的带电(di din)球，电荷密度为 ra/ar解：由于(yuy)电

15、荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称性， 在半径为r的同心球面上，电场的大小相等，方向与球面的法线方向一致， E dSE dSEdSr ErSSrSr42raqdVrar drrarV0244raqdVrar draaV0234Erar raarr ra2030244,，求带电球内外的电场。 SqSdE0第23页/共115页第二十四页，共115页。a电场随半径的变化(binhu)曲线Erar raarr ra2030244,第24页/共115页第二十五页，共115页。例2.真空中，电荷均匀分布在一无限长，内半径为a，厚度(hud)为b的圆筒中，电荷密度为常数，求电场。如果圆筒的厚度(hu

16、d)b很薄，忽略厚度(hud)，将电荷看成为面分布，再求电场。 ab解：a)电荷(dinh)为体分布 电荷分布沿轴向均匀无限长，且具有轴对称性，因此其电场(din chng)也具有轴对称性，方向沿圆柱的径向。 作半径为 ，长度为L的圆柱面，在圆柱面上，电场的大小相等，方向和圆柱面法线相同，而在此圆柱的两个端面上，电场方向与端面的法线垂直，因此，穿过由圆柱面和两个端面组成的封闭面S的通量为 SSSSlEdSESdESdEdSE1122第25页/共115页第二十六页，共115页。baa aq=0)(2220001allddVqVaba )2(220001abbllddVqVbaabaabbbaaa

17、aE;22;2; 00200220SqlESdE02第26页/共115页第二十七页，共115页。b) 电荷(dinh)为面分布 如果(rgu)圆筒的厚度b很薄，忽略厚度，将电荷看成为面分布，电荷面密度为 aabbalabblSqs2)2(2)2(2020E dSE dSlESS21 aq=0a)2(220abblalqSaabbaE;22; 0020第27页/共115页第二十八页，共115页。baabbbaaaaE;22;2; 0020022000;SaEaa 0()()SnnEaEa0()()SnnEaEa表面(biomin)电荷与界面上电场的关系电荷为体分布(fnb)时的电场分布(fnb)

18、电荷(dinh)为面分布时的电场分布第28页/共115页第二十九页，共115页。高斯定律适用于任何(rnh)情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。计算(j sun)步骤：a）分析给定(i dn)场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b) 选择合适的高斯面，使电通量积分简化为有以下几种情况：1）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳多层同心球壳带电球体 球对称场的高斯面SnSESdE1第29页/共115页第三十页，共115页。2）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线(zhxin)，圆柱面，圆柱壳等。 轴对称场的高斯面3）无限大平面电荷：包括无限大的均匀(jnyn

19、)带电平面，平板等。(a)(b)(c)第30页/共115页第三十一页，共115页。小结(xioji)1）由点电荷的电场出发，计算电场的电通量，得到真空中静电场 的 高斯定理。2）由点电荷的电场出发，计算电场的环路积分(jfn)；3）讨论真空中静电场 方程及真空中静电场 的性质；4）用真空中静电场 的高斯定理计算电场。第31页/共115页第三十二页，共115页。2.3 电位(din wi) 静电场是无旋场， E0E ( )( )rE rRdVV1401( )4VrdVRE 01( )4VrdVR 1410( )rRdVV201( )4Vr RdVR1、的意义(yy)计算单位(dnwi)正电荷在电

20、场力作用下做功AE dlab( )( )bbbaaadldldabl 单位正电荷在电场作用下，从点a位移到点b，电场力所做的功等于位移起点的标量场值减去终点的标量场值。 将电场和重力场相比较，电场对应的标量场相当于重力场中的势能。 表示电场中各点的势能，是从能量角度对电场的描述。 标量场称之为电势或电位。 第32页/共115页第三十三页，共115页。已知电场(din chng)强度时计算电位( )( )paE dlap 当p点为电位(din wi)零点，即电位(din wi)参考点时， ( )aE dlap电场(din chng)中某一点的电位等于单位正电荷在电场(din chng)作用下从该

21、点位移到电位参考点时电场(din chng)力所做功。 同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。有什么关系呢？ 设对于同一电场，以p点为电位参考点时电位为 以q点为电位参考点时电位为( )( )rrc2、电位的确定paqapqcal dEl dEl dEa)()(第33页/共115页第三十四页，共115页。对同一电场，选取(xunq)不同的电位参考点时，其电位仅相差一个与两参考点有关的常数。选取不同的电位(din wi)参考点并不影响所要计算的电压和对应的电场强度。要计算(j sun)电位，首先要选择电位参考点，如何选择电位参考点？1）在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远作电位参考点

22、；2）在电荷分布沿伸到无限远的情况下，必须选取有限区域中的点作电位的参考点，否则，在数学计算过程中将会发生困难。3）在工程上，由于大地的电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参考点。 3、电位参考点4、电位方程E 0 E 2020泊松方程拉普拉斯方程第34页/共115页第三十五页，共115页。5、利用电位计算(j sun)电场E 20( )( )rrRdVV140( )( )rrRdSsS140( )( )rrRdlll140( )rqR40E E 第35页/共115页第三十六页，共115页。例1求长度为L,电荷线密度(md)为的均匀带电线的电位及电场。解：建立圆柱(yunzh)坐标系，使具有轴

23、对称性的场与无关xyzL/2-L/2014dldR ( , , ) z zdldz22()Rzz22014()dzzz积分(jfn)得22220()22ln4()22LLzzLLzz先计算线电荷上位置z的微元dl在场点(, ,z)的电位2/2/220) (4)(LLzzdzr第36页/共115页第三十七页，共115页。1( )()E rzz 22220122()4()()22LLzzLLzz222211()()()22zLLzzL 02E 第37页/共115页第三十八页，共115页。例. 求电量(dinling)为q，相距为d的一对正负点电荷组成的电偶极子的电场。解：电偶极子电偶极矩210 1

24、0 201 2( )444rrqqqrrrrr12, ,r r r可近似(jn s)看成平行21 211rrr20( )4p RrRdqpcos21drrdr cos2cos221drrdrr202044cos)(rrprqdr第38页/共115页第三十九页，共115页。11()sinErrrr 3300cossin24ppErrr电偶极子等位(dn wi)线和电力线第39页/共115页第四十页，共115页。6、等位(dn wi)面电位分布可以用等位面形象(xngxing)描述。等位(dn wi)面图是相邻电位差相等的一系列等位(dn wi)面。在电场较强处，等位(dn wi)面间距较近；在电

25、场较弱处，等位(dn wi)面间距大。根据电场与电位的关系，电场方向总是与等位面法线方向一致，并指向电位减小一侧，即电场总与等位面处处垂直。当电荷在某等位面上移动时，由于位移方向与电场方向垂直，电场不做功。第40页/共115页第四十一页，共115页。小结(xioji)电位的的意义(yy)电位和电场的关系电位参考点电位方程利用电位计算电场第41页/共115页第四十二页，共115页。2.4 静电场中的介质(jizh)与导体电磁场理论中,将没 有物质的整个空间区域(qy)称为自由空间(Free Space).实际上空间总是(zn sh)有物质的。电磁场理论中，一般将物质称作媒质。物质是由原子组成的，

26、其中包含有电荷（包括电子，原子核，离子等）。当电场中有物质存在时，物质中的电荷和电场之间就会相互有有影响，这就是物质和电场的相互作用。物质中和电场有作用的电荷有两类：1）在物质中可以自由移动的自由电荷2）在物质中不可自由移动的束缚电荷电场中的物质也就分为两类：1) 存在有自由电荷的导电媒质（导电体，导体）2）无自由电荷，仅有束缚电荷的电介质（介质，绝缘体）第42页/共115页第四十三页，共115页。1、静电场中的导体(dot)导体中有自由电荷。包括(boku)自由电子和失去电子的离子。-+当一个孤立导体(dot)放在电场中，E自由电荷在电场力作用下运动。使正负电荷分别聚集到导体的两侧表面，它们

27、在导体中产生的电场E和原来的电场E相反，使导体内的电场逐渐削弱。E直到静电平衡导体内没有电流，没有电场。也没有净电荷，电荷分布在导体表面附近的薄层里，形成感应面电荷。第43页/共115页第四十四页，共115页。导体(dot)表面上感应面电荷的分布使得它产生的电场与外加电场在导体(dot)中互相抵消，从而使导体(dot)中的电场为零，导体(dot)外区域的电场发生改变。因为导体内部电场(din chng)处处为零，所以导体是等位体，导体表面是等位面，导体表面上的电场(din chng)与表面垂直。在静电场中的导体内部电场为零。那么，如果导体中有一空腔，空腔中的电场是否也为零？导体内表面(biom

28、in)上有无面电荷分布呢？E如果导体内空腔中有电场，该电场就一定是腔壁上的电荷产生的，总能在腔中找一条电力线0)()(babal dEab要使沿电力线对电场的线积分为零，电场必须为零。也就是说，空腔中电场强度也为零，所以腔壁上也就没有面电荷分布。这说明，不论导体外的电场有多大，导体壳内的电场总为零。.这就是导体壳的静电屏蔽作用。0E导体内部导体表面S第44页/共115页第四十五页，共115页。2介质(jizh)极化介质中无自由电荷。组成介质分子的原子(yunz)中的电子，受分子和原子(yunz)力的作用仅在原子(yunz)核周围运动，束缚在一起。按组成介质(jizh)的分子中的正负电荷中心是否

29、重合，介质(jizh)分子分为两类：无极性分子：正负电荷中心重合有极性分子：正负电荷中心不重合无外电场时，无极性分子组成的这种介质呈电中性。 有极性分子组成的这种介质呈电中性。介质放在电场中，发生介质极化现象，使介质呈电性，产生电场。因此，我们说电场使介质极化，介质极化又影响电场分布。在电场作用下，组成介质的分子中的正负电荷中心就会受电场力发生位移，从而介质中平均每个分子都有电场方向的电偶极矩分量，使组成介质的大量分子的电偶极矩统计平均值不为零，对外产生电场。这种现象叫介质极化。1）什么是介质极化位移极化 取向极化无极性分子有极性分子第45页/共115页第四十六页，共115页。2）极化(j h

30、u)强度VpPnnV0lim单位(dnwi)为C/m2单位体积中大量(dling)分子电偶极矩的统计平均值大量实验表明，介质极化后，极化强度与电场强度的关系为EPe0e介质的极化率3) 极化介质产生的电位 ) (dVrPp20( )4p RrR204) ()(RdVrPRrd第46页/共115页第四十七页，共115页。20 ) (41)(RdVRrPrV21 RRR 1 ) (410dVRrPVfAAfAf)(RPPRPR11)1( SVdSRnPdVRrPr 41 ) ( 41)(00PnPSSSVdSRrdVRrr ) ( 41 ) ( 41)(00VVdVPdVq SdSPq 第47页/

31、共115页第四十八页，共115页。物质(wzh)（媒质）导电体介质(jizh)介质(jizh)分子电偶极子介质极化极化强度产生电场束缚电荷PnPSVVdVPdVq SdSPq 0E第48页/共115页第四十九页，共115页。4) 击穿场强介质击穿当电场大于或等于某一数值时，介质中的束缚电荷就会脱离分子成为自由电荷(z yu din h)，使介质导电，从而失去绝缘性能，这种现象叫做介质击穿。击穿场强刚发生(fshng)击穿时所对应的电场强度称之为击穿场强。空气的击穿场强大约为云母的击穿场强大约为橡胶(xingjio)的击穿场强大约为变压器油的击穿场强大约为玻璃的击穿场强大约为聚乙烯塑料击穿场强大

32、约击穿电压mV /1036mV /101006mV /10406mV /10126mV /1096mV /10186第49页/共115页第五十页，共115页。小结(xioji)1）什么是介质(jizh)极化2）极化(j hu)强度3) 极化介质产生的电位4) 击穿场强第50页/共115页第五十一页，共115页。2.5 介质(jizh)中的静电场方程SqSdrE0)(ll dE00 E0E真空(zhnkng)中的静电场方程积分(jfn)形式微分形式在介质中，出现了束缚电荷，因此方程中应加上束缚电荷。SqqSdrE0)(0 ESdSPq PSqSdPrE)(00PEPED0SqSdrD)( D1）

33、介质场方程的导出第51页/共115页第五十二页，共115页。PED0EPe0EEDe0000)1 (er介质(jizh)的介电常数r介质(jizh)的相对介电常数ED2）介质(jizh)中静电场方程积分形式SqSdrD)(静电场高斯定理ll dE0微分形式 D0EED电位方程EE2为常数时第52页/共115页第五十三页，共115页。3） 介质(jizh)特性电场中，介质的特性(txng)由其介电常数确定。ED介质的结构(jigu)方程r与坐标无关，是常数均匀介质与坐标有关，是函数非均匀介质与电场大小无关线性介质与电场大小有关非线性介质与方向无关各向同性介质与方向有关各向异性介质)(r)(E各向

34、异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵zyxzyxEEEDDD333231232221131211ED均匀、线性、各向同性介质的介电常数与坐标位置，电场的大小和方向都没有关系，是一常量，是简单介质。第53页/共115页第五十四页，共115页。介质名称r介质名称r空气1.0006石英3.8油2.3云母5.4纸3（干燥）木材1.5-4有机玻璃 3.45水81石蜡2.1树脂3.3聚乙烯2.26聚苯乙烯2.55 DED)( EEE均匀(jnyn)介质 E介质(jizh)中的束缚电荷)11()( 0DEPrrrD1) 11(无源区的均匀(jnyn)介质中0第54页/共115页第五十五页，共115页。4）用

35、介质中的高斯定理计算(j sun)电场 当媒质与电荷(dinh)分布具有相同的特殊对称性时，即自由电荷(dinh)，束缚电荷(dinh)或和感应电荷(dinh)都具有相同的特殊对称性时，就可以利用介质中高斯定理方便地计算电场。例1.半径为a的导体球带电量为q，球外包一层厚度(hud)为b，介质常数为的介质，求导体球的电位。解：导体球和介质包层是同心的，都具有相同的球对称性，而电荷所在的导体球面是等位面,那么电荷是均匀分布在球面，也具有相同的球对称性。对半径为r的同心球面qDrSdDrS2424rrqD 在 ara+b 204rrqE)11(444)(202baaqrqdrrqdrl dEarb

36、aabaaED第55页/共115页第五十六页，共115页。例2.同轴形电容器，内导体半径(bnjng)为a，外导体内半径(bnjng)为b。它们之间填充介质，长度为L。如果在内外导体之间加电压V，忽略边缘效应，求此电容器中的电场。解：此电容器为轴对称结构，如果(rgu)忽略边缘效应，在电容器中的同轴圆柱面上电位移矢量的大小相等，方向为圆柱面的法向。设内导体上带电荷为q，取半径为的同轴圆柱面和其两端面构成(guchng)封闭面SqLDSdDS2LqD2LqE2EDabLqLqdl dEVbabaln22abVLqln21lnabVE 第56页/共115页第五十七页，共115页。小结(xioji)

37、1）介质(jizh)场方程的导出2）静电场方程(fngchng)3） 介质特性4）用介质中的高斯定理计算电场第57页/共115页第五十八页，共115页。2.6 静电场的边界条件1）什么(shn me)是边界条件 为什么(shn me)要了解边界条件不同媒质(mizh)介面两侧，电场的关系称为边界条件。媒质界面不均匀处出现束缚电荷或感应电荷，使界面两边的电场出现不连续，并使微分形式的静电场方程不能用在分界面上。因此，当讨论的区域存在(cnzi)两种或两种以上媒质时，就需要建立不同媒质分界面两边电场的关系的边界条件。2）分界面两侧电位移矢量法向分量的关系跨分界面上取一个很小的柱形封闭面SDSDSd

38、DnSnh 210snnDD21sDDn)(21Sqsh0SSDSDsnn21第58页/共115页第五十九页，共115页。3）分界面两侧电场强度切向分量(fn ling)的关系0ldlE0h021lElEttttEE2121EnEn4）介质(jizh)与介质(jizh)界面的边界条件0snnDD21ttEE21nnEE2211ntntEEEE222111221111tgtgEn不连续(linx) 为什么En不连续？ 界面上有束缚面电荷！第59页/共115页第六十页，共115页。如何计算界面(jimin)上的束缚面电荷SSPPSnnh)(120nnSPP12EDP)()(21210nnnnsDD

39、EEsnnsEE)(210在两种介质(jizh)边界上，无自由电荷 snnEE()012电位在两种介质(jizh)界面上的边界条件为 1122nnnnEE2211ttEE2112SSdPq第60页/共115页第六十一页，共115页。snnDD21ttEE21边界条件两种介质(jizh)边界nnEE2211ttEE211122nn12界面上的束缚(shf)面电荷snnsEE)(210snnEE()012第61页/共115页第六十二页，共115页。5)导体(dot)表面(导体(dot)与介质界面)的边界条件 snnDD21ttEE21SnD0tE电场垂直于导体表面，且表面上的感应电荷面密度等于(d

40、ngy)表面上的电位移矢量的大小。 对应(duyng)的电位的边界条件为 sn常数 导体表面是等位面 第62页/共115页第六十三页，共115页。例1. 两块导电平板平行放置，之间填充厚度分别为d1和d2的两层介质。两导电板间的电压为V，忽略(hl)边缘效应，求它们之间的电场及电荷分布。解： 忽略(hl)边缘效应， 导电(dodin)板上的电荷均匀分布 在导电板之间，电场电力线为平行的直线，方向为从正指到负，两介质中的电场分别是均匀的 1122EEE dE dV1122EVdd121221EVdd211221正、负极板上的电荷面密度分别为 snnDEVdd1111121221122121222

41、2ddVEDnns两介质界面的束缚电荷面密度为 )()( 2112210120ddVEEnns第63页/共115页第六十四页，共115页。小结(xioji)1）什么(shn me)是边界条件，为什么(shn me)要了解边界条件2）分界面(jimin)两侧电位移矢量法向分量的关系3）分界面两侧电场强度切向分量的关系4）介质与介质界面的边界条件5) 导体表面(导体与介质界面)的边界条件第64页/共115页第六十五页，共115页。2.7 电位(din wi)的边值问题与解的唯一性 1）什么(shn me)是电位的边值问题一个已知有界区域(qy)中的（静）电场的源 E及有界区域边界上电场的边界条件，

42、求解电场的问题0E可以分为两步求解：先求解电位，再求电场强度E求解电位就是求解 满足给定边界（边值）条件下2的解。电位的定解问题又称为电位的边值问题。 第65页/共115页第六十六页，共115页。2）电位(din wi)边值问题的分类根据已知区域(qy)边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：第一类是给定区域(qy)边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利(Dirichlet)问题；第二类是给定区域边界上的电位的法向导数值，又称为纽曼(Neumann)问题。第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另一部分边界上给定电位的法向导数值。 2fS2gSn第66页/共115页第六

43、十七页，共115页。3）电位边值问题解唯一(wi y)的条件 对于具体的边值问题， 求解前必须讨论(toln)以下问题：解的存在(cnzi)性解的唯一性解的稳定性求解方法静电场电位边值问题解的唯一性定理指出：当在场域中电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类边值条件之一时，电位是唯一的。 唯一性定理是关于边值问题的一个重要定理。它不仅指出了满足边值条件的场方程的解是唯一的；而且，当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。第67页/共115页第六十八页，共115页。解：bra0

44、02由题意，电位(din wi)具有球对称性)(),(rr0)(122drrdrdrdr0sarr0br21)(crcr)11()(02brars021sac bacs022第68页/共115页第六十九页，共115页。例2. 在无限大、电位为零的导电平板上方垂直放置一个无限长的、张角为的导电圆锥(yunzhu)，电位为V。求导电圆锥(yunzhu)与导电平板之间区域中的电位。x=V=0解：这种结构具有轴对称性，因此电位与无关(wgun)，又由于无限大的电位边界上电位与r无关(wgun)，所以电位仅是的函数，电位方程为 2210rddddsin(sin)( )ln()ctgc122( )V/ 2

45、()20cVtg12ln()c20( )ln()ln()Vtgtg22z2第69页/共115页第七十页，共115页。小结(xioji)1）什么(shn me)是电位的边值问题2）电位(din wi)边值问题的分类3）电位边值问题解唯一的条件 4）举例求解电位方程（一元函数）第70页/共115页第七十一页，共115页。2.8 分离(fnl)变量法 分离变量(binling)法是一种最经典的求解微分方程的方法，分离(fnl)变量法解题步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并

46、叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。它适用于求解具有理想边界条件的典型边值问题 。采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程的通解，只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。第71页/共115页第七十二页，共115页。解：选定(xun dn)直角坐标系Vyxaxayayaxaxyayx)0,()0,()0,0()0,0(222220000（1）（2）（3）（4）(5）边值问题例1.一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁(盖)与三壁绝缘且保持电位为V，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 第72页/共11

47、5页第七十三页，共115页。2) 分离(fnl)变量)()(),(yYxXyx02222yx0 XYYXXY/0 YYXX0)()(ygxf2xk2yk00 0 2222yxyxkkYkYXkX3）解常微分方程(wi fn fn chn)xjkxjkxxececxX21)(yjkyjkyyececyY43)(022yxkkkx与ky一个(y )是实数，另一个(y )是虚数。取实数的对应周期（三角）函数，取虚数的对应指数函数。由边界条件,在 x方向可为三角函数,因此取kx为实数 在 y方向可为指数函数,因此取ky为虚数xyjkk22xykkykykxxxxececyYxkcxkcxX4321)(

48、)sin()cos()(第73页/共115页第七十四页，共115页。)()(),(yYxXyx)sin()cos(4321ykykxxxxececxkcxkc4)由边界条件确定(qudng)常数Vaxayayaxaxyayx)0,()0,()0,0()0,0(00001c34cc2 3sin()xxk yk yxc ck xee 0)sin(akxmakxamkx, 3 , 2 , 1m)sin(),(1yamyammmeexamAyx12sin()()mmmVAx sh ma?mA1( , )2sin()()mmmmx yAx shyaa第74页/共115页第七十五页，共115页。12()s

49、in()mmmVA sh mxadxxana)sin()(0左边(zu bian)为偶数；为奇数nnVnanaVaxannaVdxxanVna0;2) 1(1 0)cos()sin(0右边(yu bian)dxxannshAdxxamxanmshAanamm0201)(sin)(2)sin()sin()(22)(sin02adxxana)(nashAn)(2nshnVAn为奇数n) 12() 12(sin() 12() 12(4),(0yamshxammshmVyxm12 mn第75页/共115页第七十六页，共115页。金属(jnsh)槽中的电位分布第76页/共115页第七十七页，共115页。

50、2.9 镜像法镜像法是直接建立(jinl)在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。 对于一个电位的边值问题，如果在区域(qy)V中电荷分布已知，在其边界S上给定边界条件，则区域(qy)V中的电位是唯一的.Z0区域(qy)的电位边值问题02)()()(hzyxq0)0,(zyx02)()()(hzyxq0)0,(zyx1) 理想导电平面上方的电荷的电场镜像电荷感应电荷第77页/共115页第七十八页，共115页。201044),(rqrqr电位(din wi)的计算cos2221hrhrrcos2222hrhrrcos24cos24),(220220hrhrqhrhrqr导体(dot)表面上

51、的感应电荷面密度nsD导体表面(biomin)上的电位移矢量2/3222/32221)(4) ()(4) (hzhqhzhqDDDzDDns2/322)(2hqhsssddSq0202/322)(hdqhq导体表面上的感应电荷第78页/共115页第七十九页，共115页。例1. 用无限大的导电(dodin)平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q。求直角区域中的电位。解:边值问题)()()(1102zyyxxq00yx0), 0(zyx0), 0,(zyx等效(dn xio)问题=0=0边值问题相同(xin tn)403020104444),(rqrqrqrqzyx221211)()(zyyxxr

52、221212)()(zyyxxr221213)()(zyyxxr221214)()(zyyxxr第79页/共115页第八十页，共115页。q第80页/共115页第八十一页，共115页。2) 导体(dot)球附近点电荷的电场 aq0fzo边值问题)()()(02fzyxq0)(ar等效(dn xio)问题aqz qdoP1r2r要使边值问题相同(xin tn)球面上的电位应为零044)(2010rqrqar021rqrqqqrr12PoqoPqadfarr12fad2qfaq第81页/共115页第八十二页，共115页。aqf qdoz),(rr1r2rfad2qfaq导体球附近(fjn)点电荷的

53、电位为201044),(rqrqrcos2221rffrrcos2222rddrr第82页/共115页第八十三页，共115页。例2 导体球半径为a,电位为V ,距离导体球中心(zhngxn)为f处放置电量为q的点电荷. 求电位.aqzfVaqz0azV解:32120102144rqrqarVarqb034 aqz qd q第83页/共115页第八十四页，共115页。例3 导体(dot)球半径为a,带电量为Q ,距离导体(dot)球中心为f处放置电量为q的点电荷. 求电位.aqzfQaqz0az qQq解:32120102144rqrqarqb034 aqz qd q qqQ第84页/共115页

54、第八十五页，共115页。采用镜像法也可计算导体(dot)球壳内点电荷的电位.aqd0)(arVar)(球壳带电(di din)量为Q 点电荷位于(wiy)不接地导体球附近的场图第85页/共115页第八十六页，共115页。3)无限长导体圆柱附近有平行(pngxng)放置的线电荷的电位falalfalfld等效(dn xio)问题要使边值问题相同(xin tn)圆柱面上的电位应为常数1r2rslllrrrrr rr r22200100200 210lnlnln为计算方便，选电位参考点在线电荷与其镜像电荷之间的中点 00 rr 120ln2rrlsCCrr12adfarr12fad2falsln20

55、第86页/共115页第八十七页，共115页。alfld)(r1r2r无限长导体圆柱附近有平行放置的线电荷(dinh)的电位为120ln2)(rrrl线电荷(dinh)与镜像线电荷(dinh)具有对称性电位分布关于参考(cnko)面也具有对称性falsln20falsln20第87页/共115页第八十八页，共115页。例4. 一对平行导线，间距为D，导线半径(bnjng)为a。如果导线间电压为V，求电位分布。 aaD2/Vs2/Vs解:用镜像法,在其柱面内各放置等量(dn lin)异号的线电荷 aaDll2/Vs2/Vsdf线电荷与两根导线(doxin)的中心距离满足下式 fdDdaf2fDDa

56、2242dDDa2242slfa20ln2VlVDDaa02242ln( , )lnrrrl2021第88页/共115页第八十九页，共115页。4) 无限大介质(jizh)平面上点电荷的电场q121E2Eq111E q222E q如何(rh)计算q和q?q和q产生的电场(din chng)满足边界条件rcos4cos4221rqrqDnrcos4 22rqDnrqrq11144rq224 nnDD21 qqq2121 qqqqq1212qq2212第89页/共115页第九十页，共115页。例5. 在z0的上半空间(kngjin)为空气，在z0的下半空间(kngjin)为介质，在空气中z=h处有

57、一个点电荷q。求此点电荷所受的力。解:点电荷受到界面上束缚电荷的作用力，而界面上束缚电荷在上半空间产生的场可通过(tnggu)镜像电荷计算 qzx0 q点电荷所受的力 FqEqqhzzqh ()42160220200qq00 第90页/共115页第九十一页，共115页。小结(xioji)以上(yshng)两节学习了两种计算电位的方法分离(fnl)变量法镜像法可用于求解边界和坐标面一致的区域中电位.1)理想导电平面上方的电荷的电场2)导体球附近点电荷的电场3) 无限长导体圆柱附近有平行放置的线电荷的电位4) 无限大介质平面上点电荷的电场第91页/共115页第九十二页，共115页。2.10 电容(

58、dinrng)和部分电容(dinrng) 一个(y )半径为a,带电量为q的导体球放在介电常数为的无限的均匀介质中,电位为 aqrq4导体(dot)球的电位为 aq41) 均匀介质中的带电导体球aq4此比值与导体的大小及周围的介质有关，对于线性介质，与电场无关，也与导体所带的电量无关此比值越大，导体电位不变时，所带的电量越多反映了导体的带电能力.导体球的这一性质也可以推广到一般的导体系统中 第92页/共115页第九十三页，共115页。2) 孤立导体(dot)的电容导体(dot)q在线性介质中，一个孤立导体(dot)的电位（电位参考点在无限远处）与导体(dot)所带的电量成正比。 Cq导体所带的

59、电量与其电位的比值定义为孤立导体的电容 单位为 法拉(F)孤立导体的电容与导体的几何形状、尺寸以及周围介质的特性有关，而与导体的带电量无关。 孤立导体的电容反映了在电位给定时,导体承载电荷量的能力.第93页/共115页第九十四页，共115页。3) 两导体(dot)之间的电容导体(dot)1导体(dot)2qq12在线性介质中，两个带等量异号电荷的导体之间的电位差与导体上所带的电量成正比。 导体上的带电量与两导体之间的电位差之比定义为两导体系统的电容 Cq12两导体系统的电容与两个导体的几何形状、尺寸和间距以及周围介质的特性有关，而与导体的带电量无关。 两导体的电容反映了在电压给定时,两导体承载

60、电荷量的能力.两导体的电容还表示两个导体的电场相互影响，或者说电耦合的程度。 电容的概念不仅适用于电容器，而且适用于任意两个导体(如两根导线)之间，以及导体和地之间。 孤立导体的电容可看成两导体系统中一个导体在无限远的情况下的电容,或导体和地之间的电容。 第94页/共115页第九十五页，共115页。4) 多导体(dot)系统的部分电容11,q22,q33,qnnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq多导体孤立带电(di din)系统nkkq00)(210nqqqq对于多导体组成的孤立带电(di din)系统中的每一个导体，其电位与系统