(完整word)小学六年级奥数抽屉原理(含答案),推荐文档

1、知识要点1. 抽屉原理的一般表述（1）假设有 3 个苹果放入 2 个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。它的一般表述为：第一抽屉原理：（mn+ 1）个物体放入 n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m+ 1）个物体。（2）若把 3 个苹果放入 4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：（mn 1）个物体放入 n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m 1）个物体。2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例 1 自制的一副玩具牌共计 52 张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1 点，2 点，13点牌各一张），

2、洗好后背面朝上放。一次至少抽取 _张牌，才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 _ 张牌。点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113 点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1 , 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 , 13 各 4 张，此时再取一张，这张牌的点数是 3, 6, 9, 12 中的一张，在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。解 （1）13X2+ 1 = 27（张）（2）9X4+ 1= 37（张）例 2 证明：3

3、7 人中，（1）至少有 4 人属相相同；（2）要保证有 5 人属相相同，但不保证有 6 人属相相同， 那么人的总数应在什么范围内？ 点拨 可以把 12 个属相看做 12 个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解（1）因为 37- 12= 31，所以，根据第一抽屉原理，至少有3 + 1 = 4（人）属相相同。（2）要保证有 5 人的属相相同的最少人数为4X12+ 1 = 49（人）不保证有 6 人属相相同的最多人数为5X12= 60（人）所以，总人数应在 49 人到 60 人的范围内。例 3 有一副扑克牌共 54 张，问：至少摸出多少张才能保证：（1）其中有 4 张花色相同？（2）四种花色都有？ 点

4、拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2 张王牌，四种花色，每种有 13 张。（1）按最不利原则先取出 2 张为王牌，再取 4 张均不同花色，再连续取两次4 张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3 张,再取 1 张即可达到要求。（2）仍需按最不利原则去取牌，先是2 张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出 13X3,这时假设仍是没有四种花色，再取1 张即可。解（1）2 + 4X3+ 1= 15（张）（2）2+ 13X3+ 1 = 42（张）例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨根据题中“

5、最多可借两种不同颜色的球” 解借球有 6 种情况，看做 6 个抽屉，所以至少要来 7 名学生借球，才能保证。例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？抽屉原理可知最多有以下6 种情况:点拨把 1 30 这 30 个自然数分成下面 15 组：1 , 2, 4, 8, 16, 3 , 6, 12, 24, 5 , 10, 20,7 , 14, 28 , 9 , 18 , 11 , 22 , 13 , 26 , 15 , 30 , 1 7 , 19 , 21 , 23 , 25) , 27,29,在这 15 组中，每组中的任意两个数

6、都存在倍数关系，故可把这15 组看做 15 个抽屉，至少要取出 16 个数才能达到题目的要求。例 6 边长为 1 的正方形中，任意给定13 个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4 个点，以此4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。13=4X3+1 , 13 个点至少有 4 个点在同一个小正方形，以此4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。例 7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围 成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色解

7、 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色， 不妨设是红色（如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线）,这时三角形 a2a3a4 会出现两种颜色情况（1）若 a2a3, a3a4, a2a4 中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与 a1 引出的两条线段组成一个红三角形。若 a2a3, a3a4, a2a4 中没有一条线段是红色的，则a2a3a4 为一个蓝色三角形。综上所述，无论（1）还是（2），题目结论都成立。说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6 人之间至少有 3 人互相认识或不认识。

8、1.要在 30 米长的水泥台上放 16 盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2 米？解：两盆 30 十 2=15 段，30 米中每两米为一段的有15 段，16 盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过 2 米。3. 在一个边长为 1 的正三角形内随意放置10 个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过1/3。解：把边长为一的正三角形平分成9 粉，由每个三角的边长为1/3 ,必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3。4. 用黑、红两种颜色将一个长9、 宽 3 的矩形中的边长为 1 的小正方形随意涂色， 试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，

9、蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。5. 从整数 1, 2, 3,199, 200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的 一个是另一个的倍数。分数组1,2,4,8 , 16, 128 , 3,6,12,24,48X92, 5,10,20,40200 , 7,14,28,56,112 ,9,18,36,72,144, 11,22,44,88,176, 13,26,52,104, 15,30,60,120,99,198 , 101,103,199共 100 个抽屉，任选 1

10、01 个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。6. 在 10X10 方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4 四个数之一。然后分别对每个2X2方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？1、2、3、4 填入后，四个数的和最小为4,最大为 16。4-16 之间有 13 个不同的和，2X2 的方格在10X10 的方格中可推出 81 个和，81 - 13=6A3，故至少有 6+1=7 个和。7. 从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。这八个连续自然数为 a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6, a+7,分为四组 a+4

11、 , a, a+5 , a+1,a+6 , a+2, a+7 , a+3，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为 48. 任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4 的倍数。七个数中必有三对奇偶性相同，即满足 a1+a2=2k1,a3+a4=2k2, a5+a6=2k3。在 k1,k2,k2三个数中又至少 有两个奇偶性相同，不妨设 k1,k2奇偶性相同，所以 k什k2=2m 即 a1+a2+a3+a4=4m, 2k什2k2=4m,所以 其中必有四个数，它们的和是 4 的倍数。9. 从 3, 6, 981, 84 这些数中，任意选出16 个数，其中至少有两个数的和等于90,试说明之。分

12、数组6,84 , 9,81 , 12,78,42,48 , 3 , 45，共 15 个抽屉，故取 16 个数必有两个数 在一个抽屉中，即和为 90。10. 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10 的倍数，试说明之。按余数是 2 或 5 或两个余数和为 10 来构造 6 个抽屉：0 , 5 , 1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6这样 7个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是 10 或余数相同，从而他们本身的和或差为10 的倍数。11. 能否在 10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上1, 2 , 3 这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不

13、相同？10 个数的和最小为 10 ,最大为 30,10-30 中有 21 个数。10 行 10 列加上两条对角线共 22 个和，则必有 两条线上的和相同。所以不能。12. 能否把 17 这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2 或 3?在这 7 个数中，1,2,6,7 都不能相邻，要把它们隔开需要 4 个数，而现在只剩下 3,4,5 三个数，所以不能。13. 平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明 这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。14.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5 人搬运的

14、球完全一样？每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10 种情况。4X10+仁 41 人15.在一个 3X4平方米的长方形盘子中， 任意撒入 5 个豆，5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米?（这时盘子的对角线长为5 米）将长方形分成四份，如放5 豆，必有 2 个豆在一个小长方形内，一个小正方形内最大的距离是 2.5 米（如 AE,故距离最小的两个点的距离最大值是2.5 米。16. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形， 每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。

15、第一行有 7 个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4 个或 4 个以上的方格。设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3 个黄方格下面的 3 个方格中，至少有两个方格涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。2317. 在1 , 2,n中，任意取 10 个数，使得其中有两个数的比值不小于一，且不大于-。求 n 的最32大值。由于任取 10 个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9 个抽屉.这 9 个抽屉中的每一个抽屉都含有 1,

16、 2, 3, n 中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9 个抽屉，是：1 ； 2 , 3 ; 4 , 5, 6 ; 7 , 8, 9, 10 ; 11 , 12, 16 ; 17 , 18, 24, 25 ; 26 , 27, 38, 39 ; 40 ,41, 59, 60 ; 61 , 62, 90, 91. 因此，n 的最大值是 91.18. 从 1, 2, 3, , , 1988, 1989 这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于4?把 1,2,1989 这些数分成四组公差是 4 的等差的数列；1,5,9,1989 共 498 个数；2,6,10,1

17、986 共 497 个数；3,7,111987 共 497 个数；4,8,121988 共 497 个数；我们发现：1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是 4;2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为 4 的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾；故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个，每行最多可选 249 个数；最终 249X4=996 （个）19. 四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每 对是互赠过礼品的。将这四个人用 4 个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出

18、2 件礼品，共有 4X2=8 条线，由于每人礼品都分赠给2 个人，所以每两点之间至多有1 + 1=2 条线。四点间，每两点连一条线，一共 6 条线，现在有 8 条线，说明必有两点之间连了2 条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了 2 条线。即为所证结论。20. 一排长椅共有 90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻，求至少有多少人，则有人的位置如图所示,（“”表示已经就座的人，“？”表示空位）:? ? ? ?.

19、即有人的位置占全部人数 的 1/3 , 90-3=30 人。即原来至少有 30 人已经就座。21. 把 1, 2, 3,8, 9, 10 任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17 即小于等于 16。则 10 组之和应小于等于 16X10=160 ;10 组之和即把 10 个数分别加了 3 次，又因为：3 （1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） =165160EAHD所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。22. 某人步行 10 小时，走了 45 千米。已知他第一小时走了5 千米，最后一

20、小时走了3 千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8 小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10 千米。这个人在中间的 8 小时内走了 45-5-3=37(km)假设在中间的 8 个小时内他相邻 2 个小时内都走 9km, 8 个小时内一共有 7 组相邻，其中除去这 8 个小时内的前后两个小时，其他6 个小时都有 2 次相邻，这 8 个小时内的路程可得：7X9-6 - 2x9=36km37km 一定存在连续的两小时，这人至少走了 10 千米。23. 在 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 这 12 个自然数中，任意选取8 个不同的数，其中必有两

21、对数，每对数的差是1。构造 6 个抽屉1,23,45,67,89,1011,12将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数，每对的差是 1。24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个，混合放在一个布袋里。一次摸出8 个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，8 十 4=2，其中至少有 2 个小球颜色相同。25. 数学奥林匹克竞赛，全世界52 个国家的 308 名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过 6 名，至少有几个国家派6 名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6 人，假设 52 个国家每个国家都派了 5 名，则剩下308-52X5=48 (名)运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6 名，所以只好把 48 名运动员平均分到 48 个国家中去，也就是说，至少有 48 个国家派满了 6 名运动员。26. 某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。用 a(1),a(2),a(10)表示 10 个人；a(1)不认识的至多 2 人，认识的人不少于 7 个，不妨假定 a(1)认识 a(2) ; a(1)、a(2)中