自考线性代数学习指导

1、. 线性代数学习指导第一章 行列式一、余子式与代数余子式1.元素的余子式：(本质是个实数或者代数式) 定义：划去元素所在的第和第列的所有元素后，剩下的元素位置不变所构成的新行列式2.元素的代数余子式：(本质是个实数或者代数式)关系：(两者要么相等，要么相反)二、关于行列式的计算方法一：对角线法(沙路法)使用对象：二、三阶行列式方法二：行列展开法使用对象：任意阶行列式公式：(注：实际计算中的两种常用方法。方法一：按照行列式的性质化简后，尽量化为上三角行列式；方法二：经过适当的化简后，接近上三角行列式，然后选择0元素最多的行或者列展开。)三、行列式的性质性质1：行列式与其转置行列式行列(互换后的行

2、列式)相等()性质2：任意交换行列式的两行(列)，行列式的值变号 推论：行列式中若有两行(列)元素对应相同，则行列式的值为0性质3：若行列式中某一行(列)有共同因子，可以将该因子提取到行列式符号前面 (对比：若是阶方阵，则)性质4：行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则行列式的值为0性质5：(拆分性质)行列式可以按行(列)拆开 性质6：(放大平移不变性质) 把行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列) 的对应元素上去，行列式的值不变 (第行的倍加到第1行,行列式的值不变) 三、特殊行列式的值1上三角行列式2下三角行列式3对角行列式四、几个行列式的关系(常考考点)如A,B

3、为阶方阵，则五、克拉默法则 含有个方程的元线性方程组的一般形式为 (1)，它的系数构成的阶行列式 (实质：)称为方程组(1)的系数行列式定理(克拉默Cramer法则)如果个方程的元线性方程组(1)的系数行列式，则方程组必有唯一解：其中(其实就是用方程组右边的常数列来代替系数行列式中的第列元素)六、齐次线性方程组及其解 方程组(1)中的常数，这时对应的方程组为(2) ,称为齐次线性方程组 (实质：)结论：若此时系数行列式，则方程组(2)只有零解： (此时 故有唯一解(即零解) ); 若时，则它有无穷多个解，必有非零解) 第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念(数表) 定义：由个数排成的一个行列的数表

4、，称为一个行列矩阵(1)称为矩阵的第行第列元素(2)：行标; ：列标，(3)第行与第列的交叉位置记为(4)一般用大写字母表示矩阵，如,或，或注意：一般情况下，若则称矩阵为阶方阵二、特殊矩阵1行矩阵：只有一行元素的矩阵 (也可以称为维行向量, )2列矩阵：只有一列元素的矩阵 (也可以称为维列向量,)注意：向量是特殊的矩阵，而且是非常重要的特殊矩阵，后面会详细介绍30矩阵：所有元素都为0的矩阵，用或者表示， 如 三、特殊方阵1阶对角阵：, 或者简写为2阶数量阵： 或者 3阶单位阵：，或者4阶对称矩阵(实对称矩阵) ：设为阶实方阵，若，称为对称阵()5阶反对称阵(实反对称矩阵)：设为阶实方阵，若，称

5、为反对称阵 () 注意：若为反对称矩阵，则必有(主对角线上的元素都为0)四、同型矩阵行数和列数都相等的两个矩阵，称为同型矩阵。(就是两个同型矩阵)五、矩阵的相等定义：同型矩阵与，若对应元素都相等，即，则称这两个矩阵相等，记作六、矩阵的加法运算1定义：同型矩阵与，由与的对应元素相加所得到的一个矩阵，称为与的和，记为，即2运算法则：(1)交换律 (2) 结合律 (3) (4)消去律 (5)其中称为的负矩阵，即,则 七、矩阵的数乘运算1.定义：对于任意一个矩阵和任意一个数，规定与的乘积为 (每个元素都与相乘)2运算法则：(1) 结合律：，和为任意实数(2) 分配律：，为任意实数八、矩阵的乘法运算 (

6、, )1判断可行性:要求前面矩阵的列数=后面矩阵的行数 (即)2如可行，确定新矩阵的行和列 记，则(先宏观)的行数等于前面矩阵的行数，的列数等于后面矩阵的列数3计算新矩阵中的每一个元素 其中(后微观) (前面矩阵取行元素，后面矩阵取列元素，对应相乘再相加) (比喻：前面矩阵行元素看作是观众，后面矩阵列元素看作是座位，观众到电影院看电影找座位，然后再把他们用胶水粘在一起)九、乘法运算的法则1. 一般不满足交换律，即 定义：若，则称为可交换矩阵2. 3. ，(两种情况，左分配与右分配)4. ，为任意实数 5. 十、方阵的方幂1 2, 为任意正整数注意：方阵的方幂与实数域中的运算法则相同十一、矩阵的

7、转置1.定义：设矩阵，把矩阵的行与列互换得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记作或，即2.运算法则1. 2. 3.，为实数 4. (交换位置) (对比：)(定义：若阶方阵满足,则称为正交矩阵)十二、方阵的行列式1.定义：由阶方阵的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵的行列式，记作或，即,如果，则2.运算法则1. 2. 3. (行列式乘法规则)十三、方阵多项式定义：任意给定一个多项式和任意给定一个阶方阵，都可以定义一个阶方阵,称为的方阵多项式 (本质是个方阵)(末项是数量矩阵而不是常数，方阵多项式是以多项式表示的方阵)十四、逆矩阵的概念 (注意：逆矩阵存在则其唯一)1. 定义：设是一个阶方阵，若存在

8、一个阶方阵，使得成立，则称是可逆矩阵(或非奇异矩阵),并称方阵为的逆矩阵，记为;若这样的方阵不存在，则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵) 2. 逆矩阵的性质运算法则1. 2. (交换位置) (对比：)推广：设是个同阶的可逆矩阵，则也可逆，且 3. 4. (逆运算与转置运算可以互换顺序)5. 可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去，即当为可逆矩阵时，有 6. 设是一个阶可逆方阵，我们记，并定义，其中是任意正整数，则有。这里，和为任意整数 (包括负整数，零和正整数)十五、伴随矩阵设，为的元素的代数余子式，则定义矩阵为的伴随矩阵，记为，即注意：若为阶方阵，则十六、求逆矩阵的两种方法方法一：,其中 为矩阵的伴随矩

9、阵，为矩阵的行列式(缺点：矩阵阶数为4阶以上时，计算量太大，使用不方便)方法二：利用初等行变换法将原来矩阵化为单位矩阵即可，具体步骤：主要是对竖线左边的矩阵施行初等变换,首先要调兵遣将，实现第一步:从上到下，从左到右，化为0元素，同时实现，变为上三角矩阵；第二步:从下到上，从右到左，化为0元素，在每一步中，及时实现主对角线上的元素；此时竖线右边的矩阵 就是我们要求的.十七、分块矩阵1.矩阵的分块矩阵的一般形式为对于同一个矩阵可以有不同的分快法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法(1)(按行分块)行向量表示法，其中(2)(按列分块)列向量表示

10、法，其中十八、4种最常用的分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法把矩阵和作同样的分块：, , 其中，的行数=的行数；的列数=的列数，则 2.数乘分块矩阵数与分块矩阵的乘积为 (矩阵中所有元素都与相乘)3.分块矩阵的转置设，则其转置矩阵为，式中 (内外一起转)4.分块矩阵的乘法和分块方阵求逆方阵地特殊分块矩阵主要有以下三类:(凡空白处都是零块)(1)形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵小结：若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵可逆，且= (2)两个准对角矩阵的乘积，设与是同阶方阵，则=若对某个，与不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵不能相乘十九、矩阵的初等变换定义：对一个矩阵施行以下三

11、种类型的变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为矩阵的初等变换 (用“”连结变换前后的矩阵)(1)交换的某两行(列)(2)用一个非零的数乘的某一行(列)(3)把中某一行(列)的倍加到另一行(列)上 二十、矩阵的等价 (注意：后面还有矩阵的相似，矩阵的合同)定义：若矩阵经过若干次初等变换变为，则称与等价，记为矩阵之间的等价关系有以下三条性质(1)反身性 (2)对称性 若,则(3)传递性 若,则 (对比：矩阵的相似 ，定义为存在可逆矩阵，使得) 二十二、初等矩阵定义： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 (1)交换任意两行(列)，(2)用一个非零的数乘的某一行(列) ，(3)把中某一

12、行(列)的倍加到另一行(列)上 二十四、矩阵的等价标准形 (注意：后面还有矩阵的相似标准形)定义 : 任意一个矩阵，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的矩阵：,这是一个分块矩阵，其中为阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵.称为的等价标准形(对比：相似标准形，定义为对于矩阵，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵，则称对角矩阵为的相似标准形) 定理 ： 对于任意一个矩阵，一定存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得 二十五、阶梯形矩阵定义：满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵(1) 如果存在全零行(元素全为零的行)，则全零行都位于矩阵中非零行(元素不全为零的行)的下方(2) 各非零行中从左边数起的

13、第一个非零元素(称为主元)的列指标随着行指标的递增而严格增大(注意：最直观的判断，从上到下从左到右，在非零元素的下方划横线，所有的线连接起来后看是否象个阶梯 )二十六、行最简形矩阵定义：将阶梯形矩阵进一步进行初等变换，将主元全化为1，且这些主元所在列的其他 元素全化为零，得到的阶梯形矩阵称为的行最简形矩阵(比喻：每一行非0的排头兵都是1，1是老大，其所在列的其他元素都只能是0)二十七、子式与非零子式(1)子式: 在矩阵中，任意取定行和列，.位于这些行与列交叉处的个元素按原来的相对顺序排成的阶行列式称为的一个阶子式。(2)非零子式：对于确定的来说，在矩阵中，阶子式的总个数为。把中对应不同的的所有

14、阶子式放在一起，可以分成两大类：值与零的与值不为零的。值不为零的子式称为非零子式二十八、矩阵的秩定义：在矩阵中,非零子式的最高阶数称为的秩，记为( 注意：实际在求的秩时，只需要求出的行阶梯形矩阵的非零行的行数就行了，简单易行。=阶梯形矩阵中非零行的行数 ，在方程中反映了有效方程的个数)定理：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩二十九、线性方程组的解定理：元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩推论1：含有个方程的元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。推论2 若方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解三十、关于方程组的求解 方阵可

15、逆，即存在1. 方程组 方法：先求出，计算出即可2. 方程组 方法：先求出，计算出即可 第三章 向量空间 一、向量的概念定义：由个数组成的有序数组称为一个维向量，数称为该向量的第个分量。向量的维数指的是向量中的分量个数(1)行向量：(2)列向量：(3)零向量：所有分量都是零的维向量称为维零向量，记作注意：不同维数的向量是不相等的(4)负向量：把向量的各个分量都取相反数组成的向量，称为的负向量，记为(5)相等向量：如果维向量与维向量的对应分量都相等，即，则称向量与相等，记作二、向量的运算(线性运算)1. 加法：设维向量，则和的和是向量 2数乘：设是一个维向量，为一个数，则数与的乘积称为数乘向量，

16、简称为数乘，记作，并且三、线性运算的8条运算律：设都是维向量，是数，则(1) ; (加法交换律) (2) ; (加法结合律)(3) ; (4) ;(5) ; (6) ; (数乘分配律)(7) ; (数乘分配律) (8) (数乘与向量结合律)主线：线性组合线性表示线性相关(无关)三、向量的线性组合定义：设是一组维向量，是一组常数，则称 为的一个线性组合，常数称为该线性组合的组合系数。(比喻：就是找一根绳子，把个珍珠串成一根项链) (1)若一个维向量可以表示成,则称是的线性组合，或称可用线性表出(或线性表示)。仍称为组合系数，或表出系数 (2)显然，零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出: ,，

17、称它为零向量的平凡表出式：(这说明，表出系数可以全为0，表出系数全为0时被表出的向量必是零向量)四、向量组若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组个向量组成的向量组可记为或(比喻：向量组就好比是个俱乐部，比如有三套房子的人的俱乐部，每个人都是3维的，3个坐标分别是第1套房，第2套房，第3套房)五、线性相关与线性无关定义：设是个维向量，如果存在个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数。否则，称向量组线性无关。 (比喻：线性相关好比存在亲属关系，可以互相融合，最终出现0行)第四章 线性方程组一、关于方程组的解(每年必考内容)1.非齐次线性方程组的解的情况(是维列向量，是维常数列，显然

18、变量个数为)(1)时有解时，方程组有唯一解时，方程组有无穷多解(2) 时无解2.次线性方程组的解的情况(是维列向量，0是维常数列，显然变量个数为)因为这时满足，所以方程组必然有解(1)时有解时，方程组有唯一解(唯一解即零解，所有变量都为零,)时，方程组有无穷多解(必有非零解)特殊情况：3.齐次线性方程组的解的情况 (此时是方阵)(是维列向量，0是维常数列，显然变量个数为)因为这时满足，所以方程组必然有解(1)时有解时，方程组有唯一解(唯一解即零解，所有变量都为零,)时，方程组有无穷多解(必有非零解)简化结论：是阶方阵时，第五章 特征值与特征向量一、关于特征值和特征向量1.若方阵的特征值是，则的

19、特征值是;是的特征向量，也是的特征向量2. 若方阵的个特征值是，则有(1) (主对角线上的元素之和)(2)二、矩阵的相似 (对比: 矩阵的等价，矩阵的合同)定义：设和是两个阶方阵，如果存在某个阶可逆矩阵，使得则称和是相似的，记为同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质(1)反身性： (2)对称性： 若,则(3)传递性： 若,则 三、定理：相似矩阵必有相同的特征值，因而必有相同的特征多项式,相同的迹和相同的行列式四、定理： 阶方阵相似于对角矩阵有个线性无关的特征向量五、矩阵的相似标准形 定义：若对于矩阵，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵，则称对角矩阵为的相似标准形六、定理：设和分别是阶方阵的属于两个不同

20、特征值和的特征向量，则和必线性无关七、两个矩阵相似的结论 () 1.特征值相同2.特征多项式的值相等3.4. 5. 八、施密特正交化方法 将向量组标准正交化 第一步：先正交化 ， ，第二步：标准化(单位化) ， 比喻：新领导对应同级别的老领导，同时新领导考虑到自己的部下九、正交矩阵十、实对称矩阵的相似标准形第六章 二次型一、实二次型二、二次型的矩阵三、二次型的标准形和规范形四、相似标准形五、合同矩阵六、惯性定理 (正惯性指数、负惯性指数、符号差)七、顺序主子式八、正定矩阵(负定矩阵、半负定矩阵、不定矩阵)主要考点汇总编号概念定义性质、结论及其拓展1行列式定义省略行列式为阶，或者都是阶矩阵结论：

21、2转置矩阵定义省略常用运算性质：(1)(2)(交换顺序)(3)拓展：(1),若可逆，则必然可逆(2)时，称为正交矩阵(若正交，则必然正交)3逆矩阵定义：都是阶矩阵，满足,则称互为逆矩阵，记作或者注意：或为满秩可逆常用运算性质：(1)(2)(交换顺序)(3)拓展：(1)(2)的特征值为则 的特征值为4矩阵的等价定义：若矩阵经过若干次初等变换变为，则称与等价，记为 (即)矩阵之间的等价关系有以下三条性质(1)反身性 (2)对称性 若,则(3)传递性 若,则 5矩阵的相似定义：设和是两个阶方阵，如果存在某个阶可逆矩阵，使得则称和是相似的，记为(即)同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质(1)反身性 (

22、2)对称性 若,则(3)传递性 若,则 拓展：1.相似时两个矩阵的特征值相同2.特征多项式的值相等注意：反过来不成立即若，与不一定相似3.(迹)4. (同时可逆或者同时不可逆)5. ；6.秩()=秩()6矩阵的合同定义：设和是两个阶方阵，如果存在某个阶可逆矩阵，使得则称和是合同的(合同于)，记为(即)性质：(1)反身性 (2)对称性 若,则(3)传递性 若,则 注意：合同变换不改变二次型的正定性7正交矩阵性质：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩阵的特征值只能是拓展：(1)两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵(2)阶实方阵正交，则的个行(列)向量是标准正交向量组8等价标准形定理

23、： 对于任意一个矩阵，一定存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得 称为的等价标准形9相似标准形定义：若对于矩阵，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵，则称对角矩阵为的相似标准形性质： 与的特征值完全相同，就是矩阵的主元拓展：(1)任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵(2)对角元两两互异的三角矩阵一定相似于对角矩阵10相似对角化定义：若阶矩阵可与对角阵相似，则称是可相似对角化的，简称可对角化可对角化的充要条件：(1)有个不同的特征值(2)有个线性无关的特征向量(3)对的任一特征根，其重数与对应线性无关的特征向量相同，即可对角化时的基本结论：(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关11实对称矩阵性质及基本

24、结论：(1) 的特征值为实数，且的特征向量为 实向量(2) 的不同特征值对应的特征向量 必定正交(3) 一定有个线性无关的特征向量，从而相似于对角矩阵，且存在正交矩阵，使得，其中为的特征值12向量内积定义：两个维行向量，的内积为(本质：实数)结论：(1) 两个维行向量，的内积为 (2) 两个维列向量，的内积为性质：(1)对称性(2) 线性性合并为(3)正定性，且(4)许瓦兹不等式13向量的长度定义： 维行向量的长度指的是实数(当时，称为单位向量)性质：(1)非负性，且(2) 齐次性 (3)三角不等式14向量的正交设，如果，则称与正交，记为15正交子空间取定，考虑在中与此正交的所有向量全体，称为

25、在中的正交子空间16正交向量组如果一个同维向量组中不含零向量，且其中任意两个向量两两正交，则称这个向量组为正交向量组17标准正交向量组若正交向量组中的每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组结论：18正交矩阵性质：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩阵的特征值只能是拓展：(1)两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵(2)阶实方阵正交的个行(列)向量是标准正交向量组19矩阵的秩定义：矩阵经过有限次初等变换后，非零行的行数就是矩阵的秩，记作结论：(1)初等变换不改变矩阵的秩(行秩=列秩)(2)(3)(4) (5) 可逆；可逆20线性相关定义：设是个维向量，如果存在个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数。否则，称向量组线性无关。结论与判断：(1)单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关(2)两个向量线性相关对应分量成比例(3)部分相关整体必然相关；整体无关部分必然无关(4)无关接长仍然无关；相关截短仍然相关(5) 任意个维向量必相关(个数大于维数就相关)(6)设向量组可以由线性表示，且，则必线性相关(7)设向量组可以由线性表示，且线性无关，则21特征值为的特征值，(有多个特征值)结论：(1)