2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 两条直线的位置关系 教案

1、1第二节第二节两条直线的位置关系两条直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1k21当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线 l

2、1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2为常数)，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组a1xb1yc10，a2xb2yc20的解3三种距离公式(1)平面上的两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式|p1p2|（x1x2）2（y1y2）2特别地，原点 o(0，0)与任一点 p(x，y)的距离|op| x2y2(2)点 p(x0，y0)到直线 l：axbyc0 的距离 d|ax0by0c|a2b2(3)两条平行线 axbyc10 与 axbyc20 间的距离为 d|c1c2|a2b2常用结论由一般式方程确定两直线位置关系的方法2直线方程

3、l1与 l2l1：a1xb1yc10(a21b210)l2：a2xb2yc20(a22b220)垂直的充要条件a1a2b1b20平行的充分条件a1a2b1b2c1c2(a2b2c20)相交的充分条件a1a2b1b2(a2b20)重合的充分条件a1a2b1b2c1c2(a2b2c20)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案(1

4、)(2)(3) (4)二、教材改编1已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()a. 2b2 2c. 21d. 21c由题意得|a23|21，即|a1| 2，又 a0，a 21.2已知 p(2，m)，q(m，4)，且直线 pq 垂直于直线 xy10，则 m_1由题意知m42m1，所以 m42m，所以 m1.3若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为3_9由y2x，xy3，得x1，y2.所以点(1，2)满足方程 mx2y50，即 m12250，所以 m9.4已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是_2由

5、两直线平行可知364m，即 m8.两直线方程分别为 3x4y30 和 3x4y70，则它们之间的距离 d|73|9162.考点 1两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”1.设 ar，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件a当 a1 时，显然 l1l2，若 l1l2，则 a(a1)210，所以 a1 或 a2.所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件2若直线 l1：(a1)xy10 和直线 l2：3xay20 垂直，则实数 a的值为()4a.12b

6、.32c.14d.34d由已知得 3(a1)a0，解得 a34.3已知三条直线 l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为()a.43，23b.43，23c.43，23，43d.43，23，23d三条直线不能构成一个三角形，当 l1l3时，m23；当 l2l3时，m43；当 l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由2x3y10，4x3y50，得交点为1，13 ，代入 mxy10，得 m23.故选 d.直接运用“直线 a1xb1yc10，a2xb2yc20 平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论考点 2两条直线的交点

7、与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等(1)求经过两条直线 l1：xy40 和 l2：xy20 的交点，且与直线 2xy10 垂直的直线方程为_5(2)直线 l 过点 p(1，2)且到点 a(2，3)和点 b(4，5)的距离相等，则直线l 的方程为_(1)x2y70(2)x3y50 或 x1(1)由xy40，xy20，得x1，y3，l1与 l2的交点坐标为(1，3)设与直线

8、2xy10 垂直的直线方程为 x2yc0，则 123c0，c7.所求直线方程为 x2y70.(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意1.直线系方程的常见类型(1)过定点 p(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包括直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线 axbyc0 的直线系方程是：a

9、xby0(是参数且c)；(3)垂直于已知直线 axbyc0 的直线系方程是：bxay0(是参数)；(4)过两条已知直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的交点的直线系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r，但不包括 l2)2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算教师备选例题1已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70，2x67y140，求边 2x7y140 上的高所在的直线方程解设所求高所在的直线方程为 2xy4(xy7)0，即(2)x(1)y(47)0，可得(2

10、)2(1)(7)0，解得115，所以所求高所在的直线方程为 7x2y190.2求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点，且和 a(3，1)，b(5，7)等距离的直线方程解设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0，即(27)x(721)y(4)0，由点 a(3，1)，b(5，7)到所求直线等距离，可得|（27）（3）（721）14|（27）2（721）2|（27）5（721）74|（27）2（721）2，整理可得|433|11355|，解得2935或13，所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1.1.当 0k12时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交

11、点在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限b由kxyk1，kyx2k得xkk1，y2k1k1.又0k12，xkk10，故直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在第二象限2 若 p， q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点， 则|pq|的最小值为()7a.95b.185c.2910d.295c因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y240， 由题意可知|pq|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|245|62822910，所以|pq|的最小值为2910.考点 3对称问题中心对称问题中心对称问题的解法(1)点关于点：

12、 点 p(x， y)关于点 q(a， b)的对称点 p(x， y)满足x2ax，y2by.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决过点 p(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 p 平分，则直线 l 的方程为_x4y40设 l1与 l 的交点为 a(a，82a)，则由题意知，点 a 关于点 p的对称点 b(a，2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 a(4，0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解若直线

13、l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2，1)对称，则直线 l2恒过定点()a(0，4)b(0，2)c(2，4)d(4，2)b直线 l1： yk(x4)恒过定点(4， 0)， 其关于点(2， 1)对称的点为(0， 2) 又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2，1)对称，故直线 l2恒过定点(0，2)轴对称问题轴对称问题的解法(1)点关于线：点 a(a，b)关于直线 axbyc0(b0)的对称点 a(m，n)，8则有nbmaab 1，aam2bbn2c0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决(1)已知直线 y2x 是abc 中角 c 的平分线所在的直

14、线，若点 a，b 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 c 的坐标为()a(2，4)b(2，4)c(2，4)d(2，4)(2)已知入射光线经过点 m(3，4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 n(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_(1)c(2)6xy60(1)设 a(4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y2224x2，解得x4，y2，bc 所在直线方程为 y12143(x3)，即 3xy100.联立3xy100，y2x，解得x2，y4，则 c(2，4)(2)设点 m(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 m(a，b)，则反射光线所在直线过点

15、 m，所以b4a（3）11，3a2b4230，解得 a1，b0.即 m (1，0)又反射光线经过点 n(2，6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一9个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则 mn_345由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3n227m23，

16、n3m712，解得m35，n315，故 mn345.2已知直线 l：2x3y10，点 a(1，2)求：(1)点 a 关于直线 l 的对称点 a的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 a 对称的直线 l的方程解(1)设 a(x，y)，则y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y413，即 a3313，413 .(2)在直线 m 上取一点，如 m(2，0)，则 m(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上设对称点为 m(a，b)，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，即 m613，3013 .设 m 与 l 的交点为