(完整word版)高一数学：函数知识点总结,推荐文档

1、1函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射(1 )映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射，记作 f: ATB。注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例 1、下列各对函数中，相同的是()二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1) 分式的分母不为零；

2、(2) 偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3) 对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;例.(05 江苏卷)函数y Jlogo.5(4x23x)的定义域为 _2 求函数定义域的两个难点问题例 3:(1)已知 f (x)的定义域是-2,5, 求 f(2x+3)的定义域。(2)已知 f(2x1)的定义域是-1,3,求 f( x)的定义域A、f (x)lg x2,g(x)2lg xB、C、f(u)1 u1 v&D、1 v1 u,g(v)x 1f(x) lg ,g(x) lg(x 1) lg(x 1)x 12f (x) =x,f (x).

3、x例 2、M x 10 x2, Ny|0 y的有( )A、0 个B、1 个 C 、2 个i5i32一刁221zL 二V1O12 xO12 xO3给出下列四个图形，其中能表示从集合D 、3 个M 到集合 N 的函数关系2例4:设f（x）9=，则咛的定义域为变式练习：f (2 x)4 x2，求f (. x)的定义域。三、函数的值域i 求函数值域的方法1直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f（x）的取值范围，适合于简单的复合函数；2换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；3判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R 的分

4、式;4分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）;5单调性法：利用函数的单调性求值域；6图象法：二次函数必画草图求其值域；7利用对号函数8几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数例:1.（直接法）yx22x 32.f (x)2. 24 2x x23.(换元法)y x ,2x 14.(法)3xx245.yx21x216.（分离常数法）y3x 1(2x 1(4)37.(单调性)y x (x 1,3)2x429.(图象法)y 3 2x x ( 1 x 2)10.(对号函数)y 2x - (x 4)x11.(几何意义)y x 2 x 1四. 函数的奇偶性证明：f (

5、x)在(1, 1)上为奇函数;4 若奇函数f (x)(x R)满足f (2)1,f (x 2)8.yx 1.x 1，y x 1,x 1(结合分子/分母有理化的数学方法)1 .定义：设 y=f(x) , x A，如果对于任意x A，都有f ( x)f (x)，则称 y=f(x)为偶函数。如果对于任意x A，都有f ( x)f(x)，则称 y=f(x)为奇函数。2.性质：1y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,2若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称奇埼=奇 偶禺=偶 奇苗=偶3.奇偶性的判断偶河禺=偶 奇河禺=奇两

6、函数的定义域 D1, D2, D1QD2要关于原点对称看 f(x)与 f(-x)的关系)上的偶函数.当x (, 0)时，f(x) x x4，则当x (0,)时,2 已知定义域为R的函数f (x)是奇函数。(i)求a,b的值；(n)若对任意的t R，不等式f (t22t)f(2t2k) 0恒成立，求k的取值范围;3 已知f(x)在(1, 1)上有定义，且满足x,y ( 1,1)有 f (x)f(y)f(xy),f(x) f(2)，则f(5)_5五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2 设y f g x是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则y f g x在 M 上是减函数

7、；若 f(x) 与 g(x)的单调性相同，贝U y f g x在 M 上是增函数。例：1 判断函数f(x) x3(x R)的单调性。2 函数f (x)对任意的m,n R，都有f (m n) f(m) f(n) 1，并且当x 0时，f(x) 1,求证：f (x)在R上是增函数； 若f (3)4，解不等式f(a2a 5)23 函数y log。x 2x2)的单调增区间是 _(叩)(B)(0,1)( C)7,3( D中)六函数的周期性:说明：nT 也是f(x)的周期。(推广)若f(x a) f (x b)，贝U f (x)是周期函数，b a是它的一个周期对照记忆：f (x a) f (x a)说明:f

8、 (a x) f (a x)说明:4(高考真题)已知f(x)(亦1)x 4a，x 1是(logaX,x 1)上的减函数，那么a的取值范围是 ()1.(定义)若f (x T) f (x)(T0)f (x)是周期函数，T 是它的一个周期。62.若f (x a)f(x)；f (x a)1f(x)f(xa)1f(x)；则f(x)周期是 2a7例：1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为()(A) 1(B) 0(C)1(D)22 定义在 R 上的偶函数 f(x),满足f(2 x) f(2 x),在区间-2,0 :上单调递减，设a f( 1.5), b f

9、G/2), c f (5)，贝 Ua, b,C的大小顺序为 _3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x 2)1,若 f (1)23,则 f (2005)=_ .1f (x)4 已知f (x)是(-,)上的奇函数，f (2 x) f (x)，当 0 x1 时，f(x)=x，贝 U f(7.5)=_5 设f (x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足f(2 x) f (x)，当x 0,2时f(x) 2x x2求证：f (x)是周期函数；当x 2,4时，求f (x)的解析式；计算：2-I-Jr +-七、反函数1、只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值

10、域和定义域；2、 求反函数的步骤(1 )解 换 写定义域。3、关于反函数的性质(1) y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；(2) y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；(3) 已知 y=f(x)，求 f-1(a),可利用 f(x)=a，从中求出 x,即是 f-1(a);(4) f-1f(x)=x;(5)若点(a,b)在 y=f(x)的图象上，贝 V (b,a)在 y=f-1(x)的图象上；(6) y=f(x)的图象与其反函数 y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x 上；111例：设函数y f (x)的反函数为y f x)，且y f(2x 1)的图像过

11、点(一，1),则y f x)的图像必过211(A)(,1)( B)(1-)(C)(1,0)(D)(0,1)22_、十2c元二次方程ax bx c 0(a0)的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 工 0)y 0的x的取值。元二次不等式ax2bx c 0(0)的解集(a0)八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图象是一条抛物线，对称轴2二次函数与一元二次方程关系b，顶点坐标(2a(b 4ac b2a 4a2-)8(5) 0 的正分数指数幕等于0,0 的负分数指数幕没有意义2.有理数指数幕的性质r s1 a aar sa 0,r,s Q

12、2rsrsaa a0,r, s Qr3 abr ra ba 0,b 0,r Q3根式根式的性质：当n是奇数攵， 则a；当f n 是偶数， 则nanaaa 0aa 04.对数(1)对数的概念：如果aN(a0, a1)，那么 b 叫做以 a 为底N 的对数，记bloga,N(a 0,a1)例:二次函数情况Y=ax2+bx+c (a0) =b2-4acV 0 =0 02ax +bx+c0)(a0) 1,在(-O，+O)上为增函数0va1 ?y1,在(0,+O)上为增函数0va0?y0 , a 工 1)互为反函数名称指数函数对数函数-般形式定义域值域 过定点Y=ax(a0 且 1)(-m，+OO)(0

13、,+O)图象y=logax (a0 ,a丰1)(0,+O)(-O,+(0,1)(1,0)指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a0 , a 工 1)图象关于 y=x 对称(2)对数的性质：零与负数没有对数loga1 0logaa 1例:对数的降幕公式:logamNn-logaN(N 0,a0 且 a 1)m(1)(4)(4ab1)3r(0.1)2(a3b3)2lg 8 lg 125 lg 2 lg 5lgVi0 lg0.1单调性值分布104、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数_ 讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。例：11、(1)y.ig xlg(5 3x)的定义域为;(

14、2)y 2门的值域为;(3)yig( x2x)的递增区间为，值域为2、( 1)log211X0,则x243、要使函数y 1 2x4xa在x,1上y 0恒成立。求a的取值范围。114.若 a“+ ax_w0 (a 0 且 a丰1),求 y=2a2x 3 ax+4 的值域.22卜一函数的图象变换(1)1、平移变换：(左+ 右-,上+下-)即yf (x)h0 ,右移；h 0 ,左移yf(xh)yf (x)k0 ,下移；k 0 ,上移yf(x)k 对称变换：(对称谁,谁不变，对称原点都要变)yf (x)x轴yf(x)yf ( x )y轴yf (x)yf ( x )原点yf ( x)yf ( x )y xyf1(x)yf ( x )y轴右边不变，左边为右边部分的对称图yf (x|)yf ( x )保留x轴上方图，将x轴下方图上翻yf (x)例：1. f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的反函数的图象过点()A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2 作