二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析

1、二维定常不可压缩 N-S方程无屋纲分析1/ 61二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是 NS (Navier-Stroke s )方程 组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。当考虑流体 的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力(垂直于作用面的压 力夕卜，还有与作用面相切的切向力.NS方程建立了流体微团的动量变化 率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系.反映了黏性流 体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义.本文旨在对二维定常不可压缩 N S 方程进行无量纲化.方便倚化计算和 分析相似实验。呈纲分析就是对

2、有最纲的物理方程进行参数的组合.实现参 数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：1方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计 算速度；(2通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为 某个特征参数，这样可以降低计算难度；(3防止方程中的物理参数在数量级上造成差异,从而降低精度损失；(4将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。流体力学中的相似逋常可以分为几何相似、运动相 4 以和动力相似。流动 相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似,例如模型流动与实际 流动相似,则其流场中相应点上各同类物理呈将具有各自固定的比例关系，也印 可将模型实验

3、的成果应用于实际流动中一相似原連指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动 相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。根 1S相似原 理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系, 其对应物理量都成一定的比例黄系.在应用中，首先需要分析所要硏究的菰体， 找岀彫响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似， 而不必计 较其它作用力是否达到相似。 例如对于一些流动现象，只要流功的雷诺数不 是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。雷诺数是用来判断流体流动特性二维定常不可压缩 N-S方程无量纲分析2/66的无量纲量，对于封闭坏境内的流动，当雷诺数

4、小于 230 0 时的流动为层漩， 能用 N-S方程表示：当雷诺数大于 4000时的流动为湍流,不能用 NS 方程 表力 7。二、二维定常不可压缩流休的NS方程参照工程流体力学基础I,在流场中任取一个平面六面体微团,作用在 六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用P表示切向力.用 T表示切向力。对于这个六面体，每个面上都有三个应力分呈，共有 18个应力分呈。根据牛顿第二定律，可写出沿 x轴的运动微分方程:y、z轴的方程类似可得。方程组中仍有多个未知量，不足以进行求解、还 必须对应力进行分析，寻找应力之间的关系式根摇达朗伯原理和广文牛顿内摩 擦定律,则有：P = Pyy

5、 = Pzz=-P最后导出沿 x 轴的 N S 方程：du13p d2u d2u d2tz乔=X_莎+u（乔+歹+韵本文研究的是二维定常不可压缩流体、不考虑 z 轴方向，以式 2。4为参 考，得出二维不可压缩定常流动的 N S方程：2,5)式中山、w分別是心 y方向的速度，是流体密度，p是压力，u 是运动粘 度，X, Y是质量力在心 y方向上的两个分量.三、N S方程无量纲化量纲分析的基本原理是量纲的和谐性.两个量能进行比较的前提是它们的 量纲相同，这就是量纲的和谐性煽理，当然，两个量纲为 1的量是可以无条件相 互比较的。根据量纲的和谐性原则，提出了量纲分析方法：(2o 3 )(2. 4)二维

6、定常不可压缩 N-S方程无量纲分析3/66兀定理法:若物理方程)=0,共含有门个物理呈，其中有 k个是 基本星，在保持量纲和谐性的前提下，这个物理方程可以简化为各个物理呈所 构成的量纲为 1的组合.二维定常不可压缩流祥流动的 N S方程：二维定常不可压缩 N-S方程无量纲分析4/66du伽fd2udi=x-pdx+ vdx2dv1% 1一=Y - dtpdx+ vdx2d2u+歹d2u+歹选取特征昼为：特征长度 L.特征速度 U。本文限于讨论不可压缩流动,流体密度和黏度在全流场保持常数.用基本变屋除其他变呈得到其他变呈的无量纲数:(3。1)* yy=TPU(3 2)C3o 3)(3.4)(3.

7、5)(3. 6)(3 o 7)举 3 1和 3.2说明无昼纲化过程，du _ d(u- -U)U du _ U d八di - a(f / (/) L/U*dt* I Wdtd2u dzdnxa* U) U d2udx2我6)a(x* *L)d(A：* * L)(3 o 8)C3O9)(3。 1 0)按照上式一样将各个无量纲数代入到 N S 方程中，便得到了二维定常不可 压缩无呈纲的 N-S方程组：W = TX_ p L ax$ V、p、v、) = 0(4.1)式中的为管壁粗糙度。应该兀定理对上述式子无量纲化,得到；U dv * u2L / UdtK整理得到最终的式子:(3.12)(3.13 )

8、3.14)LpU2dp *P L 3)八卜二维定常不可压缩 N-S方程无量纲分析6/66API Vd,、科 HD(4。2) =扌为管壁的相对粗糙度为霄诺数.根据式 4。2可知，在直管道流动模型设计中，要设计相似实验，需要满足 四组无量纲虽相似，雷诺数、管壁相对粗糙度、长度和烽。11 ?2di d?人心V2d2V1 - 2P APW17存管壁粗糙度的相似由 d直接确定，当选用相同的漩体时= V2,则可以 得出：(P)2 =说(善)2(AP)L根据，当雷诺数超过 4000时，惯性力远大于黏性力，管內流体的紊乱程 度及速度剖面几乎不再变化，阻力系数与雷诺数无关，本文中的 N-S方程 不再适用于管內流动，此时可以忽略黏性力的影响.流动进入目动模化区，此时 不必考虑模型的雷诺数与原型是否相锌，只要模型与原型所处同一模化区即可。五、结论本文对二维不可压缩黏性流体的 NS 方程进行了无量纲化分析,分析了 量纲处理的优越性并结合流动相似性履理，以直管漩动试验为对象进行分析, 发现无量纲化 N-S方程对于简化方程形式，理解方程本质，减少计算量上提供 了很好的帮助。参考文献1 韩占忠，王国玉.工程流体力学基础M.北京：北京建工