2017-2018学年高中数学第一章三角函数4第1课时单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的

1、第 1 课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性核心叨知自读敦材找关惟问題思考 辨析间题解疑寤核心必知1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心,以单位长为半径的圆，称为单位圆.正弦、余弦函数的定义：如图所示，设a是任意角，其顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，V)，那么点P的纵坐标v叫作角a的正弦函数，记作V= Sina；点P的横坐标U叫作角a的余弦函数，记作U= COS_a(3) 正弦、余弦函数的定义域，值域：通常，我们用X表示自变量，即X表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数

2、y= sinx和y= cosx.它们的定义域为 R，值域为1， 1 (4) 正弦函数、余弦函数值的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sina土土二-COSa土二二上2.周期性(1) 周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T =f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期.(2) 正弦函数、余弦函数是周期函数，2kn(k乙乙k三 0 是正弦函数、余弦函数的周期，预习导引区预习导引区-2 -其中 2n是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.-3 -(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系1sin(a

3、+2kn)=sin_a(kZ);2COS(a +2kn)=COS_a(kZ).问题思考2n1. 等式 sin(30 + 120 ) = sin 30是否成立？如果这个式子成立，那么能否说明 是正3弦函数y= sinx的周期？1 2n提示：根据三角函数的定义 sin 150 = sin 30 =成立，但不能说一 3-是y= sinx的周期， 在周期函数定义中，对每一个x都有f(x+T) =f(x)，则T是周期，而等式 sin(x+ 120。)= sinx,不是对任意的x成立.如x= 0时 sin 120。工 sin 0 .2.公式 sin(2kn+x) = sinx,k Z; cos(2kn+x

4、) = cosx,k Z,揭示了什么规律，有 什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角a的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次.(2)利用此公式， 可以把求任意角的三角函数值，转化为求0 到 2n(或 0到 360 )角的三角函数值.知识突破! I重点知识步步掘究龜根基利用定义求任意角的正弦、余弦值-【重点釦识讲透练金】|讲一讲1 .已知角a的终边在射线y= 2x(x 0)上，求角a的正弦值和余弦值.能力提升I拔髙扭识深化提能知识点1尝试解答法一：设角a的终边与单位圆的交点为P(x,y),则y= 2x(x0).又因为22 x+y= 1,-4 -x =

5、，所以于是 sin|y =症5，2 , 5. 5a =y=,cosa =x=.55法二：在角a的终边上任取一点P(x,y)(x0)，则01 , x2+y2=.x2+ 4x2=5|x| ,又因为x 0,所以OP= .5x.-5 -类題-通法求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法：(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义.利用正、余弦函数定义的推广：若P(x,y)是角a终边上的任意一点，则 sina=72,yjx+yxa=x练一练1.多维思考本讲中，把射线y= 2x(x0) ”改为直线y= 2x，求 sina, cosa. 解：设直线y= 2x与单位圆的交点为F(x,y)则*;2：, ，解得谱 芈)或

6、(-零- 255).当x0 时，R-55 25)，贝 U sina= cosa=卡；当x0,且 cosa0,试确定a所在的象限.尝试解答(1) 340是第四象限角，265是第三象限角, sin 340 0, cos 265 0.Tsin 2a0,2kn2a2kn + n(kZ),knakn + (kZ).当k为偶数时，设k=2nmm Z),所以 siny=丄=迹._x2+y2=5x=5；COSaXX25x2+y25x5COS则 sina知识点 2三角函数值符号的判断及应用 *I【重点知识*讲透练舍【I-6 -n有 2mna2mn+当k为奇数时，设k= (2m+ 1)( m Z).亠3n有 2m

7、n + na2mn +亍(Z).I a为第一或第三象限角.又由 COSa0；当角a的终边在y轴的右侧时，COSa0.2 .对于确定角a所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三 角函数的符号来确定角a所在象限，则它们的公共象限即为所求.3 .由kn0kn+ (kZ)确定0所在象限时应对k进行分类讨论.2 .已知 sinaCOSa0,试写出角a所适合的集合. 解：sinaCOSa0,sina0,或icosa0.- a是第二或第四象限的角.fn1 角a的集合为，akn+3a讲一讲3 .求下列三角函数值.(1)cos( 1 050 );log2(4sin 1 110 ).尝试解

8、答(1) 1 050 = 3X 360 + 30, 1 050 的角与 30的角终边相同.知识点 3利用三角函数的周期性化简求值I【拔高知识*拓宽堤堆】I(2)sin-7 - cos( 1 050) = cos 30-8 -31角-亍与角 4 的终边相同31 n. n _ V2sin: 4sinT=2 .1(3)Tsin 1 110 =sin (3X360+30)=sin 30 =-,log24sin 1 110=log2；X4 =log22=1.J美題-通诧利用公式 sin(x+ 2kn) = sinx, cos(x+ 2kn) = cosx,k Z,可以把任意角的正弦、余弦 函数值问题转化

9、为 02n间的角的正弦、余弦函数值问题一般步骤是：(1) 把角B写成3= 2kn+a(k Z)形式；(2) 求出角a的正弦或余弦；(3) 得到角 2kn+a(k Z)的正弦或余弦.练一练3 .求下列三角函数值.(1)sin( 1 020 ) ; (2)cos解：(1) 1 020 = 3X360 + 60 , 1 050 的角与 60的角的终边相同.已知角a的终边落在直线y= 3x上，求 2sina+ 3cosa的值.错解一取直线上一点(1 , 3),(2) -34n=-4X247t sin( 1 050 ) = sin 6035n6-35nn3 cos=cos=.6 6 2审趣要严*做題要细

10、一招不镇満旌皆输*试试能否走曲迷宫!2 6 角的终边相同;角的终边和-9 -贝Vsina= 3, cosa= 1 , 2sina +3cosa =2X(3)+3X1= 3.-10 -错解二取直线 y 3x与单位圆的交点 需10百,错因 错解一，犯了两个错误，一是对正、余弦函数的定义理解有误定义中的(x,y)须是a终边与单位圆的交点坐标，不是任意点。二是a的终边在直线y= 3X上包括两种情况，在射线y= 3x(x0)上或在射线y= 3x(x 0)时的情形，没考虑y= 3x(xw0)时的情况.正解设a终边与单位圆交点为(X,y)；顾 f顾V=3x,x=10，,x=10，则*2 2解得/或 t厂x+

11、y=1，|y=迥|y=更10，10，达标练*I学业水乎小测“辻学生證热打铁消fl；所学 既练速度又绑准度能力练谦下铉力提升.提速 提威，每课一捡测,步 步为彗审步旣勺学业水平达标1.已知P(1 , 5)是终边a上一点，则 sina等于(5殛V26A.1B 5C .百 D. 26解析：选 CTx= 1,y= 5, r = . 26,25 n / r -t2. cos 6 的值为()2sina +3cosa3;1010或 2sina +3cos3;1010 2sina +3cosa3 .-1010sina=y=r5 ,26263 10a=,COS10 训练提能区训练提能区552，-11 -1A.

12、2 B 4.已知函数y=f(x)是周期函数，周期T= 6,f(2) = 1，则f(14) =_解析：f(i4) =f(2X6+ 2) =f(2) = 1.答案：15. sin 390 =_ .解析： 390 = 360 + 30,1/ sin 390 sin 30 2-1答案：2、课下能力提升(三)一、选择题1.如果一 315角的终边过点(2 ,a)，则a等于()25 n(nn3解析：选D cos 6cos |4n +一6厂cos 6b一 2 3. 已知0是第三象限角，贝U()A. sin00,cos00 B.sin00,cos00C. sin00 D.sin00,cos00 时，sin当a0

13、,二 sin号Awo,易知 2 为第四象限角.二、填空题5. sin ( 330 ) =_ .1 解析：sin( 330 ) = sin( 360+30 ) = sin 30 =-.1答案：26 .如果 cosx= |cosx|，那么角x的取值范围是 _解析：cosx= |cosx|，二 cosx 0,解析：选 Bn=解析：选 D sin-6一x2+ 6 尸JI，解得x=士 2.解析：选 D/ A是第三象限角,9ncos=cos4cos-14 - n+2kn wxn+2kn ,kZ.2 2-15 -答案：x|2kn WxW2kn+运,k Z7 .若点P(2m 3n)(m0)在角a的终边上，则,

14、COSa解析:13m)KN2nv0I如右图，点P(2m 3m)(m0)在第二象限，且r= /T3m故有 sina3 1313 .=f(x) ,f(x)是周期函数，且f(x)6 是它的一个周期.10.已知 cosa0, sina0.(1)求角a的集合；判断 sin y, cosa的符号.解：由 cosa0, sina0 可知，a的终边落在第三象限.、3n 角a的集合为a|2kn+na2kn+,k Z.sina3m 3mr13m-16 -1f()，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.12m2m-2胚cosa =.13m=13 .答案:2品13138. sin 420 cos 750+sin(690)cos(660 ).解析:原式 sin( 360 +60)cos(720 +30)+sin(720