职高数学概念与公式

1、职高数学概念与公式预备知识：（必会）完全平方和（差）公式：a 22abb2(ab) 2a 22abb2(ab) 2平方差公式： a2b 2(ab)(ab)立方和（差）公式： a 3b3( ab)(a2abb2 )a3b3(ab)( a2ab b2 )第一章1. 常用数集： N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、 R（实数集）、 N * （正整数集）、Z （正整数集）注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2 n 个，真子集有 2n 1个，非空真子集有 2n2个。2·充要条件（ 1）充分条件：若（2）必要条件：若（

2、3）充要条件：若p q ，则 p 是 q 充分条件 . q p ，则 p 是 q 必要条件 .pq ，且 qp ，则 p 是 q 充要条件 .第二章1二次不等式： (大于取两边 ,小于取中间 )判别式 0=0 0一元x| x x1或x x2 x | xb2 a2Rax bx c 0二次不等式的ax 2bx c 0 x|x1 x x2解集2、分式不等式： axb0( axb )(cxd)0cxdaxb0( axb )( cxd )0 cxdcxd0axb0(axb)(cxd )0dcx axb0( axb )( cxd )0cxd0cxd3、绝对值不等式：( c > 0) | axb |c

3、caxbc | axb |caxbc或 axbc | axb |ccaxbc | ax b | cax bc或 ax b c4均值定理（1） a 2b22ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。（2） ab2ab (a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。（3） abc3 abc (a, b, cR ) ，当且仅当 a b c 时，等号成立。注： ab （算术平均数）ab （几何平均数）2第三章 正比例函数： ykx 和 一次函数： ykx b 的值域为 R（当 k>0 时为增函数，当看 k<0时为减函数） 二次函数： yax 2bxc 的值域求法：配方法。如果 x 的取值范

4、围不是 R 则还需画图像 反比例函数： y1的值域为 y | y0 （当 k>0 时，函数为减函数；当k<0，函数为增函x数）指数函数：ya x,(a且a1),xR（当 0<a<1 时为减函数，当 a>1时为增函数）0 对数函数： ylog ax, (a0且a1), x0（当 0<a<1 时为减函数，当 a>1 时为增函数）1. 函数的奇偶性（1） 定义域关于原点对称（2） 若 f ( x)f ( x)奇若 f ( x) f (x)偶注：若奇函数在x 0处有意义，则 f (0) 0常值函数 f ( x)a （ a0）为偶函数 f ( x)0 既是

5、奇函数又是偶函数2. 函数的单调性对于 x1、x2 a, b 且 x1x2 ，若f (x1 )f (x2 ), 称f ( x)在 a, b上为增函数f (x1 )f (x2 ), 称f ( x)在 a, b上为减函数增函数： x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。减函数： x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。3. 二次函数（1）二次函数的三种解析式一般式：f ( x)ax2bxc （ a0 ） 顶点式： f ( x)a( x k) 2h （ a0 ），其中 ( k , h ) 为顶点 两 根 式 ： f (x)a( x x1 )( x x2 ) （ a0 ）， 其

6、 中 x 1 、 x 2 是f ( x )0 的两根（2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：开口a 0开口向上a 0 开口向下对称轴： xb2 a顶点坐标： (b, 4 acb 2)2 a4 a 一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）x 1xx 1x22baca f (x)ax 2bxc 为偶函数的充要条件为b0第四章1. 指数幂的性质与运算（1）根式的性质：n 为任意正整数， (n a ) na当 n 为奇数时，n a na ；当 n 为偶数时，na n| a |零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（2） 零次幂： a01(a0)（ ） 负数指数幂：an1(a

7、0, n N * )1anm( a0 , m , nN且 n1)（2） 分数指数幂： anna m（3） 实数指数幂的运算法则：(a0, m, nR) a m a na m n (a m ) na mn (a b) nan bna当a0时，yxa在（ ，）上单调递增2.幂函数y x0当a时，yxa在（ ，）上单调递减003.指数与对数的互化a bNlog a Nb(a0且a1)(N 0)4.对数基本性质： log a a1 loga 10 a log a NN log a a NN log a b与 log ba互为倒数log a b log b a1log a b1log ba log a

8、m b nn log a bm5.对数的基本运算：log a (MN )log a Mlog a Nlog aMlog a Mlog a NN6.换底公式： log aNlogbN(b0且b 1)log ba7. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定ya x (a0, a1的常数 )ylog a x( a0, a1的常数 )义图像(1)x R, y0(1)x R, y0(2)图像经过 (0,1) 点(2)图像经过 (1,0)点性a1, ya x为增函数；a1, ylog a x在 (0,)上为增函数；0a1, yx为减函数0a1, y在(0, )上为减函数alog a x质9原函数

9、与反函数的关系： 原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域 原函数与反函数的图像关于yx 对称求反函数的步骤：第一步：求原函数的值域，它是反函数定义域；第二步：由 yf ( x) 解析式求出 xf1 ( y )第三步：对换x y得到反函数 y f1 ( )注明它的定义域x第五章等差数列每一项与前一项之差为同一个常数等比数列每一项与前一项之比为同一个常数定 a2 a1 a3 a2an an 1 da2a3anqa1a2an 1义(q0)注：当公差d0 时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为 0；当公比为1 时，数列为常数列通 ana1(n 1) dana1q n 1项公

10、式（ 1） da na m（1） qnma nnma m推（ 2） anam (n m)d（2） anam q n m论（3）若 m np q ，则 am ana p aq（ 3 ） 若 m np q ， 则am anap aq中 三个数 a、b、c 成等差数列，则有三个数 a、b、c 成等比数列，项 2ba cac则有b2公b2ac式前n(a1an )n(n1)1qn)a1an qSnSna (1n2na1d1q1q2项（ q1 ）和公式其 S2 n 1 (2n 1)an 如： S7 7a4它等差数列的连续n 项之和仍成等等比数列的连续n 项之和差数列仍成等比数列第六章1 180o弧度1o弧

11、度0.01745弧度1弧度(180) o57o18'180扇形弧长公式和面积公式L 扇| rS扇1Lr1| r 2221. 任意三角函数的定义：sin对边倒数csc1斜边sincos邻边倒数sec1斜边costan对边倒数cot1邻边tan2. 特殊三角函数值一象0003004506002900643限sin0123422222cos4321022222tan033不存在133、同角函数基本关系式：平方关系倒数关系商数关系sin 2cos2=1tan·=1tansincotcossin21cos21tan=coscos2sin 2cotcot1sincot=1tan4、简化公

12、式：sin()sinsin( 2)sincos()coscos( 2) costan()tantan( 2)tansin()sinsin()sin cos()coscos()costan()tantan()tansin( 2 k)sinsin()cos cos( 2k)cos2（k） cos()sintan( 2 k)tan2tan()cot25 sin()sincoscossinsin() sincoscossin cos()coscossinsincos()coscossin sin tan()tantantan(tantan1tantan)tantan17、 sin 22sincos c

13、os 2cos2sin 2= 12 sin 2= 2cos21 tan 22 tan1 tan21cossin1costansin1cos1cos28 三角函数的图像与性质性质奇函数图像值定义域同期偶 单调性域性ysin xycosx奇 2k2,2k2 1,1 T23x R函2k,2k22数偶1,1 T 2 2k,2k x R函 2k,2k数y tan xxk2TkZR3. 正弦型函数yA sin( x)( A0,0)(1)定义域 R ，值域 A, A奇函(k, k)22数（2）周期： T2。（3）辅助公式： ya sin xb cos xa2b 2sin( x)9、余弦定理： a 2b 2c

14、22bc cos A ； cos Ab2c2a 22bcb2a 2c22ac cosB ； cos Ba 2c 2b 22acc2a 2b 22ab cos C ； cos Ca 2b 2c 22 acabc正弦定理：sin Bsin Csin A（3）三角形面积公式 S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B222第七章1、向量向量的数量积：a b | a | | b | cos （其中为两个向量的夹角）(1)代数方式的运算：设 a(a1 ,a2 ) ， b (b1, b2 ) ，加法： ab( a1b1 , a2b2 )减法： ab( a1b1, a2b2 )数

15、乘向量：a (a1,a2 )向量的数量积： aba1 b1a 2b2 （结果为实数）(2)两个向量平行与垂直的判定：设a (a , a) ， b(b1, b2 ) ，12平行的判定： a bbaa bab1221垂直的判定： a bab0a 1b1a 2 b20(3)其它公式：设a (a , a ) ， b(b1,b2 )12向量的长度： | a |a12a22设 A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2y1 ) ；| AB | ( x2x1 ) 2( y2y1 )2设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则线段 AB 的中点 M

16、 的坐标为 M( x1x2 , y1y2 )22两个向量的夹角为，则 cosaba1 b1a 2 b2| a | b |a12222a2b1 b2 平移公式：图形F 上点 P（ x,y）对应平移后的图形F' 上的点 P' (x' , y ' ) 平移向量PP '(h, k) ，则x'xhy'yk第八章1.直线部分 :斜率：倾斜角为90 0 的直线没有斜率； ktan（倾斜角的正切）已知直线 l 的方向向量为v(v1v 2, v2 ) ，则 k lv 1经过两点P ( x , y ), P ( x , y )111222直线 AxByC0

17、的斜率 K的直线的斜率 Ky 2y1(x1 x2 )x 2x1AB（1） 直线的方程点向式： xx 0yy 0v(v1 , v2 ) 为 l 的方向向量，方向向量与l 平行v1v 2两点式： yy1xx1y2y1x2x1点法式： A( xx0 )B( yy0 )0 v' (A, B) 为 l 的法向量，法向量与l 垂直斜截式： ykxb点斜式： yy 0k ( xx0 )截距式： xy1( a为 l 在 x轴上的截距， b为 l 在 y轴上的截距 )ab一般式： AxByC0其中直线 l 的一个方向向量为 (B, A)2.两条直线平行或垂直的条件： 两条直线斜率为 k1, k2 ，且不

18、重合则 l1 l 2k1k2 两条直线的斜率为 k1 , k2 ，则 l1 l2k1k213.两条直线的夹角公式（设夹角为）： k1k2 时， l1 l2 ，夹角=00； k1k21时， l1 l 2 ，则夹角=900 ； tan|k1 k2 | （ k1 k21）1 k1 k2一般式： l 1 : A1 xB 1 xC 10 与 l 2 : A2 xB2 xC20cos| A1A2B1B2 |A 2B2A2B211224.点 ( x0 , y0 ) 到直线 AxByC0 的距离公式 : dAx0By0C|A2B2|5.两平行线6、圆部分l1 : Ax By C1 0 与 l 2 : Ax B

19、y C20 间距离 d |C1C2|A2B2圆的方程：1.标准方程： ( x a) 2( yb)2r 2 (其中圆心为 ( a, b) ，半径为 r )2.一般方程： x 2y 2DxEyF0 （其中圆心为 (D ,E ) ，半径为 rD 2E 24F ）2223.参数方程： ( xa) 2( y b) 2r 2 的参数方程为xr cosa (0,2)yr cosb4. 直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径 r 比较。d r相交 ； dr相切 ； d r相离5.圆的切线方程：过圆x2y 21上一点 P(x0 , y0 ) 的圆的切线方程： x0 xy0 yr 27、椭圆部分定义式：| MF1 | MF 2 |2a(2a| F1 F2 |)椭圆的标准方程与性质：椭圆的 x 2y21(a b 0)y2x21(a b 0)a 2b 2a