常微分方程平衡点及稳定性研究

1、长春理工大学本科毕业论文摘 要本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型的平衡点的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系

2、统 平衡点 稳定性 全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss

3、the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through t

4、he stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity o

5、f the positive equilibrium of the following delay single population model is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asympt

6、otic stability;global attractivity目 录摘 要IAbstractII目 录I第1章 引言1第2章 微分方程平衡点及稳定性分析32.1 平衡点及稳定性定义32.2 自治系统零解的稳定性42.2.1 函数42.2.2 稳定性定理52.3 非自治系统的稳定性82.3.1 函数和类函数82.3.2 零解的稳定性102.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法142.4.1 相关定义142.4.2 判定平衡点稳定性的方法142.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法152.5.1 相关定义152.5.2 判定平衡点稳定性的方法15第3章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性

7、173.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性173.2 微分方程(3-1)的全局吸引性19第4章 常微分方程稳定性的一个应用23第5章 结论25参考文献27致谢2929 第1章 引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研

8、究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪5060年代，在美国贝尔曼(RBellman)、莱夫谢茨(SLefschetz)及拉萨尔(JPLaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。对于李雅普诺夫第

9、2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把

10、李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了5060年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广

11、泛地渗透到其他学科中去。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(TYoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和

12、电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。第2章 微分方程平衡点及稳定性分析2.1 平衡点及稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题 ， (2-1) 的解为.是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当时，无论多小，只要，当时，总有，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当时，与零解的误差不会超过初始误差，且随着的增加很快就会消失，所以当很小时，与零解的误差也很小。这个例子表明时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程， (2-2)满足解的存在惟一性定理的条件，其解的存在区间是，还满足

13、条件 (2-3)(2-3)保证是(2-2)的解，我们称它为零解。定义2.1 若对任意给定的，都能找到，使得当时(2-2)的解满足 ， (2-4)则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径，总能在中找到一个以原点为中心、半径为的开球，使得(2-2)在时刻从出发的解曲线当时总停留在半径为的开球内。注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个，使得对任意的，在开球内至少有一个点和一个时刻，使得注3 对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若是(2-2)的一个解，为了考察其他解和它的接近程度，我们就可以令，带入(2

14、-2)得 (2-5)这样一来，(2-2)解的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。所以在本文的讨论中，我们仅研究(2-2)零解的稳定性。定义2.2 设是中包含原点的一个开区域，对所有和任意给定的，总能找到一个，使得当时，有成立，我们就称是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有，均有.即从中出发的解趋于。定义2.3 若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。定义2.4 若定义2.1中的与无关，则称(2-2)的零解是一致稳定

15、的；若定义2.2中的与和无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。定义2.5 若有正数，对任意给定的，有，使得当时有则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。2.2 自治系统零解的稳定性前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性，直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入函数的定义，然后再给出稳定性定理。2.2.1

16、 函数设函数在中原点的某邻域中有定义，在中连续可微，且满足。定义2.6 若除原点外对所有均有，则称为正定函数(负定函数)；若对所有均有，则称为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若中原点的任一邻域内 既可取正值，也可取负值，则称为变号函数。例如，是中的正定函数，是中的半正定函数，而是中的变号函数。由定义2.6看出，正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维数和邻域的大小有关。例如是中的正定函数，而它在中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数在中的区域中是正定函数，而在中却不是正定函数。最常用的函数是二次型，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关的特征值

17、理论来判定，且一些复杂的函数往往可以通过对二次型的修改得到。一般函数的符号判断十分困难，通常是把在原点展开为级数其中，分别是的次、次齐次函数，根据展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定在原点邻域内的符号。对正定函数，容易证明当充分小时，是中包围原点的闭曲面，且随着趋于零，缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义可知，在内的闭曲面上，有正的下界，当时，在连接原点与任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点，使，所以是包围原点的闭曲面。2.2.2 稳定性定理设维自治微分方程 (2-6)的解为。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时的变化情况。将视为的复合函数，关于求导得 (2-7)(2-7

18、)为函数沿着(2-7)轨线的全导数。定理2.1 若有原点的邻域和一个正定(负定)函数，使得是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得负定(正定)时， (2-6)的零解是渐近稳定的。定理2.1的几何意义是函数正定时，是包围原点的闭曲面族，且随着的减少而缩向原点。当全导数半负定时，在时过的轨线上，的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在内，所以原点是稳定的。当负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。证 设正定，对任意给定的(不妨假设闭球在中)，取，则当时，的

19、点必全部位于原点的邻域内。由的连续性知，必有，使得当时。由于，当时，对一切有，所以，当时，。这就说明了半负定时，(2-6)的零解时稳定的。当负定时，(2-6)的零解稳定，只要，即可证明(2-6)的零解渐近稳定。利用反证法，设(2-6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的邻域内某点出发的解，使得。由于负定，故单调下降，从而由的正定性知必有，且时。由的连续性知，必存在，使得时。又由于是负定的，必有，在区域内，由(2-7)式得， (2-8)对(2-8)式两边积分得 (2-9)(2-9)表明，这与矛盾。故(2-6)的零解是渐近稳定的。例2.1 讨论系统零解的稳定性解 令，将该方程化为等价的微

20、分方程组 (2-10)令，显然是正定函数，容易求得沿(2-10)轨线的全导数为，它是负定函数，由定理2.1知该系统的零解是渐近稳定的。应当注意，如果取，那么，所求得的，是半负定的，由定理2.1只能得到(2-10)的零解稳定这一结论，得不到渐近稳定性。这表明构造适当的函数是非常重要的。当一个系统的零解事实上是渐近稳定时，我们有可能构造出函数用定理2.1来证明零解是渐近稳定的。也可能所构造出函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出函数，连零解的稳定性也无法得到。例2.1也提示我们在证明零解渐近稳定时，负定这一条件有可能再补充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理2.2，它降低了负定这一条件，给出

21、了判定渐近稳定性的又一结果。定理2.2 设在原点的邻域内存在正定函数1，它沿着(2-6)轨线的全导数是半负定的，如果集合内除原点外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。证 由定理2.1知，在定理2.2的条件下(2-6)的零解是稳定的。于是对给定的(不妨假设含在内)，可以找到，使得时，(2-6)满足的解；当时满，且由易见是的单调非增有界函数，故必有极限，令由于的正半轨有界，故它的极限非空，若，则，.这表明，从而有。由于是由(2-6)的整条轨线组成，而在中除外不再包含(2-6)的其他轨线，故有。于是有。零解的渐近稳定性得证。例2.2 讨论非线性振动系统 (2-11)零解的渐近稳

22、定性。其中和都是连续函数，且满足下列条件(1) ，(2) 解 选取，由条件(1)知，是正定函数。计算沿着(2-11)的轨线的全导数得.由(2)知是半负定的。又因为集合由(2-11)可见时，满足方程组的解必有，从而集合内除外不再包含(2-11)的其他轨线，所以(2-11)的零解是渐近稳定的。2.3 非自治系统的稳定性这一节研究非自治系统 (2-12)零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。2.3.1 函数和类函数设，是中包含闭球的一个邻域，是上定义的连续可微函数，是上定义的连续可微函数。定义2.7 若有正定(负定)函数，使得在上成立，且，则称是上的正定(负定)函数。若，则称是半正定函数(半负

23、定函数)。注:分析定理2.1的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明的关键所在，即时， (时)。对于而言，若仅要求， ，则上述性质不一定能保持。例如。这就是为什么要通过的正定性来定义正定的原因。例如是的正定函数，而仅是半正定函数。 定义2.8 若是的正定函数，且，则称是上的无穷大正定函数。定义2.9 若有正定函数，使得，则称具有无穷小上界；若有无穷大正定函数，使得，则称具有无穷大下界。例如对，可以取，所以有，即是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。函数具有无穷小上界的特征是当时，必有正数，使得，即充分小时， 可以充分小。当时，这就等价于，连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而具有

24、无穷大下界的特征是当充分大时，可以任意大。定义2.10 设是的连续函数，且，严格单调递增，则称是类函数，记为。若还满足，则称为无穷大类函数。类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十分密切的关系。引理2.1 (1) 是正定函数的充分必要条件是有，使得 (2-13)(2) 若有，使得，则必是正定函数，反之亦真；(3) 若有，使得，则具有无穷小下界，反之亦真；(4)若有无穷大类函数，使得，则是具有无穷大下界的函数，反之亦真。证 由于引理2.1的(2)(4)又可以从定义和引理2.1的(1)直接推出，故在此仅证明(1)。若有，使得(2-13)成立，则显然有和，故为正定函数，充分性

25、得证。反过来，若是正定函数，则可以定义函数，由的正定性和连续性知，连续，且时，.又当时，当时，这表明是严格单调递增的函数，且满足.同理可定义.按前面类似的过程可以验证是满足的类函数。所以(2-13)式成立，必要性得证。2.3.2 零解的稳定性设是上定义的连续可微函数，是(2-12)的解。定义沿着(2-12)解的全导数为利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理。定理2.5 (1) 若有正定函数，使得半负定，则(2-12)的零解稳定；(2) 若正定且有无穷小上界，半负定，则(2-12)的零解一致渐近稳定。证 定理2.5证明思路是利用类函数的性质:当时必定有.其证明过程就是利用类函数

26、的这些性质对任意给出的寻找满足相应稳定性定义的，而给出时要反复利用引理3.1中函数与类函数的关系。(1) 由于是正定函数，由引理2.1得，有类函数，使得.()，由及的连续性知，必有，使得当时，.由于，故当时有由类函数的单调性知，.所以，(2-12)的零解是稳定的。(2) 当是具有无穷小上界的正定函数时，由引理2.1知，必有类函数和，使，取，当时，由得由类函数的单调性知，.故(2-12)的零解是一致稳定的。(3)当正定，且有无穷小上界，负定时，由(2)知，(2-12)的零解一致稳定，下面仅证明(2-12)的零解一致吸引。由引理2.1知，必有类函数，和，使得 (2-14)对任意给定的()，使得当时

27、，对一切有.取.由于，故，且当时， ，所以是一个有限正数。由于对上式两边积分得即 (2-15)再由的非负性和(2-14)，(2-15)得 (2-16）所以当，时，由(2-16)得 (2-17)由得，再由上式得，最后由的单调性知，。是(2-13)零解的一致吸引域，故(2-13)的零解是一致渐近稳定的。例2.3 讨论方程 (2-18)零解的稳定性。解 取沿(2-18)解的全导数为。因为，所以，是具有无限小上界的正定函数，半负定，由定理2.5知，(2-18)的零解是一致稳定的。例2.4 讨论 (2-19)零解的稳定性。解 取，显然有。所以是具有无限小上界的正定函数，又因为即是负定的，所以由定理2.5

28、知，(2-19)的零解是一致渐近稳定的。例2.5 讨论系统的平衡点及其稳定性解:根据定义平衡点为。1.间接法:用Mathematica数学软件的Dsolve求解功能解出系统的两组解为:再用Mathematica数学软件的Limit求极限讨论系统解的变化趋势，可以得出，当时，系统的解，所以为系统的稳定的平衡点，为系统的不稳定的平衡点2.直接法:根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有:在点处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:故是系统的稳定的平衡点；在点处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:故是系统的稳定的平衡点；在点处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:故是系统的不稳定的平衡点。2.4

29、判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法2.4.1 相关定义定义2.11 右端不显含自变量的微分方程称为自治方程（自治系统） 在这里我们仅讨论右端不显含自变量的一阶微分方程形如 (2-20)定义2.12 代数方程的实根称为微分方程(2-20)的平衡点。定义2.13 从某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解满足，则称是渐近稳定的，否则是不稳定的。2.4.2 判定平衡点稳定性的方法1.间接法: 从某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解满足，则称是渐近稳定的，否则是不稳定的。这样的判断方法称为间接法；2.直接法:不求方程式(2-20)的解的方法，成为直接法。方法:将在处作泰勒展开，只取一次项，

30、有微分方程(2-20)可近似为 (2-21)称为(2-20)的近似线性方程也是(2-21)的平衡点， (2-21)式的解为 (2-22)因为，所以有下列定理定理2.6 关于方程(2-20)的平衡点的稳定性，有如下结论:1.若，则称为方程(2-21)和(2-22)的稳定的平衡点2.若，则称为方程(2-20)和(2-22)的不稳定的平衡点例2.6 讨论Logistic模型的平衡点的稳定性解:1.间接法:根据定义2，Logistic模型的两个平衡点为:，模型的解为:，则根据定义2.13，当时，总有，则平衡点是稳定的平衡点，平衡点是不稳定的平衡点2.直接法:，则有，则，则根据定理2.6，是不稳定的平衡

31、点；是稳定的平衡点分析:从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在处趋于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量.符合Logistic模型的假设2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法2.5.1 相关定义定义2.14 右端不显含自变量的微分方程组 (2-23)是二阶自治方程（系统），二阶方程可以表示为两个一阶方程组定义2.15 代数方程组的实根组成的点称为自治系统(2-23)的平衡点或奇点。定义2.16 对于自治系统(2-23)的平衡点若以所有可能的初始条件出发的解，满足，则称平衡点稳定；否则称不稳定。2.5.2 判定平衡点稳定性的方法为了用直接法讨论系统(2-2

32、3)平衡点的稳定性，要先研究线性常系数微分方程组 (2-24)的平衡点及其稳定性。是(2-24)式的唯一的平衡点，它的特征方程是，则(2-24)式的特征根为，(2-24)式的一般解的形式为或，所以根据稳定性的定义2.16可得下列定理定理2.7:关于(2-24)的平衡点的稳定性，有如下结论:1.若且，则(2-24)式的平衡点稳定；2.若或，则(2-24)式的平衡点不稳定；那么对于系统(2-23)式平衡点的稳定性，也是用线性近似方法来判断，将在点处作泰勒展开，只取一次项，得(2-23)在的线性近似方程为: (2-25)微分方程(2-25)的讨论跟(2-24)是一样的，并且有下列的结论成立 :在非临

33、界的情况下（即），(2-23)平衡点的稳定性与(2-24)式平衡点的稳定性相同，而在临界的条件下（），二者可以不一致，比如说，线性近似方程的平衡点为中心时，要用其它的方法来判断(2-23)平衡点的稳定性。第3章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性考虑单种群增长模型一阶非线性时滞微分方程 (3-1)及初始条件 (3-2)其中 (3-3)方程(3-3)详细的生物学意义和研究该方程的实际作用。当时，方程(1)退化为下述著名的Logistic微分模型 (3-4)方程(3-4)解的各种性态已被广泛研究。Kuang，Zhang和Zhao研究了方程(3-1)和(3-2)解的有界性和全局吸引性，证明了:如果

34、(3-5)且存在和使得 (3-6)则(3-1)与(3-2)的每个整体解(存在区间为0，)趋向1。在此首先研究与方程(3-1)相关的一个差分方程 (3-7)的平衡点的全局渐近稳定性，其中 (3-8)然后应用于方程(3-1)，获得其平衡点全局吸引(即所有解趋向1)的充分条件，该条件改进了(3-6)式。3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性引理3.1 假设条件(3-8)成立， (3-9)则方程(3-7)有唯一平衡点。引理3.2 假设条件(3-8)和(3-9)成立，定义映射 (3-10)则映射将区间映为。引理3.1、3.2容易直接验证，详细证明略。引理3.3 假设条件(3-8)和(3-9)成立，则

35、方程(3-7)的平衡点是局部渐近稳定的。证 方程(3-7)在平衡点处线性化方程为，当 时，由线性化稳定性理论知方程(3-7)的平衡点是局部渐近稳定的，当时，g(x)在处的Schwarzian导数是渐近稳定的，(3-7)的平衡点亦是局部渐近稳定的，证毕。引理3.4 假设(i) 将某个区间 I映到自身；(ii) 是在上唯一不动点；(iii) 在上的Schwarzian导数为负；(iv) 在上单调递减。如果差分方程 (3-11)的平衡点是局部渐近稳定的，则也是全局渐近稳定的。定理3.1 假设条件(3-8)和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点在区间上是全局渐近稳定的。证 设映射g如(3-10)式

36、所令，只需验证g在区间上的Schwarzian导数为负，事实上，对于任一，g(x)的Schwarzian导数为证毕。3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性下面的定理2讨论了(3-1)和(3-2)解的有界性定理3.2 假设条件(3-3)成立且 (3-12)则初值问题(3-1)和(3-2)的解满足 (3-13)证 当(3-3)成立时易证(3-1)和(3-2)的所有解。令，则(3-1)变换为 (3-14)相应的初始条件变换为 (3-15)其中，下证 (3-16)如果(3-16)式不成立，由(3-15)知存在，使得 因此，由(3-14)知，如果，则从到积分(3-14)式得如果，则从0到积分(3-14)

37、式得上述两种情况均与假设矛盾，所以(3-16)式成立，从而(3-13)式成立。证毕。最后给出(3-1)和(3-2)的平衡点全局吸引的一个充分条件。定理3.3 假设条件(3-3)和(3-5)成立，且 (3-17)则 (3-1)和(3-2)的每个解趋向1。证 由(3-17)式知存在，使得 (3-18)由定理2推知，令，则方程(3-1)变换为方程（3.14），且。下证即可。若非振动，则由（3.14）知最终单调，于是（3.5）和（3.14）容易证明。若振动，定义序列 (3-19)则由定理3.1，知。下面证明存在序列使得 (3-20)因振动，所以可以选取序列满足 下证(3-20)式成立。令为在区间上的极

38、值点，则由(3-14)知于是从到积分(3-14)式并利用(3-18)得上式表明，。另一方面，当时，再从到积分(3-14)式并利用(3-18)得上式表明，。因此当时(3-20)式成立。现假设时(3-20)式成立，即当时，因此有上式表明，另一方面，当时。因此上式表明。所以当时，(3-20)式亦成立，由数学归纳法知(3-20)式对所有非负整数成立。因此，证毕。注:，所以(3-7)式改进了(3-6)式。第4章 常微分方程稳定性的一个应用考虑在一个小生境中两个互相竞争的生物种群的变化情况，记分别为时刻两生物种群的总数，当种群的总数较大时，我们就可以将看做有一定光滑性的函数，描述着两种群变化的模型为 (4

39、-1)其中都是正常数，表示第种生物的内禀增长率，反映了第种群受食物、环境等影响的密度制约因素，和是两者间的竞争系数，由于问题的实际背景，我们仅在内讨论问题。模型(4-1)有4个平衡点，其中,。当， (4-2)时，平衡点在的内部。在生态学中最感兴趣的问题是两个生物群体能否共存，所以我们在下面的讨论中设(4-2)成立，仅讨论正平衡点的稳定性。利用，满足的方程将模型(4-1)化为 (4-3)选取函数，其中是待定的正常数，计算得所以时内部的正定函数，且容易验证趋于的边界时，故时内有无穷大下界的函数。计算沿着(4-1)解轨线的全导数得(4-4) 是和的二次齐次数。当 (4-5)时，是负定的。为此，将(4-5)整理、化简为 (4-6)由于，故取，此时(4-6)化为可得到如下结论:若，时，模型(4-1)有唯一的正平衡解，它是全局一致渐近稳定的。第5章 结论从上面的分析和例子可以看出，零解的稳定性主要通过稳定性定理结合函数来判断，而平衡点的稳定性的讨论方法主要有间接法和直接法两种，间接法需要求出系统的解析解，对于一些简单方程的可能很容易求出，而对于一些复杂的方程，我们是借助了数学软件求出的方程的通解；而直接法不用求方