2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测：导数的概念及导数的运算

1、课时跟踪检测(十三) 导数的概念及导数的运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1. _ (2019 常州调研) )函数 f(x) = ex + x2 + sin x 的导函数 f (x)= _ . 答案：ex+ 2x+ cosx 2. _ (2018 镇江调研) )函数 f(x) = (x + 1)2(x 1)在 x= 1 处的导数等于 _ . 解析：由 f(x)= (x+ 1)2(x 1) = x3+ x2 x 1，得 f (x)= 3x2 + 2x 1, 所以 f (1) = 3+ 2 1 = 4. 答案：4 3. _ (2018苏州暑假测试) )曲线 y= ex在 x= 0 处的切线方程

2、为 _ . 解析：因为 y = ex,所以 y= ex在 x= 0 处的切线斜率 k= e0= 1,因此切线方程为 y 1 =1 x (x 0)，即 x y+ 1 = 0. 答案：x y+ 1 = 0 1 f n 4. 已知函数 f(x) = COS x,贝 U f( n-) f 2 = _ . 1 1 (n 1 2 3 解析：因为 f (x) = x2cosx ；( sin x)，所以 f( n f ? =；+；( 1)=一； 答案：3 n 5. _ (2019 苏州调研) )已知函数 f(x)= x3 + ax2 + b(a, b R)图象上任意一点处的切线的 斜率都小于 1,则实数 a

3、的取值范围是 . 解析：T f (x)= 3x2+ 2ax= 3x | /+ 寺, 2 当 x=3 时,f (x)取到最大值 3. 3 3 2 牛v 1,解得30）上一点 P（xc, y。）处的切线分别与 x 轴，y 轴交 1 于点 A, B, O 是坐标原点，若 OAB 的面积为 3 贝U xo= _ . 解析： 因为 y = 1 + 寺，切点 P X0, x0, X00, 所以切线斜率 k= y |x = Xo= 1 + A, Xo 所以切线方程是 y X01 = 1 + X2 (x xo). 令 y=0,得x=誥即 Axft，0 ； 令 x = 0,得 y=，即 B 0,. xo 、一

4、xo/ 所以 OAB = 1 2+； 2 = 2+ 1= 1，解得 X0= . 5. 2 X0+ 1 X0 X0+ 1 3 答案：5 1 2 7 5.已知 f(x) = In x, g(x) = 2x + mx+ ?( (mv 0)，直线 l 与函数 f(x), g(x)的图象都相切, 且与 f(x)图象的切点为(1, f(1)，则 m= _ . 解析：因为 f (x) = X, 所以直线 l 的斜率为 k = f (X) = X, 又 f(X) = 0, 所以切线 I 的方程为 y= x- X. g (x) = x+ m,设直线 I 与 g(x)的图象的切点为( (xo, yo), 则有 x

5、o+ m= X , yo= x。一 X, yo= Xx()()+ mxo+ 7, mv 0, 解得 m=- 2. 答案：2 6. (2OX8 淮安高三期中) )已知函数 f(x)= x3.设曲线 y= f(x)在点 P(xx, f(xx)处的切线与该 (XX)= 3xX,所以曲线 y= f(x)在点 P(XX, xX)处的切线方程为 解得 Q-2XX, -8xX),所以 x2=- 2x1,所以 = 8 X 4. 答案: 7. (2OX9 南通一调) )已知两曲线 f(x)= 2sin x, g(x)= acosx, x O,寸寸相交于点 P.若两 曲线在点 P 处的切线互相垂直，则实数 a 的

6、值为 解析：f (x)= 2cos x, g (x) = asin x.设点 P 的横坐标为 xo,则 f(x) )= g(xo), f (xo) (xo)= X, 即卩 2sin xo= acos xo, (2cos xo) ( asin xo) = X,所以 4sin xo= X.即 n，所以 sin xo= 2, cosxo-3，所以 a= 答案：于 8曲边梯形由曲线 y= x2+ X, y= O, x= X , x = 2 所围成，过曲线 y= x2+ X(x 1,2) 上一点 P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐 标为 _ . 解析：设 P(Xo

7、, x2+ X), Xo 1,2,则易知曲线 y= x2 + X 在点 P 处的切线方程为 y (x2 + X) = 2xo(x xo)，所以 y= 2xo(x xo)+ x()()+ X，设 g(x) = 2xo(x xo)+ x()()+ X，贝 V g(X) + g(2) =2xO+ 6xo + 2,所以 S普通梯形= X = xO+ 3xo+ X = - &O-2 丿2+ 普，所以 P 点曲线交于另一点 Q(x2, f(x2)，记 解析：由 f (x)= 3x2,得 f 2 3 2 3 y= 3xxx 2xx, y= 3xxx 2xx,由 3 ly= x , sin xo= g

8、,因为 xo o, 勺值f (x)为函数 f(x)的导函数，则 坐标为3 , 时,S普通梯形取大. 答案： 3 匹 2 , 4 9. (2019 盐城中学月考) )求下列函数的导数: 2 (1)y= x (In x + sin x); cosx x (2)y=厂 (3)y= xln x. 2 sin x 1 x cosx x 2x x x 2cos x xsin x x3 - , il .丄) 厂 1 2+ In x (3)y = (?功功 x +&M 3 2 10.已知函数 f(x) = x 4x + 5x 4. (1) 求曲线 f(x)在点(2, f(2)处的切线方程； 求经过点

9、A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程. 解：(1)因为 f (x)= 3x2 8x+ 5,所以 f (2) = 1, 又 f(2) = 2，所以曲线在点(2, f(2)处的切线方程为 y+ 2= x 2, 即 x y 4= 0. (2) 设曲线与经过点 A(2, 2)的切线相切于点 P(xo, x； 4xJ + 5x 4), 因为 f (xo) = 3x0 8x+ 5, 所以切线方程为 y ( 2)= (3x0 8X0 + 5)(x 2), 又切线过点 P( (X0, x3 4x2 + 5X0 4), 所以 x0 4x2 + 5x 2= (3x0 8x0+ 5)(x0 2), 整理得( (

10、X0 2)2( (X0 1)= 0,解得 X0= 2 或 1, 所以经过点 A(2, 2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y 4= 0 或 y+ 2 = 0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1.已知曲线 f(x)= X3+ ax+1 在 x= 0 处的切线与曲线 g(x) = In x 相切，贝 V a 的值为 解: (i)y 2 =2x(ln x+ sin x) + x 2 2xln x + 2xsin x+ x+ x cosx. (2)y 解析：由 f(x)= x3+ ax + 丁丁得, f (x)= 3x2+ a, f (0)= a, f(0)=：, 1 所以曲线 y= f(x)在

11、x = 0 处的切线方程为 y- = ax. 4 1 设直线 y 4= ax 与曲线 g(x) = In x 相切于点(xo, In xo), 所以 In x 1 = ax。, i 14 a= io. 将代入得 In xo= 3, 4 3 所以 xo= e4 , 3 所以 a = -1 = e 之之. 3 答案： 3 2 2. (2oi8 启东中学高三测试) )已知函数 f(x)= ax + 3x 6ax 11, 直线 I: y= kx+ 9，且 f ( 1)= o. g(x)= 3x2 + 6x + 12 和 (1) 求 a 的值； (2) 是否存在实数 k，使直线 I 既是曲线 y= f(

12、x)的切线，又是曲线 存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：由已知得 f (x)= 3ax2 + 6x 6a, 因为 f ( 1) = o，所以 3a 6 6a = o，解得 a = 2. y= g(x)的切线？如果 存在，理由如下： 由已知得，直线 I 恒过定点( (o,9), 若直线 I 是曲线 y= g(x)的切线， 则设切点为( (Xo,3x2+ 6xo+ 12). 因为 g (xo) = 6xo + 6, 所以切线方程为 y (3x2 + 6xo+ 12)= (6xo+ 6)(x x), 将(o,9)代入切线方程，解得 xo= . 当 xo= 1 时，切线方程为 y= 9; 当 Xo= 1 时，切线方程为 y= 12x+ 9. 由(1)知 f (x)= 6x2 + 6x + 12, 由 f (x)= o,得6x2 + 6x + 12= o, 解得 x = 1 或 x = 2. 当 x =- 1 时，y= f(x)的切线方程为 y= 18; 当 x = 2 时，y= f(x)的切线方程为 y= 9, 所以 y= f(x)与 y= g(x)的公切线是 y=