(完整word版)小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全

1、五年级奥数-1 -小学奥数基础教程（五年级）第 1 讲数字迷（一）第 2 讲数字谜（二）第 3 讲定义新运算（一）第 4 讲定义新运算（二）第 5 讲数的整除性（一）第 6 讲数的整除性（二）第 7 讲奇偶性（一）第 8 讲奇偶性（二）第 9 讲奇偶性（三）第 10 讲质数与合数第 11 讲分解质因数第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一）第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二）第 14 讲余数问题第 15 讲孙子问题与逐步约束法第 16 讲巧算 24第 17 讲位置原则第 18 讲最大最小第 19 讲图形的分割与拼接第 20 讲多边形的面积第 21 讲 用等量代换求面积第 22 讲用割补法

2、求面积第 23 讲列方程解应用题第 24 讲行程问题（一）第 25 讲行程问题（二）第 26 讲行程问题（三）第 27 讲逻辑问题（一）第 28 讲逻辑问题（二）第 29 讲抽屉原理（一）第 30 讲抽屉原理（二）五年级奥数-2 -第 1 讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过， 同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、 枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外， 还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 把+ , -,X,宁四个运算符号，分别填入下面等式的。内，使等式成立（每个运算符号只准使 用一次）

3、：（501307）0（1709）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定 “十”的位置。当“宁”在第一个O内时，因为除数是 13,要想得到整数，只有第二个括号内是 13 的倍数, 此时只有下面一种填法，不合题意。（5- 13-7）X（17+9）。当“宁”在第二或第四个O内时，运算结果不可能是整数。 当“十”在第三个O内时，可得下面的填法：（5+13X7）-（ 17-9） =12。例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立： 口口乂 口=* =5568。解：将 5568 质因数分解为 5568=26X3X29。由此容易知道，将 5

4、568 分解为两个两位数的乘积 有两种：58X96 和 64X87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12X464,16X348,24X232,29X192,32X174,48X116。显然，符合题意的只有下面一种填法：174X32=58X96=556&例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573 整除。分析与解：先用 443000 除以 573,通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000-573=77371推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被 573 整除，所以应添 502例 4 已知六位数 33口 44 是 89

5、的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是 4,推知商的个位是 6;由左下式知，十位相减后的差是 1, 所以商的十位是 9。这时，虽然 89X96=8544,但不能认为六位数中间的两个内是 85,因为还没有考虑前面两位数。a 可能是 6 或 7,所以 b 只可能是 7 或&3796 或 3896。由 3796X89=337844, 3896X89=346744知，商是 3796,所求六位数是 337844。例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适 当的数字代替

6、字母，使加法竖式成立。FORTY2:9786TEN850+ TEN十 850SIXTY31486分析与解：先看竖式的个位。由 Y+N+N=Y Y+ 10,推知 N 要么是 0,要么是 5。如果 N=5,那么 要向上进位，由竖式的十位加法有 T+E+E+仁或 T+10,等号两边的奇偶性不同，所以 NM5, N=Q 此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10, E 不是 0 就是 5,但是 N=0,所以 E=5竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0,所以 I 工 0,推知 1=1 , 0=9,说明百位加法向千位进 2。再看竖式的百

7、位加法。因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进 2,且灯0 或 1,所以 R+T+T+P22,再由 R, T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或&若 T=7,则 R=8, X=3,这时只剩下数字 2, 4, 6 没有用过，而 S 只比 F 大 1, S, F 不可能是 2, 4, 6 中8 9)3 3QPETaE 0 1幺 D 10再从左边做除法。如右上式所示，由左、右两边做除法的商，得到商是五年级奥数-3 -的数，矛盾。若 T=8,则 R 只能取 6 或 7。R=6 时，X=3,这时只剩下 2, 4, 7,同上理由，出现矛盾；R=7 时, X=4,剩下数字 2, 3, 6,可取

8、F=2, S=3, 丫=&所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数 学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40 , 10 , 10 , 60 ,而 40+10+10 正好是 60,真是巧极了！例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当 的数字，使竖式成立。107021070310704ABOBDEFAG-9814-9315-921S-EFAG838888888FFFABCBD分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减 法变

9、成加法来研究呢(见右上式)？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进 1,所以 E=9, A=1, B=0b如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10,得 F=9,与 E=9 矛盾，所以个位加法向上 进 1,由 1+F+1=1Q 得到 F=8,这时 C=7。余下的数字有 2, 3, 4, 5, 6,由个位加法知，G 比 D 大 2,所以 G, D分别可取 4, 2 或 5, 3 或 6, 4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变 换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习 11. 在一个四位数

10、的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819,求原来的四位数。解：621819-( 100-1 ) = 6281。2. 在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：(1)A B (2) A B A B+ B C A - A C A _A B CB A A C 4 S T 3 T+4 Q 8 85 4 97 3 5 9(1)由百位加法知，A=B+1 再由十位加法 A+C=B+10 推知 C=9,进而得到 A=5, B=4 (见上右式)(2)由千位加法知 B=A-1，再由个位减法知 C=Q 因为十位减法向百位借 1,百位减法

11、向千位借 1, 所以百位减法是(10+B-1) -A=A,化简为 9+B=2A 将 B=A-1 代入，得 A=8, B=7 (见右上式)。3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。解：1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。4. 在下面的算式中填上若干个()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8解：1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。提示因为 22 冬二 而 1 必须在分子上，2 必须在分母上，即器卞吕、剩下的玉 4, 6, 8, 五个数填在耳中，应使吕=4 只有3X6X8 甜 土*

12、 , 1X3X6X7X8捍址*=7一种填法。由沖沖9F 帶花5.将 19 分别填入下式的中，使等式成立： *口=* =3634。提示：3634=2X23X79。46X79= 23X158= 3634。五年级奥数-4 -6. 六位数 391 是 789 的倍数，求这个六位数。提示：仿照例 3。391344。7. 已知六位数 7口 888 是 83 的倍数，求这个六位数。提示：仿例 4,商的后 3 位是 336,商的第一位是 8 或 9。774888。五年级奥数-5 -第 2 讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字

13、母代表相同的数字，求abcde.labcdex3=abcde1分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。现在，我们从另一个角度来解。labcde 与 abcdel 只是 1 所在的位置不同，设 x=abcde 则算式变为（100000+x）x3=10 x+1,300000+3x=10 x+1,7x=299999,x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 1 24x8 1x8 1 1 24口992 1 0 0 4 4解；设被乘数为跖由唸1000PxlHf由竖式特点知.除总

14、一八“上心耳川 J 菲士* E 肾数，Li所以 x=112,被除数为 989x112=110768 右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是 1000=23x53的倍数，即除数和商的后三位数一个是 23=8 的 倍数，另一个是 53=125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8 的倍数。又由竖式特点知 a=9,从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有 96, 48,

15、 32, 24 和 16。因为，c=5, 5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是 16,进而推知 b=6。因为商的后 三位数是 125 的奇数倍，只能是 125, 375, 625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求 出除数为16,商为 6.375，故被除数为 6.375x16=102。上页右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n 个 0,则在除数和商中，一个含有因子 2n（不含因子 5）,另一个含有因子 5n（不含因子 2）,以此为突破 口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1）,这个五位数被另一个一

16、位数除得到下页的竖 式（2）,) 匚二989112)1107601008S961008 10CS0二匚二 =bDDcnq)annoDO匚口五年级奥数-6 -求这个五位数。五年级奥数-7 -(1)ric #(2)“*；和*#卡*y5L *0分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为 10*0 （见竖式（1），竖式（1）的除数为 3 或9。在竖式（2）中，被除数的前两位数 10 不能被整数整除，故除数不是 2 或 5,而被除数的 后两位数*0 能被除数整除，所以除数是 4, 6 或 8。当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式（1） 知，a=1 或2,所以被除数为 100*0 或 101*0，再由竖式（2

17、）中被除数的前三位数和后两 位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4,被除数为 10020;当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为&因为竖式 （2） 的除数只能是 4, 6, 8,由竖式 （2） 知被除数的百位数为偶数， 故被除数只有 10080, 10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除 数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8,被除数为 10440。所以这个五位数是 10020 或 10440。练习 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字

18、，不同的字母代表不同的数字，求岀1） labcd 3 = abcdS;（.2）7 abcxyz 二=6 X xyzabco答案(1) 4285;( 2) 46153&蒜；(2)用原示五喙示赢 耐灌为 7X (1000A+ B)= 6 X (1000B + A),化简后得 538A=461B 由于 538与 461 互质， 且 A, B 均为三位数,所以 A=461, B= 538。所求六位数是 461538。2.用代数方法求解下列竖式： 8 7） 口 口 0答案（1） 124X 81=10044;（ 2）9807o 设除数是 a,根据竖式特点由 8av 100, 9a 100,推知所以

19、 a=12o3.答案（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：易知 f=2 , g=0;由 g=0 知 b, d 中有一个是 5,另一个是偶数而 f= 2,所以 b= 5,进而推知3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立:_ . . ） 口 8 0. ) . 117684- 12= 9807。提示：（1）设被乘数为 a,由 8a 10000,推知123 詐 K124#所以a=12（2）根据竖式特点知，商是五年级奥数-8 -d= 6 ;再由 d= 6 , f= 2 知 a= 2 或 7,而 e=3 或 4,所以 a=7;最后求出 c=5。见上页右下式。（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下

20、式：由竖式特点知b=c=0；因为除数与 d 的乘积是 1000的倍数， d 与 e 都不为 0,所以 d 与除数中必分别含有因子 23和 52， 故 d=8,除数是 125 的奇数倍，因此 e=5;又 f 工 0, e= 5，所以 f=g=5 ;由 g=5, d=8 得到除数为 5000- 8=625,再由 625X a 是三位 数知 a=1,所以被除数为 625X 1008=630000,所求竖式见右上式。五年级奥数-9 -第 3 讲定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意 义、符号及运算律已被同学们熟知。 除此之外，还会有什么别的

21、运算吗？这两讲我们就来研究这个问 题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例 1 对于任意数 a，b，定义运算“ *”：a*b=axb-a-b。求 12*4 的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。例 2己知表示盒的今倍减古 b的* 例如 1A2=1X32X1 = 2.10A6 的值。解；10216=10X3-6x1 = 30-3=27.、,d3 ，x=2，求 x 的值例3对于数為b, c, &规定 5b, c, d =2a

22、b 己知 52,c分析与解：按照定义的运算，由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+, -,X,宁，V,等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分， 应使用通常的四则运算符号。 如例1中， a*b=axb-a-b ,新运算符号使 用“ * ”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。例临戲示两个就规定花bCl) 29 (|o|) =?7 112)Q x=求龙Ao2分析与解：按新运算的定义，符号表示求两个数的平均数。因沏0 &确）中机）齢龌新定氏所以其盍义与四则运算中的意义相同，即先进行小括

23、号中的运算，再进行小括号外面的运算24r厂11（2）因为在中没笔有重新规定运算次序，所以应至右进行运算。根据以上的规定，求=2,x=6o3Y1515按通常的规则从左五年级奥数-10 -診3規皤(扣 6由(扣)作魯襁君器L24例5规定：42 = 4+442曲冃+謝恣1$1+1M11+11U ,求佝冃分析与解：从已知的三式来看，运算“一”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1 个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数，第 3 个数是 3 位数按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035从例 5 知，有时新

24、运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例 6 对于任意自然数，定义：n! =1X2Xxn。例如 4 ! =1X2X3X4。那么 1! +2! +3! +100!的个位数字是几？分析与解：1! =1，2!=1X2=2，3!=1X2X3=6，4!=1X2X3X4=24，5!=1X2X3X4X5=120,6!=1X2X3X4X5X6=720,由此可推知，从 5!开始，以后 6!，7!，8!,，100!的末位数字都是 0。所以，要求 1! +2! +3! +100!的个位数字，只要把 1!至 4!的个位数字相加便可求得:1+2+6+4=13 所求的个位数字是 3。例 7 如果 m n

25、 表示两个数，那么规定：nDn=4n- (m+r)宁 2。求 30(406)012 的值。解：30(406)012=304X6- (4+6)十 2O12=3019012=4X19- (3+19)十 2012=65012=4X12- (65+12)十 2=9.5练习 31.对于任意的两个数 a 和 b,规定 a*b=3Xa-b -3。求 8*9 的值。(值为 2)2.已知 aHb 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，求 13：4 的值。(值为 4)3. 已知 a b 表示(a-b )*( a+b)，试计算：(5-3) 一 (16)。(值为 0)解；(5田3)e (1璇=70- = 0,4 44

26、. 规定 a b 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。五年级奥数-11 -答案 7 - =- -五年级奥数-12 -5.假定mOn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍，即 mOn=3m-2r。61) ;( (2) )8*(2)相当于由 1X2X3X -Xx=40320,求 X。40320 - 2= 20160,20160- 3= 6720 , 6720-4=1680, 1680-5=336,8-8=1,即 1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以 x=8。7.对于任意的两个数 p, Q,规定 P Q= ( pXQ)

27、* 4。例如：2 8= (2X8)* 4。已知x( 85)=10，求 x 的 值。解：x( 85) = x ( 8X5*4) = x 10= xX10*4,由 xX10*4=10，求得 x=4。8.定义：a b=ab-3b, adb=4a-b/a。计算：(“3 )( 2 b) 解：(43)(26)= (4X3-3X3)(4X2-6/2) = 35=3X5-3X5=09.已知：23=2X3X4, 4=5=4X5X6X7X8,求(4 冋4)*( 3 点 3)的值。提示：新运算“：”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个数字。(4 4)*( 31 3) = (4X5X

28、6X7)*( 3X4X5) =14。（0 it算占（号）答案(2)提示:x010=7,已知 x（ 401） =7,求 x 的值(2)xO(401)= 7，x(4X3-1X2)= 7,3x-10X2=7,x=9。刃=K卜4V = 1X-X-X-,234求（丙）斗57）的值；已阴二诂看獅的僮五年级奥数-13 -第 4 讲定义新运算(二)例 1 已知 b= (a+b) - (a-b)，求 9 探 2 的值。分析与解：这是一道很简单的题，把 a=9, b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则 运算的法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。a 探 b= (a+b) - (a-b) =a+b

29、-a+b=2b。所以，仝2=2x2=4。由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、 法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb,其中 a, b 为任意两个数，k 为常数。比如：207=3x2+5X2x7+7k。(1) 已知 502=73。问：805 与 508 的值相等吗？2)当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a，b，都有 a b=ba，即新运算“O”符合交换律？ 分析与解： (1)首先应当确定新运算中的常数 k。 因为 502=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以

30、由已知 502=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) - 2=4。 定义的新运算是： a0b=3a+5ab+4b 805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。因为 244 工 247,所以 805 工 508。(2)要使 a0b=b0a,由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0 ,3x(a-b)-k(a-b)=O,(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a, b,要使上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。当新运算是 a0b=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即a0b=b0a。例 3 对两

31、个自然数 a 和 b,它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为 ab,即 ab=a , b- (a,b)。比如，10 和 14 的最小公倍数是 70,最大公约数是 2,那么 10 14=70-2=68。(1)求 1221 的值；(2)已知&x=27，求 x 的值。分析与解：(1) 1221=12 , 21- (12, 21) =84-3=81;(2)因为定义的新运算“”没有四则运算表达式， 所以不能直接把数代入表达式 求x，只能用推理的方法。因为 6x=6 , x- (6, x) =27,而 6 与 x 的最大公约数(6, x)只能是 1, 2, 3, 6。所以 6 与 x 的最小公倍

32、数6 , x只能是 28, 29 , 30 , 33。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，所以 6 与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是 30 和 3。因为 axb=a , bx(a, b),所以 6xx=30 x3,由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转 90, b 表示顺时针旋转 180, c 表示逆时针旋转 90, d 表示不转。定义 运算“”表示“接着做”。求：ab； bc； c a。分析与解：a b 表示先顺时针转 90,再顺时针转 180,等于顺时针转 270,也等于逆时针转 90,所以ab=c。bc 表示先顺时针转 180,再逆时针转 90,等于顺时针转 90,所以

33、bc=a。c a 表示先逆时针转 90,再顺时针转 90,等于没转动，所以 c a=d。对于 a, b, c, d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表(见下表)。比如 c b,由 c 所在 的行和b 所在的列，交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律，所以由 c 所在的列和 b 所 在的行也可得到相同的结果。abcda.bcdSLbuaabu1宜bcdatcd例 5 对任意的数 a, b,定义：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知 f (x+1) =21，求 x 的值。

34、解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2；(2) f(g(2)+g(f(2)=f(2x2)+g(2x2+1)=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5X5)=34；五年级奥数-14 -(3) f (x+1) =2X(x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21，知 2x+3=21,解得 x=9。五年级奥数-15 -1.询讪剧丄(1)逆甸 r齬肓熾,叭倔姻AW=B9L(2)帝(3 辺(2 朝瘫：答案*工卫*丨_ _一一答廊伽粧胞寸石亟鮭配渊观於：m 砥畀：m 瀚W 丽那耶關加锯潮，所旷眄 I低3)=01(53)2 =汨盼寻2 讶+令=召+鼎(购 2)

35、=5(舟畔討令茅显歌(阿因 2 去 M(32),所以运算“回瑕有纟拾負2.定义两种运算“”和“”如下：b 表示 a, b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a, b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如：厶5=4X3=12,45=5X2.5=12.5。计算：(0.6 探 0.5)+(0.3 0.8) - (1.2 探 0.7)-(0.64 0.2) 解：原式=(0.5X3+0.8X2.5 )- (0.7X3-0.64X2.5)=7。仍-框軒虹臓竝34=16, K SS11M?. SfcB細触提示：从已知的四式发现，第一个数的 4 倍加上第二个数等于结果，所”二丄-=七5测二翻和血滋4. 设

36、m n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算 nOn= (AXm-n)* 4,并且 203=0.75。试确定常数 A,并计算：(507)X(202)*(302)提示：由 2O3= (AX2-3 )* 4=0.75，推知 A=3 定义的运算是：mOn= (3m-n)* 4。( 507)X(202)*(302)=(3X5-7) *4X(3X2- 2)*4*(3X3-2) *4=2X1*7/4=8/7。5. 用 a, b, c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转 240 , b 表示顺时针旋转 120, c 表示不旋转6. 对任意两个不同的自然数 a 和 b

37、,较大的数除以较小的数，余数记为 a：b。比如 7 3=1,5 29=4,420=0。( 1)计算：1998 2000,( 519)19, 5(19 9);(2)已知 11 x=4, x 小于 20,求 x 的值。6. (1) 2, 3, 1;( 2) 7 或 14。提示：(1)( 5 9) 19= 419=3, 5(195) =5-:4= 1。(2)当 xV11 时，x 是 7;当 x 11 时，x 是 14。7. 对于任意的自然数 a, b,定义：f (a) =aXa-1 , g (b) =b* 2+1。(1) 求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) =

38、8,求 x 的值。解：(1) f (g (6) - g (f (3) = f(6 *2+1)- g (3X3-1 ) = f( 4)- g(8)=(4X4-1 ) - (8*2+1) = 10 ;。(2)由 f( g (x) )= 8=3X3-1，推知 g (x) = 3 ;再由 x* 2+仁 3,得 x=4。练习 4运算“V”表示“接着做”。试以V且bcaIc *bca bca b ca, b,c 为运五年级奥数-16 -第 5 讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被 2, 3, 5 和 4, 8, 9, 6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整除 的性质。这两讲我们系统地复习一下

39、数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4） 如果一个质数能整除两个自然数的乘积， 那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358口能分别被 9, 25 和 8 整

40、除。分析与解：分别由能被 9, 25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9, 25, 8 两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9X25X8=1800 整除，所以七位数的个位，十位 都是0;再由能被 9 整除的数的特征，推知首位数应填 4。这个七位数是 4735800。例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？分析与解： 因为 41X27 仁 11111,所以由每 5 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。 按“ 11111”把 2000 个 1 每五位分成一节，2000 -5=400,就有 400

41、 节，订 1 瓷更 i 上讦苍40011 111因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根据 整除的性质（1）可知，由 2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 有四个数：76550, 76551, 76552, 76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被 12 整除？ 分析与解：根据有关整除的性质，先把 12 分成两数之积：12=12X仁 6X2=3X4。要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12 整除，有以下三种情况：（1） 找出一个数能被 12 整除，这个数与其它三个

42、数中的任何一个的乘积都能被12 整除；（2）找出一个数能被 6 整除，另一个数能被 2 整除，那么它们的积就能被 12 整除；（3） 找出一个数能被 4 整除，另一个数能被 3 整除，那么它们的积能被 12 整除。容易判断，这四个数都不能被 12 整除，所以第（1）种情况不存在。对于第 （2） 种情况， 四个数中能被 6 整除的只有 76554,而 76550, 76552 是偶数， 所以可以 选 76554和 76550, 76554 和 76552。对于第（3）种情况，四个数中只有 76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以 可以选 76552 和 76

43、551, 76552 和 76554。综合以上分析， 去掉相同的， 可知两个数的乘积能被 12 整除的有以下三组数： 76550 和 76554, 76552和 76554, 76551 和 76552。例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于 43; 能被 11 整除。因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个 7 和四个 9 组成；（2）五位数由两个 8 和三个 9 组成。上面两种情况中的五位

44、数能不能被 11 整除？ 9, 8, 7 如何摆放呢？根据被 11 整除的数的特 征，如果奇数位数字之和是 27,偶数位数字之和是 16,那么差是 11,就能被 11 整除。满足这 些要求的五位数是： 97999 , 99979, 98989。例 5 能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？分析与解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和都 能被3 整除，推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上，110 的和等于 55,不能被 3 整除。这

45、 个矛盾说明五年级奥数-17 -假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习 51.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？（ 1） 提示：.是。7018 和 1392分别是 4205 与 2813 的和与差。2.如果两个数的和是 64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的差是多少？ （ 14）。提示：已知这两个数的积可以整除 4875,说明这两个数都是 4875 的因数。4875= 3X5X5X5X13,用这些因子凑成两个数，使它们的和是 64,显然这两个数是 3X13=39 和 5X5=25。它 们的差是39-25=14。3.1

46、73 是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可以被 9，11, 6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字之和是多少？ （ 19） 提示：先后填入的三个数依次是 7, 8, 4。辰短畐的徹灌梆鲸推刪畝又诙独蛾靑鴉细 4 豔 菇滋执 1=|6,进 而知 f=4，所求数为 123654 和 321654。4月卜6汨辭娥M趟1眨其中不同的字母代表16中不同的数乳要耘能祀整甌|磁初獸蔬懈,斓瓠吋是 6 的倍数.I 觀如有朕纳 答案：123654 和 321654。提示：由题意知，b, d, f 是偶数，e= 5，所以 a, c 只能是 1 和 3。士宅

47、一班有多少名学生?提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9X10,所以总产一厂一二：- （人）。6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3 整除？答案：不能。提示：假设能。因为前两个数的和能被 3 整除，第 2、第 3 个数的和也能被 3 整除，所以第 1、第 3 两个数除以 3 的余数相同。类似可知，排在第 1, 3, 5, 7, 9 位的数除以 3 的余数都相同。 在 19中，除以 3 的余数相同的数只有 3 个，不可能有 5 个。这个矛盾说明假设不成立。五年级奥数-18 -第 6 讲数的整除性（二）我们先看一个特殊的数一一 1001。因为 1001=

48、7X11X13，所以凡是 1001 的整数倍的数都能 被 7,11 和 13 整除。例1赢疏否初门刑13建站分祈躺：因为応&赢XI妣1001是乙11和1?的倍熱所以 赢臥能被兀11和1灌韓能被 7, 11 和 13 整除的数的特征：如果数 A 的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能 被 7 或11 或 13 整除， 那么数 A 能被 7 或 11 或 13 整除。 否则， 数 A 就不能被 7 或 11 或 13 整除 例 2 判断 306371能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因为 371-306=65, 65 是 13 的倍数，不是 7 的

49、倍数，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。 例3 已知 10 口 8971 能被 13 整除，求中的数。解：10 口 8-97 仁 1008-971 + 0=37+口 0。上式的个位数是 7,若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍， 由13X9-37=80，推知中的数是 8。他惘嘲顽忌趕汀曲勒怖剧匸要舸阪赢辭机？川繚 砌抚 W2位数进行因为 100010001 各数位上数字之和是 3,能够被 3 整除，所以这个 12 位数能被 3 整除。根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001 与（100010-仁）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么

50、都不能被 7 （或 13）整除。同理，100009 与（100-9= ） 91 要么都能被 7 （或 13）整除，要么都不能被 7 （或 13）整除。 因为91=7X13,所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知这个 12 位数能被 7 和 13 整除。例5孵4删豎賓脚憐片那么中问方務内熾字是几？分析与解：根据能被 7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7所肚尹肖沪哋觀瞬.邸18f因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被 7 整除，所以等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 55 99 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，口 99-55=

51、44 也应能被 7 整除。由口 44 能被 7整除，易知内应是 6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被 27 或 37 整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加， 如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么这个数一定能被 27（或 37）整除；否则，这个数就不 能被 27（或37）整除。例 6 判断下列各数能否被 27 或 37 整除：（1） 2673135;（ 2） 8990615496解：（1） 2673135=2, 673, 135, 2+673+135=810因为 810 能被 27 整除，不能被 37 整除，

52、所以 2673135 能被 27 整除，不能被 37 整除。（2） 8990615496=8, 990, 615, 496, 8+990+615+496=2 109。2, 109 大于三位数，可以再对 2, 109 的各节求和，2+109=111。因为 111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，进一步 推知8990615496 能被 37 整除，不能被 27 整除。改写。根据十进制数的意义，有abbaabbaabba = abbaX 100010001五年级奥数-19 -由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和

53、判断一个数能否被个位是 9的数整除的方法：环3加丄竺厶刑2竺由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时, 即可停止变换，得出不能整除的结论。练习 61. 下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205, 167128，250894，396500，675696, 796842，805532，75778885。答案能被 7 整除的有 250894, 675696, 805532；能被 13 整除的有 88205, 167128, 805532, 757788852. 六位数

54、 175 口 62 是 13 的倍数。中的数字是几？答案 1。提示：175-62=113,只要内填 1,就有 175-162=133. 胡七莒丽丽是戚飘14丸懺砧醴至初和整舶5.1 Sfifi aabbaakt aabt-5 7 Sfi 3 ?_/ 3提示；138A679 = 701 +Ao4.能鼬 而疵肝1（101因为叽哄91能被7和灌除，所以谥初和瑾隊从而 ababab 能被 7 和 13 整除。5. 能。提示：仿例 5。6.4。提示：仿例 6。7. 九位数 8765 口 4321 能被 21 整除，求中间中的数。7.0。解：因为 8765 口 4321 能被 21 整除，所以能被 7 和

55、 3 整除。由能被 7 整除，推知下列各式也能被 7 整除：8765 口 4-32 仁 876504+口 0-32 仁 876183+口 0, 876-（ 183+口 0）=693+口 0。由（693+口 0）能被 7 整除，可求出口 =0 或 7。再由能被 3 整除的数的特征，内的数只能是 0。8. 在下列各数中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126, 131313555, 26611777&解.能被 27 整除的数有：1884924, 2560437, 131313555, 2661177

56、7&能被 37 整除的数有：1861026, 2560437, 11159126, 1313135559. 在下列各数中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？55119, 55537 , 62899 , 71258 ,186637, 872231, 5381717。为了叙述方便， 将个位是9的数记为 k9（ =10k+9），其中k为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换如果最终所得的结果等于 k9,那么这个数能被 k9整除；否则，这个数就不能被 k9整除。例 7（ 1）判断 18937 能否被 29 整除；（2）判断 29

57、6416 与 37289 能否被 59 整除 解：（1）上述变换可以表示为：3009“35*4瑞-39033+0X6五年级奥数-20 -9.能被 19 整除的数有：55119, 55537, 186637；能被 79 整除的数有：55537, 71258, 5381717。五年级奥数-21 -第 7 讲奇偶性（一）整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如 0，2，4，6，8，10，12，14，16，（2）不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数

58、大小相差 1,所以肯定是一奇一 偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为 2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整除，所以奇数可以表示为 2n+1 的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数， 这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。 反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这 两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差） 是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇

59、数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么 积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个 数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯 定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为（2n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4X（n2+n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相邻两

60、个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括 1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整 数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也 没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利 用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+1997+199&分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分 析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2）,和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998 中共有 999 个奇数，999 是