第二章 从Maxwell方程组到光波导理论-最新课件

1、第二章 从Maxwell方程组到光波导理论光是一种特殊波段的电磁波，它在波导中传输满足电磁场的基本方程Maxwell方程组。这一章中，我们将从Maxwell方程组出发，建立光在波导中传输的电磁波理论与几何光学理论，进而讨论光在波导中的传输行为。§2.1 Maxwell方程组19世纪60年代，英国物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，18311879）在法拉第、高斯等人对电磁现象深入研究的基础上，加上他自己对电磁现象与力学的类比，提出了涡旋电场和位移电流假设，建立起一组完整的定量描述宏观电磁现象的基本方程，即著名的Maxwell方程组。根据这组基本方程，麦克斯韦预言

2、了电磁波的存在，并指出光波就是波长极短的电磁波，从而使人类对光的本质的认识向前迈进了一大步，也在物理学发展史上建立了一座新的里程碑。迄今为止，除了光发射与吸收必须用量子理论才能圆满解释外，麦克斯韦的经典电磁理论仍是分析光波传输问题的理论基础。2.1.1 Maxwell方程组宏观电磁现象可以用电磁场来描述。真空中的电磁场由电场强度和磁感应强度来描述。而为描述场对物质的作用，如光在透明介质中传播，则需再引入电位移矢量和磁场强度。在电磁场中每一点，这些矢量随时间和空间的变化关系由Maxwell方程组给出（2.1.1a）（2.1.1b）（2.1.1c）（2.1.1d）式中，为介质中的传导电流密度；为自

3、由电荷密度。（2.1.1）式中四个方程不是独立的，如果认为电流连续方程（2.1.2）是独立方程，则c、d两式可由a、b两式推出。为了从（2.1.1）式完全确定电磁场量，尚需给出、与、的关系，即物质方程（2.1.3a）（2.1.3b）（2.1.3c）式中，为介质的电导率，对良好介质可以认为近似为零；和分别为真空的介电常数和磁导率；称为介质的极化强度；称为介质的磁化强度。对于电各向异性介质，电极化强度可以写成（2.1.4）其中是i+1阶张量。如果除外，其余的元素均为零，则称此介质为线性介质，否则为非线性介质。对于各向异性线性介质，总可以选择合适的坐标系使（2.1.5）若、均不相等，称为双轴晶体；若

4、其中只有两个相等，称为单轴晶体；若三个都相等，即，可以用标量表示，从而得到（2.1.6）（2.1.7）其中为相对介电常数。由于一般传光介质均为非磁性介质，从而（2.1.8）满足（2.1.7）及（2.1.8）式的介质称为各向同性线性介质，如未作特殊说明，本书所涉及的介质均为此种介质。通过上面的讲述我们可以看出，Maxwell方程组虽然给出了电磁场的基本规律，但由于介质和场量的复杂性，使得求解并不容易。考虑物质方程，可以降低求解难度。首先，通过线性各向同性介质假设降低了介质的复杂程度；其次，通过物质方程可以使求解的场量由4个（、）变为2个（、）。但是，介质和场量均是时间t与空间位置（x，y，z）的

5、函数，方程仍很复杂。先在时间上将场量简化。引入傅里叶变换（2.1.9a）（2.1.9b）式中，可代表所有场分量的时域表达式；则为其频域表达式。从（2.1.9b）式可以看出，任意时域场分量都可以分解成多个频域分量。在良好介质（，）中，且介质的性质不随时间变化（定态假设），则各个频率的场量均满足频域中的Maxwell方程组（2.1.10a）（2.1.10b）（2.1.10c）（2.1.10d）若不涉及色散或非线性传输等与频率有关的现象，对于某一工作频率，式中、仅是空间位置（x，y，z）的函数，而时域中的电磁场量可根据（2.1.9a）式叠加而成。再考虑场量在空间上能否简化。若介质均匀，即不随空间位置

6、（x，y，z）变化，则（2.1.10d）式可化为，问题显然简单了很多。但大多数情况是，仅在某一局域为常数，因此我们接下来讨论电磁场的边界条件，即两局域交界面处电磁场的联系。2.1.2 电磁场边界条件Maxwell方程组（2.1.1）式描述的是电磁性质、为位置坐标的连续函数的介质中电磁场的基本规律。而当介质的性质发生突变时，由于导数不存在，所以（2.1.1）式不再适用。此时需将（2.1.1）式改成积分形式（2.1.11a）（2.1.11b）（2.1.11c）（2.1.11d）式中和的积分路径L分别为（2.1.11a）和（2.1.11b）两式右端面积分区域S的边界；而和在闭合曲面上面积分的积分区域

7、S分别为（2.1.11c）和（2.1.11d）两式右端体积分区域V的外表面。将（2.1.11a）和（2.1.11b）式应用于图2.1.1(a)所示的窄条型回路，可得到（2.1.12a）（2.1.12b）（2.1.12）式说明，两介质分界面处电场强度切向连续，而磁场强度的切向分量在边界面上的突变取决于界面上的传导面电流密度。再将（2.1.11c）和（2.1.11d）式应用于图2.1.1(b)所示的扁平区域，可得到（2.1.13a）（2.1.13b）上式说明，两介质分界面处磁感应强度的法向分量连续，而电位移矢量的法向分量突变取决于界面上的自由面电荷密度。对于非导电介质，其表面面电荷密度，面电流密度

8、，因而可将（2.1.12）和（2.1.13）式合并写成（2.1.14a）（2.1.14b）（2.1.14c）（2.1.14d）即电场强度和磁场强度切向连续，磁感应强度和电位移矢量法向连续。根据Maxwell方程组、物质方程及边界条件即可以确定所有电磁场量。由于Maxwell方程组是偏微分方程组，还需要在适当的条件下进一步消元，化简为偏微分方程。2.1.3 波动方程和Helmholtz方程良好介质中、，如果介质为均匀、各向同性、线性介质，则为常数。在上述两条件下，将（2.1.1a）和（2.1.1b）式取旋度，并注意到，可得（2.1.15a）（2.1.15b）式中，为真空中光速；为介质的折射率。（

9、2.1.15）式即为线性、均匀、各向同性介质中的波动方程，它的解即为波速为的电磁波。在频域中，所有场量都是以角频率振荡的正弦量，因而其波动方程为（2.1.16a）（2.1.16b）式中（2.1.17）（2.1.16）式称为Helmholtz方程。对于非均匀的各向同性线性介质，因为（2.1.18）可得（2.1.19）从而得到（2.1.20a）（2.1.20b）式中，是位置的函数，如果介质的折射率或相对介电常数随位置变化得较为缓慢，即满足，则称这种介质为缓变介质，于是（2.1.20）可化简为（2.1.21a）（2.1.21b）上式虽然形式上与(2.1.16)式相同，但二者有着重要区别，即(2.1.

10、21)式中的折射率n是空间位置的函数，因而其求解也就要困难得多。在分析光波导中光波的传播时，我们既会遇到均匀介质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性总满足缓变条件。因而（2.1.16）和（2.1.21）式是我们分析光波导中光波传播的基础。Helmholtz方程是一元二阶偏微分方程，与Maxwell方程组相比要简化了许多。但由于场量和都是矢量，所以每一个矢量方程都相当于三个标量方程，即Helmholtz方程仍有简化的可能。一方面，我们可以根据介质的对称性，选择合适的坐标系，利用各分量之间的关系，将Helmholtz方程化简为标量方程，如第2.2节和第3章。另一方面，我们可以将一个矢量函

11、数在合理的情况下简化为常矢量和标量函数的乘积，进而将Helmholtz方程化简为标量方程，下面就主要对此进行论述。2.1.4 均匀平面电磁波根据定态波假设，电磁波的振幅仅是空间位置的函数，相位是时间和空间的线性函数（2.1.22）式中是波的振幅矢量。略去后（2.1.23a）（2.1.23b）式中，称为波矢，方向为波的相速方向，大小为，即波的相位常数；和分别是波的电场和磁场振幅矢量，与和一样，仅是空间位置的函数。尤其在无界均匀各向同性线性介质中，对于均匀平面电磁波，、和都是常矢量。令（2.1.24）式中C为任意常数。上式在空间描述出一组平面，称为波的等相位面。(1)均匀平面电磁波是TEM波将（2

12、.1.23）式代入（2.1.10）式，得（2.1.25a）（2.1.25b）（2.1.25c）（2.1.25d）式中，为介质的波阻抗，为波矢的单位矢量。上式说明无界介质中的均匀平面电磁波是TEM波，、和三者相互垂直，和相位始终一致。(2)均匀平面电磁波的相速和群速平面电磁波相位传播的速度称为相速（2.1.26）而能量传播的速度称为群速（2.1.27）对于均匀平面波，。如果介质折射率n与频率无关，则（2.1.28）即对于均匀无色散介质，其中传播的平面电磁波的相速与群速相等，且与波源的频率无关，仅与介质的折射率有关。(3)均匀平面电磁波的偏振态平面电磁波的偏振态是指电场强度矢量或磁场强度矢量的空间

13、取向随时间的变化情况。平面电磁波的偏振态包括：自然光、部分偏振光、线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光，共5种。其中，线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光统称为完全偏振光，自然光也称为非偏振光。自然光和部分偏振光都可以看成多个完全偏振光的混合，因此下面我们着重讨论完全偏振光。任意场矢量总可以写成沿两个特征方向的分矢量之和，即（2.1.29）式中，、为与波传播方向垂直的两个相互正交的单位矢量，；和分别为和方向上的振幅；和分别为和方向上的相位因子。当时分别为一、三和二、四象限的线偏振态。当且时分别为右旋和左旋圆偏振态。更一般的情况下，波呈椭圆偏振态，时为右旋偏振态，而时为左旋偏振态。需要指出，这里关于旋向的定

14、义与工程电磁理论中的规定一致，而与一般的光学教科书中的刚好相反。（2.1.29）式说明，任何一种完全偏振态都可以看成两个具有确定相位差和振幅比的线偏振态的叠加。同样，在研究旋光现象时，我们也可以将它看成是两个旋向相反的圆偏振光的叠加，即（2.1.30）式中，、分别为左旋和右旋圆偏振态的振幅。若，则代表线偏振态；若，则代表椭圆偏振态；若、其中之一为零，则为圆偏振态。为了方便，在研究偏振态时，常引进Stokes参数。四个Stokes参数的定义是（2.1.31a）（2.1.31b）（2.1.31c）（2.1.31d）显然，四个Stokes参数不是独立的，（2.1.32）如果以、为直角坐标系中的x、y

15、、z坐标，则当为常数时，决定了一个球面，这个球面称为Poincaré球。Poincaré球面上的点与完全偏振态一一对应，如图2.1.2所示。如果测得Stokes参数的变化规律，则可确定光波的偏振态变化规律，这为测定单模光纤传输系统的偏振态色散提供了理论基础。2.1.5 平面电磁波的反射和折射与2.1.2类似，当介质的性质发生突变时，平面电磁波将在不同介质分界面处发生反射和折射，如图2.1.3所示。根据分界面两侧满足的边界条件，可得两种介质中入射波、反射波和折射波之间的运动学关系：(1)入射光、反射光和折射光共面，即、和共面；(2)反射角等于入射角，即；(3)Snell定律:

16、,其中、为两种介质的折射率。入射波、反射波和折射波之间的动力学关系：(1)对于平行偏振态，即电场矢量与入射面平行的线偏振态，其振幅反射和透射率分别为（2.1.33a）（2.1.33b）(2)对于垂直偏振态，即电场矢量与入射面垂直的线偏振态，其振幅反射和透射率分别为（2.1.34a）（2.1.34b）（2.1.33）和（2.1.34）式统称为Fresnel公式。s分量始终垂直纸面向内，p、s、k成右手系。由Snell定律可知，当时，折射角大于入射角，有可能发生全反射。全反射的临界角（2.1.35）当时，折射光将与界面平行；当时，折射光消失，从而发生全反射。由（2.1.33a）式可知，如果以Bre

17、wster角入射（2.1.36）则平行偏振态的反射率为零，即无论入射光的偏振态如何，均只有垂直偏振态反射。即以Brewster角入射时，反射光总为线偏振光，因此Brewster角又称为起偏角。2.1.6 电磁波理论的短波长极限几何光学理论光波是频率极高的电磁波，即波长极短。在光纤通信与光纤传感中常用近红外光波作为信号的载体，其频率在左右，波长在1m左右。这种近红外光波的波长比起一般光学系统的尺寸要小很多，因而可以可以忽略光波波长的有限大小的尺度，近似认为光沿光线传播，从而形成研究光传播规律的另一分支几何光学。几何光学的理论早在古希腊时期就已形成，其历史与欧几里得几何一样悠久，要远早于波动光学。

18、几何光学的基本方程程函方程（eikonal equation）也完全可以从变分原理得到，而不必借助Maxwell电磁理论。本书中为了将光的传播理论统一在电磁理论的框架之内，将几何光学理论看成电磁波理论的短波长极限。几何光学的优点是：理论模型简单直观、物理概念清晰、易于理解，所以对于初学者理解光在波导中传输及分析多模光波导都有着重要意义。但因为几何光学是电磁波理论的短波长极限，所以几何光学所得到的结果具有局限性，仅适于分析几何尺度远大于波长的情形。具体地说，几何光学理论只能用来分析多模光波导；而横向尺度与工作波长可比拟的单模光波导就只能波动理论才能得到正确的结果。(1)几何光学基本规律程函方程程

19、函方程描述了光波的几何波阵面的运动规律。在各向同性的非磁性介质中，频域中的Maxwell方程组为（2.1.37a）（2.1.37b）（2.1.37c）（2.1.37d）在各向同性均匀介质中，均匀平面电磁波的电场和磁场强度可表为（2.1.38a）（2.1.38b）上式描述了一个沿方向传播的均匀平面波，其波阵面是与垂直的平面族。更一般的情况下，介质的电磁性质不均匀，即其折射率是空间位置的函数。一般说来，在此情况下，已不存在均匀平面波解。非均匀介质中Maxwell方程组的试探解可以写成（2.1.39a）（2.1.39b）式中振幅矢量和都是位置的函数，而称为光程函数。（2.1.39）式代入（2.1.3

20、7）式得（2.1.40a）（2.1.40b）（2.1.40c）（2.1.40d）式中，是自由空间的波阻抗。在电磁波的波长趋于零，即趋于无穷的短波长极限情形下，（2.1.40）的右端都可以忽略，从而有（2.1.41a）（2.1.41b）（2.1.41c）（2.1.41d）由（2.1.41c）和（2.1.41d）式可以看出，电场强度矢量和磁场强度矢量都与矢量相垂直。如果令常数，则可以得到一系列曲面，这些曲面就是波的等相位面或等程函面。由于和都与等程函面法向垂直，且和也相互垂直，所以在折射率不均匀的介质中波长极短的电磁波仍是横电磁波，即TEM波。将（2.1.41b）式代入（2.1.41a）式，得（2

21、.1.42）利用矢量恒等式及（2.1.41d）式，得（2.1.43）由于电场强度矢量不能处处为零，因而有（2.1.44）上式即为程函方程，它是几何光学的基本方程。另外，程函方程也可由费马原理得到。费马原理指出，介质中任意两点间的光线的实际传播路径为这两点间光程变分为零的路径。即、两点间实际路径所满足的方程必是变分问题（2.1.45）的Hamilton-Jacobi方程，即程函方程。详细的推导可参阅M.Born与E.Wolf合著的光学原理第3章。(2)光线的传播路径射线方程前面我们定义了等相位面，与之正交的轨迹称为光线。即（2.1.46）式中是光线传播路径切线方向上的单位矢量，即光线的传播方向，

22、如图2.1.4所示。根据程函方程（2.1.44）式，又可以得到，于是（2.1.47）将上式对路程s求导，得（2.1.48）交换右端的求导次序，得（2.1.49）由于，故（2.1.50）再利用（2.1.47）式，得（2.1.51）上式即为折射率分布为的介质中的射线方程。射线方程在研究其它波线乃至流线中都有着广泛的应用，因此也称流线方程或射流方程。(3)应用举例例1 光线在均匀介质中传播。【解】均匀介质中n=常数，因而，所以（2.1.52）积分上式即可解得（2.1.53）式中和是两个常矢量，s是路径的长度。（2.1.53）式是一个直线方程，说明光线在均匀介质中沿直线传播。矢量表示光线的起始位置，矢

23、量表示光的传播方向，如图2.1.5所示。例2 光线在球对称折射率分布介质中传播【解】所谓球对称分布是指在球坐标系下，折射率仅是r的函数，即（2.1.54）所以（2.1.55）再由射线方程（2.1.51）式，得（2.1.56）将上式两端得（2.1.57）由于，故（2.1.58）即（2.1.59）上式说明：(1)光线的传播方向与位置矢量构成一个平面，而光线的路径始终处于此平面内。即光线路径是平面曲线，而非空间曲线。(2)每条光线都对应一个不变量（2.1.60）式中为位置矢量与光线传播方向之间的夹角，d为原点到该点切向的距离，n为该点的折射率，如图2.1.6所示。为进一步讨论光线的走向，将（2.1.

24、56）式展开，得（2.1.61）或（2.1.62）式中为位置矢量的单位矢量。由微分几何可知，曲率矢量（2.1.63）其中为曲率半径，为曲线的主法线方向，如图2.1.7所示。（2.1.62）式 得（2.1.64）由于曲率半径，因而上式右端必为正值。即当时，与的夹角小于，如图2.1.7(a)所示；而当时，与的夹角大于，如图2.1.7(b)所示。说明光线的路径总是弯向折射率大的一侧。这个结论虽然是从折射率球对称分布的特例中得到的，但它具有普遍性，一般的结果与折射定律相吻合。运用这一结论，会为定性分析光的传播路径等问题带来很大的方便，希望读者能够记住。例3 折射定律和反射定律的证明【证】前两个例子中折

25、射率不变或连续变化，而在此例中，光线的反射和折射发生在介质的分界面处，这里的折射率发生突变，射线方程中不存在。因此需从几何光学的基本方程出发。由光线的定义，即等程函面的正交轨线，有（2.1.65）即矢量可以看成是标量光程函数的梯度，因而（2.1.66）令两种介质的折射率分别为、，由介质1指向介质2的分界面的法向单位矢量为。取如图2.1.8所示的扁平回路。光线传播方向的单位矢量在介质1、2中分别用、表示。假设扁平回路的长l比宽h大得多，即l>>h。此时上面的积分近似为（2.1.67）式中、分别为扁平回路位于介质1、2中的变的切向单位矢量，且。设为扁平回路的法向单位矢量，则，从而得（2

26、.1.68）即（2.1.69）由于回路的可以以为轴任意选取，即为垂直的任意矢量。故（2.1.70）上式说明，入射光线、折射光线、法线三者共面。令与之间的夹角为，与之间的夹角为，则有（2.1.71）这就是折射定律或Snell定律。对于反射光线，只需令（负号表示反射光与入射光的法向刚好相反，入射光由介质1射向介质2时，反射光由介质2射向介质1），则（2.1.72）这就是反射定律。上式的表述与通常的反射定律略有不同，这跟几何光学的符号规定有关，即由法向逆时针转向光线的角度为正，而由法向顺时针转向光线的角度为负。本节着重讨论了光在介质中传播所遵从的基本规律电磁波理论和几何光学理论，是以后分析波导中光的

27、传播规律的理论基础。两者的主要区别在于，几何光学理论直观、简单，但适用范围仅限于多模波导；电磁波理论则更为精确、复杂，对于多模和单模波导均适用。在下一节中，我们将应用这些基本理论解决一些光波导的简单模型。§2 光波导理论广义地讲，凡是能稳定持续传输光信号的结构都可以称为光波导。从形状上，光波导可分为薄膜波导、条形波导、圆柱形波导（光纤）等；从芯区折射率分布上，又可分为均匀介质波导和渐变介质波导。本节所涉及的光波导特指薄膜波导、条形波导等具有平移对称性波导结构，此类波导只需在直角坐标系下进行分析，相对比较简单。而光纤具有轴对称性，需在柱坐标系下进行分析，我们留在下一章详细介绍。光纤主要

28、承担信号传输的任务，而光源、接收器、探测器、中继等也是光纤通信与光纤传感系统中不可缺少的重要组成部分。这些器件的形状往往与这一节所分析的波导结构相近，这也就是我们分析此类波导的意义所在。2.2.1 薄膜波导的几何光学分析方法均匀介质薄膜波导结构如图2.2.1所示。中间一层厚度为d（一般为几微米），折射率为，光线主要在此进行传播，称为芯区。上下两层沿x方向的尺度远大于芯区，可认为半无限大。下层折射率为，称为衬底。上层折射率为，称为敷层。为了保证光线在芯区中传播，必须有，。薄膜波导y、z方向的尺寸远大于x方向的尺寸，因此往往认为y、z方向上是无限大的，这样就使问题简化为一维情况。可见，薄膜波导是光

29、波导中最简单的情形，关于它的讨论也将为以后分析条形波导和光纤打下基础。(1)均匀介质薄膜波导中光线的传播传播路径：均匀介质薄膜波导中芯区折射率、衬底折射率、敷层折射率均为常数。因而光线在芯区沿直线传播，在上下两界面发生反射和折射，如图2.2.2所示。若在上下两界面发生全反射，光线将被束缚在芯区，形成锯齿状的传播路径。光线分类：根据衬底和敷层中是否存在折射光线，我们将波导内的光线分成折射光线和束缚光线两类。若光线在两界面上都满足全反射条件，光线完全被束缚在芯区内，则称之为束缚光线。若光线在某一界面或两界面上同时不满足全反射条件，从而导致光线穿过界面进入衬底或敷层，则称之为折射光线。显然只有束缚光

30、线才能在波导中沿确定方向进行远传，而折射光线由于能量进入到衬底或敷层，不能远传。光线在芯区与衬底及芯区与敷层的界面上的全反射临界角分别为（2.2.1a）（2.2.1b）不妨设，则，这表明成为束缚光线的必要条件为。为了讨论方便，我们常用光线与波导轴z轴之间的夹角来表示光线的方向，它与入射角互余，即。于是根据可将光线分类为：束缚光线（2.2.2a）只存在衬底辐射的折射光线（2.2.2b）同时存在衬底辐射和敷层辐射的折射光线（2.2.2c）消失光线（2.2.2d）这里所谓的消失光线是指，垂直于z轴传播的光线，即光线在z轴分量为零。而光通信的目的是使信号沿z轴传播，因此讨论这种光线意义不大。在以后的各

31、种波导中将不再讨论。光线不变量：由及折射定律可知，在光线传播过程中（2.2.3）是个常数。其中脚标i=1,2,3，分别表示3种介质。可将称为光线不变量，它实际上是光波沿z轴方向的归一化相位常数，即（2.2.4）用光线不变量也可对光线进行分类。束缚光线（2.2.5a）只存在衬底辐射的折射光线（2.2.5b）同时存在衬底辐射和敷层辐射的折射光线（2.2.5c）消失光线（2.2.5d）传播时延：沿z轴传播单位距离所需的时间称为光线的传播时延。在均匀介质薄膜波导中，束缚光线在芯区的传播速度为（2.2.6）其中c为真空中的光速，为芯区折射率。由于传播路径为锯齿状，如图2.2.3所示，光线沿z轴传播距离z

32、时，走过的实际路径长度及光程为（2.2.7a）（2.2.7b）需要的时间为（2.2.8）根据定义，传播时延（2.2.9）时延差：如果在芯区中有两条束缚光线，其路径不同，与z轴的夹角分别为和。则沿z轴传播单位距离时，传播时延不同，其差值称为时延差，记为（2.2.10）最大时延差：所有束缚光线中，路径最短的是沿z轴传播的光线，其。而路径最长的是接近全反射临界角的光线，其。这两条光线的时延差最大，称为最大时延差，记为（2.2.11）由上式可以看出，正比于相对折射率差。而在以后我们将看到，时延差越大，多径色散越严重。所以实际光波导中相对折射率差不宜过大。一般芯区和衬底往往是一种材料，只是掺杂浓度不同，

33、导致略大于，即满足所谓的弱导条件（2.2.12）相对折射率差：为了使最大时延差的表述更简洁，我们引入相对折射率差。相对折射率差的严格定义为（2.2.13）这与上面的不同，但在弱导近似下（2.2.14）两者近似相等。之所以不同是由于几何光学理论本身并不严格，而的严格定义是在电磁理论的严格推导下得到的。但对于多模波导，在弱导近似下（2.2.15）仍不失为多径色散导致光脉冲展宽的一个很好的估计。(2)芯层折射率渐变的介质薄膜波导中光线的传播前面分析的均匀介质薄膜波导虽然结构简单、容易分析，但其多径色散效应严重。为了解决这一问题，可以将芯区的折射率改进为渐变的，使其中心折射率最大，向两侧单调下降至衬底

34、的折射率，如图2.2.4所示。下面就对这种结构更复杂的介质薄膜波导进行分析。为简单起见，假设芯区两侧折射率对称分布，则折射率函数可表为（2.2.16）首先进行定性讨论。如图2.2.5(a)所示，假设某时刻光线传播至轴线上一点O，且与z轴的夹角为。下一时刻光线将偏离轴线，但由于折射率向两侧单调下降，故光线同时也向轴线方向发生弯曲。因此，芯区的传播路径一般曲线，且偏离轴线的距离x越远其切向方向与轴线的夹角越小。若光线传播至且使，光线接下来将向接近z轴的方向传播。由对称性及光路可逆知，光线将被束缚在区域，形成束缚光线，称为折返点。若光线一直传播至处也未出现的点，由于衬底及敷层折射率不变，则光线将沿a

35、点处路径的切向传播至衬底及敷层区域，形成折射光线，如图2.2.5(b)所示。对于沿不同路径传播的束缚光线，如图2.2.5(c)所示，其传播路径越长，则其经过区域的折射率相对越小。因为传播时间正比于光程，所以路径越长的光线未必时延越大。下面就对路径方程、光线分类及传播时延等问题进行定量分析。路径方程：在芯区中光线传播的路径方程由射线方程（2.1.51）式可以具体化为（2.2.17）由于与y、z无关，故光线路径为平面曲线。总可以选取合适的坐标系，使光线的传播路径在xz平面内。曲线上任意一点的矢径为（2.2.18）将上式代入到（2.2.17）式，并写成分量形式，有（2.2.19a）（2.2.19b）

36、由如图2.2.6所示的几何关系可知（2.2.20a）（2.2.20b）（2.2.20c）积分（2.2.19b）式可得（2.2.21）即前面提到的光线不变量归一化的z方向相位常数。也就是说光线传播的归一化的z方向相位常数在整个传播过程中始终保持不变，其值仅由光线的初始状态决定。由于折返点处，故折返点坐标是下面方程的解（2.2.22a）（2.2.22b）利用（2.2.20）式，可以将（2.2.19a）式写成（2.2.23）利用（2.2.21）式的不变量关系，又可将上式化简为（2.2.24）作变换，则，将其代入（2.2.24）式，得（2.2.25）积分得（2.2.26）式中C为积分常数。对于束缚光线

37、，方程（2.2.22）有解。在处，故，于是。再由（2.2.21）式，确定。于是（2.2.27）再次积分得到路径方程的积分式（2.2.28）上式是在x=0时，z=0的前提下得到的。如果给定芯区折射率分布和光线的起始倾角，则光线的路径方程可由（2.2.28）式的积分完全确定。光线分类：由前面的分析可知，若方程（2.2.22a）式在的范围内有解，则说明存在折返点，光线为束缚光线；反之则为折射光线。两者的分界线刚好是的路径。由（2.2.22a）式可以得到这条路径的起始倾角（2.2.29）式中是衬底及敷层的折射率，是芯区轴线上的折射率。于是光线的分类可以归纳为束缚光线（2.2.30a）折射光线（2.2.

38、30b）或用光线不变量来表示束缚光线（2.2.31a）折射光线（2.2.31b）传播时延：由于光线路径的周期性与对称性，我们可以只考虑半个周期的光程，即图2.2.5(c)中P、Q两点间的曲线段。利用（2.2.27）式，即（2.2.32）并注意到（2.2.33）得，光程（2.2.34）又由于P、Q在z轴上投影点之间的距离（2.2.35）所以传播时延（2.2.36）式中是z方向上半周期的长度。若传播路径在z轴上的投影长度刚好是的整数倍，则（2.2.36）式精确成立；若，则（2.2.36）式近似成立；若不满足以上条件，传播时延的精确值为（2.2.37）由（2.2.36）式可以看出，传播时延与初始条件

39、及折射率分布有关。即当光线沿不同路径传播（不同）时，可能会产生时延差。而时延差的大小显然就由折射率分布来决定了。因此，在设计波导时，可以通过选择合理的折射率分布函数，来尽量减小甚至消除最大时延差和多径色散。下面我们就举几个典型的例子。(3)举例例1 无界抛物线型折射率分布，即，（2.2.38）【解】由于这里假设折射率在范围内按抛物线函数分布，所以式中的a不再具有芯区厚度的意义，只是一个几何尺度参量而已。是一个无量纲的参量，反映折射率的变化情况。显然当时，不符合实际情况，即所谓的“无界抛物线型折射率分布”是不存在的。但从它可以得到简单的解，有助于我们理解渐变折射率分布波导中光线传播的概念，且对于

40、其中那些不大的傍轴光线，所得的结果是相当精确的。在波导中，我们主要关心的也就是傍轴光线，所以这样的假设有讨论的价值。具体分析方法是先通过（2.2.22a）式确定积分限（即折返点），再通过积分式（2.2.34）和（2.2.35）求出和，最后得到时延，进行讨论。由于没有芯区和衬底的界面，所以所有实际存在的光线都是束缚的。其折返点位置由方程（2.2.39）决定。解得（2.2.40）由上式可知，当波导参量a，确定以后，折返点仅取决于起始倾角。越小，就越小，如图2.2.7所示，即光线就越越接近光轴，结果越精确。将（2.2.38）式代入（2.2.28）式，并注意到，得路径方程（2.2.41）将（2.2.4

41、0）代入，得（2.2.42）作变换，则（2.2.43）即（2.2.44）由上式知，光线的路径是正弦曲线，令宗量，可得其半周期长度（2.2.45）于是，路径方程可写成（2.2.46）由（2.2.45）式可知，起始倾角越小，即越小，则半周期越短，如图2.2.7所示。由（2.2.34）及（2.2.38）式得，半周期的光程（2.2.47）令，则（2.2.48）传播时延（2.2.49）显然，光线的初始倾角不同时，其传播时延也不同，即这种折射率分布的波导存在时延差。如果将作为波导的边界，且在边界处折射率连续，且芯区外折射率不变，如图2.2.4所示，则模型变为有界抛物线型折射率分布薄膜波导。显然，在这种情况

42、下，即为束缚光线的临界路径，如图2.2.7所示。由（2.2.40）知此临界路径的初始倾角满足（2.2.50）再由光线不变量的定义式（2.2.3）得（2.2.51）而沿波导轴线z轴传播的光线，。由于且单调，在区间内也是的单调函数，故和分别对应着最大和最小时延。将和分别代入（2.2.49）式再相减，得（2.2.52）在弱导近似的情况下，最大时延差（2.2.53）将上式与（2.2.15）比较，可以看到，当芯区折射率分布满足抛物线函数时，其最大时延差是均匀折射率波导的倍。由于一般光波导均满足弱导条件，故当折射率分布满足抛物线函数时，其最大时延差一般比均匀波导提高2到3个数量级，即多径色散明显小于均匀波

43、导。例2 双曲正割折射率分布，即，（2.2.54）【解】与前面的例1类似，所有实际存在的光线都是束缚的。将（2.2.54）式代入（2.2.22a）式，解得折返点（2.2.55）为运算方便，令，。将（2.2.54）式代入路径积分（2.2.28）式，得（2.2.56）作变换，得（2.2.57）（2.2.58）即光线的路径方程（2.2.59）由上式可知，光线的路径为一族周期性曲线，其z轴方向的半周期长度（2.2.60）与光线的起始倾角无关。这表明从轴线上同一点O发出的光线，由于起始倾角不同，可能沿不同路径传播，但经半个周期后又汇聚于同一点P。这就是所谓的自聚焦现象，如图2.2.8所示。另一个问题是，

44、同时从O点发出的光线能否同时汇聚于P点，即时延是否相等。将（2.2.54）式代入（2.2.34）式，得半周期的光程（2.2.61）则传播时延（2.2.62）从上式可知，传播时延与路径无关。即双曲正割折射率分别的波导不存在多径色散。例3 幂指数型折射率分布，即（2.2.63）式中为正的常数，称为折射率指标。因为不一定是偶数，所以式中用以保证折射率分布的对称性。不同的值表示各种类型折射率分布的波导，如图2.2.9所示。例如表示例1中的波导，表示前面介绍的均匀介质薄膜波导。所以（2.2.63）具有一定的普遍意义。【解】将（2.2.63）式代入（2.2.22a）式，解得折返点（2.2.64）对于束缚光

45、线，则（2.2.65）即（2.2.66）当时，可以近似写成（2.2.67）除了的特例外，光线的路径积分得不到显式。z轴方向的半周期长度及光程可用函数表示为（2.2.68）（2.2.69）传播时延（2.2.70）与前面的结果相比较可知，（2.2.27b）和（2.2.28）式分别是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例，而（2.2.48）和（2.2.49）式分别是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例。可以证明，当取值略小于2时，传播时延差最小。我们将之称为最优的值，记为。（2.2.71）当时，（2.2.72）与（2.2.53）式比较，时延差几乎又提高了一个数量级。说明时延差是折射率指

46、标的敏感函数。归一化的时延差随折射率指标变化关系如图2.2.10所示。2.2.2 从几何光学理论向模式理论过渡本地平面波解释根据前面的介绍，我们知道只有在无限大均匀介质中存在电磁波的最简单形式均匀平面电磁波。但在大多数情况下，电磁波的形式都不是均匀平面电磁波。为了考虑问题方便，我们可以选取一小块区域，只要在此区域中振幅变化不明显，且等相位面近似可以看成平面，就可以把此区域中的电磁波看成是均匀平面电磁波，称为本地平面波。(1) TE波和TM波任意一种偏振形式的均匀平面电磁波都可以分解成两个线偏振光的叠加，而线偏振光又可以作如图2.3.1所示的分解。即首先建立如(a)图所示的波导坐标系，x轴为界面

47、的法向；z轴处在x轴及波矢确定的平面内且垂直于x轴，为传播方向；y轴与z轴、x轴成右手系。再建立本征坐标系，y轴即为s轴，波的传播方向为k轴，p轴与s轴、k轴成右手系。电磁场量可以作分解成p和s分量，如图(b)和(c)所示。将和分成一组，组成横电波，简称TE波，而和分成另一组，组成横磁波，简称TM波。即波导中的任意电磁波都可以分解TE波和TM波的叠加，如图2.2.12所示。尤其当平行于z轴，TE波和TM波均成为横电磁波（TEM波），其物理含义在后面的条形波导中体现的更为明显。(2)入射波电场，反射波电场，折射波电场表达式对于TE波，如图2.2.12(a)所示，入射波电场、折射波电场和反射波电场

48、表达式分别为（2.2.73a）（2.2.73b）（2.2.73c）式中，、和分别为入射、折射和反射波的振幅；、和分别为入射、折射和反射波与法线的夹角。这里为了讨论问题方便，只考虑了衬底的折射光线，后面只需将换成即可得到敷层的情况。(3)倏逝波对于我们主要关心的束缚光线，满足全反射条件，即。又由Snell定律知，为纯虚数，故折射光（2.2.74）式中，为场量在介质2中的衰减常数。上式表示，当全反射发生时，并不是所有能量都返回介质1中，也有一部分能量以波动的形式进入到介质2中。这种波动的形式比较特殊，能量沿x方向按指数衰减，沿z方向以行波的形式传播，称之为倏逝波。倏逝波的存在提醒我们，即使在满足全反射条件的情况下，我们还应使x方向形成驻波，来更好地保证光波被束缚于芯区