2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定解析

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛1承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： _A_我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）：_J0903_所属学校（请填写完整的全名）：_ 西北工业大学_参赛队员（打印并签名）：1._葛振振_2. _张浩_3. _王超_指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 吕全义_日期：2010年_9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛2编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分OOnOOOOOOO备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，许多储

3、油罐在使用一段时间后罐 体的位置会发生变位。本文主要分析和讨论了储油罐变位对罐容表的影响。解决本题的关键是求出在不同变位参数下储油罐的储油量与油位高度的对应关 系，难点是积分问题。对于问题一，本文利用多重积分【与三角变换分别求出了小椭圆 型储油罐无变位和发生纵向变位时罐容表的标定函数，其中无变位时的相对误差均为3%左右，发生纵向变位时的相对误差小于5.2%。然后通过与实验数据比较求出了修正函数， 修正后两种情况下的相对误差均减小到0.02%以下。接着对比修正后的无变位和有变位 时的标定函数，来研究储油罐变位对罐容表的影响，发现油位咼度近似为储油罐咼度的 一半时两种情况下的储油量差别最大。然后本

4、文给出了小椭圆型储油罐变位后油位高度 间隔为1 cm的罐容表标定值。对于问题二，本文仍然利用多重积分的方法求解实际储油罐无变位和有变位时罐 容表的标定函数。在利用此标定函数求解两个变位参数时，建立以相对误差最小为目标 函数的优化模型。模型求解的过程中，利用数值积分【2】和计算机模拟搜索的方法（其中 :-和的搜索范围均为00,100，步长均为0.10）找出了最优的变位参数：纵向倾斜角度2.10，横向偏转角度=4.6，此时与实验数据的相对误差均达到了0.22%以下。本 文还对问题二的模型进行了精度检验，相对误差也均在0.22%以下。最后本文给出了实际储油罐变位后油位高度间隔为1 cm的罐容表标定值

5、。本文建立的模型简单易懂，所用算法也比较清晰，得出的结果对储油罐的变位识别 与罐容表标定有一定的指导意义。关键词：标定函数，多重积分，数值积分，计算机模拟，最小二乘法2、 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预 先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油 位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容

6、表进行重新标定。 题目中分别给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图（其主体为圆柱体， 两端为球冠体） ，罐体纵向倾斜变位和横向偏转的示意图，以及小 椭圆型型储油罐示意图（两端平头的椭圆柱体）。请用数学建模方法研究解决以下储油罐的变位识别与罐容表标定的冋题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用题中给的小椭圆型型储油罐，分 别对罐体无变位和倾斜角为：=4.10的纵向变位两种情况做了实验，题目的附件1给出了 实验数据。知条件建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响， 并给出罐体变位后油 位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于题中给的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐

7、内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度1）之间的一般关系。 再利用罐体变位后在进出油过程中的实际检测数据（题中附件2给出），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、基本假设1、假设在短时间范围内，储油罐的变位参数 ，：基本保持不变。2、 假设地基变形等原因只使罐体发生小角度变位（变位参数 ：1均小于100）3、假设储油罐内的油的重量大小不影响变位参数。4、假设忽略其他因素对油高的影响，如储油罐内的气压、温度等。三、符号说明a小椭圆型储油罐截面椭圆的

8、长半轴长b小椭圆型储油罐截面椭圆的短半轴长Viping小椭圆型储油罐无变位时的储油量Vbian小椭圆型储油罐发生变位时的储油量Vzong实际储油罐无变位时的储油量V zong实际储油罐发生变位时的储油量注：其它符号在文中均有说明，这里便不一一列写3四、问题分析本题的核心就是求解不同情况下储油罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜 角度:和横向偏转角度1）之间的对应关系，而求解的重点和难点是不规则体积的多重 积分的计算。用一定的方法求解出这些对应关系后，在对数据进行分析，储油罐变位识 别和罐容表标定冋题就能得到解决。问题一中首先对几何形状相对简单的小椭圆型形储油罐进行实验，来研究罐体变位后对罐

9、容表的影响。由于本问题中储油罐几何图形简单，而且只考虑了纵向倾斜角:，利用在自定义坐标下的多重积分， 就可以分别求出储油罐无变位以及发生纵向倾斜:角 度时储油量与油位高度的对应关系。根据这两个关系，对比储油罐无变位和发生倾斜变 位时在同一油位高度时的储油量，就可研究出储油罐变位后对罐容表的影响，也就可以 对罐容表进行重新标定了。问题二对实际储油罐进行研究，其几何形状更为复杂，而且同时了考虑纵向倾斜和横向 偏转两个方向的变位。首先利用多重积分，求解出实际储油罐无变位以及发生纵向和横 向变位时储油量与油位高度的对应关系，再用数值积分和计算机模拟搜索的方法求出变 位参数并进行检验，最后利用求出的变位

10、参数，对罐容表进行分析，重新标定罐容表。五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型的建立与求解（1）无变位时罐容表的标定a、罐容表标定函数的求解小椭圆型储油罐无变位时，罐内的油面与罐体平行，如下图所示。为了方便计算此时的储油量，建立如上图所示的空间直角坐标系，在此坐标系下小 椭圆型油罐左侧面椭圆的方程为：2 2三.（y ）a b式中a为椭圆长半轴长，b 为短半轴长。求储油量时，先对油体的截面上的z，y 进行二重积分得到截面残缺椭圆的面积, 再沿着x轴方向对x积分便得到无变位时小椭圆储油罐的储油量：.45 h zVping.0ydzdydx图（1）小椭圆型储油罐正面示意图图（2）小椭圆型油罐

11、左侧面示意图4带入各个参数求解罐内油体的体积:h _b2.45arcs inb_2h-bh-b=1.225ab（2arcsinsi n（2arcsin）亠，）（1）bb把本题中的 a=0.89,b=0.6 以及 h 值带入上式，就可以得到储油罐内储油量与与油 位高度的关系，此时理论计算值与实验值的相对误差均在3%左右。b、标定函数的修正由于在理论计算中未考虑油罐的厚度，以及油位探针，进油口，出油口等其他东西 所占的体积，所以理论计算值与实际的实验值必然存在偏差，而且此偏差与油位高度密 切相关，下面就找出在储油罐无变位时的修正函数。设储油罐内实际的油量为Vshi（初始量与累加进油量之和），理论油

12、量与实际油量 之差为Vcha“哋-Vshi，标定的修正函数为 f （h）。由于我们只关心在一定油位高度时储油罐内油量的体积大小，与进出的油量无关，所以在这里只利用无变位进油时的实验数据求解标定的修正函数。根据无变位进油时的实验数据得到Vcha与 h 对应关系，如图（3）2.45 h zdydx利用三角变换，令 y=b（sinr）二次迁），带入上式化简得:Vping= 2ab0-4.9ab(- -si n2r)24h_b arcsinb兀 巧Vping = .0.0*dzdydx2.45(y-b)25图（3）无变位进油时的实验数据得到Vcha与 h 对应关系根据上图的规律，设修正函数 f（h）为

13、关于 h 三次函数，利用最小二乘法对曲线进行6拟合得：f(h) = -8.387 10- h30.0001503 h20.05842 h-1.744拟合的相关指数为1标准误差为0.1779，可见拟合效果非常好 这样我们就得到了修正后罐容表的标定函数：8.387 10” h30.00015030.05842 h1.744修正后标定函数的理论值与实验数据的相对误差均不足0.02%,达到了很高的精度（2）有变位时罐容表的标定a、罐容表标定函数的求解小椭圆型储油罐纵向变位后，油面不再与罐体平行，为了解决问题方便，此时仍然 在罐体上建立坐标系，如图（3）和图（4）。Vphg=19.6ab(2arcsin

14、sin( 2arcsin图（3）有变位时储油罐正面示意图 由于储油罐只发生小角度变位，所以在 能有三种情况种情况，把坐标系转摆正后如图图（4）有变位时储油罐左侧面示意图:0，h 取不同的值（0 乞 h 乞 1.2）时只可 （） -（）。图（5）油量很少时的示意图图（6）油量适中时的示意图7图(7)油量很大时的示意图首先研究最普遍的情况，即储油罐内的油量适中时储油量与油位高度的关系。求解 储油量时与未变位时的情况类似，依然利用多重积分而且积分过程相同，只是在求残缺 的椭圆的面积时在 y轴方向上的积分上限是个与x有关的变量 y。变位时罐容表的标定 函数的具体的求解过程如下：油面与 x y 平面相交

15、的直线方程为 y =kx h 0.4 ( k = tan :)。直线与x轴的交 点为严严4tan-h, o),易知在油量适中的情况下0.4tan：大于油罐的长度2.45tanatanam。先对z再对 y 积分，得到不同的残缺椭圆的面积，再沿x轴方向上对x积分便得到有变位时小椭圆型储油罐的储油量：2.45y z00jdzdydx带入各个参数求解有变位时罐内油体的体积：2.45y z仏新壬00. jdzdydx2.45y=2abdydxJ0J0JJIJT令 y = b(1 si n r )，当 y = b(1 si n )=kx h -0.4k 时，对等式两边取微分得 dx=bcosrdY，带入上

16、式化简得：k2.4502小 eVbian=2abf兀cos日dBdx02q1二=ab (Fsin2) dxp22q1二bcos1二ab(亍sinR)bcop22k寸sincos丁sin寸-cos寸)k2382.05k h T、/h 0.4k b、式中p =arcsin()，q 二 arccos()，且k =-tan -。bb把 a =0.89, b =0.6 以及 h 和的值带入上式，就可以得到此时油罐内储油量与与油9位高度的关系，此时理论计算值与实验值的相对误差均在小于5.2%。当油量很少时， 油面直线会与x轴交点x坐标一一.4伽伽： 小于2.45。 求油体的体 tana积时把x的积分上限2

17、.45变为-.4tan：，便得到此时罐容表的标定函数：tanaJI(v sinCOS T sin v2q =arccos(0:4k)，且 k = tan 二。b当油量很多时，运用补偿法如图（8）图（8）储油补偿示意图此时储油量为整个油罐的体积减去空气的体积，即Vbia=V-Vkong。经计算得，图中 h与 h 的关系为 h=1.2-1.05k-h。此时罐容表的标定函数：式中 p，q =arccos(h_0.4k_b)，且 h= 1.2-1.05k - h，2b当:：0 时，带入0 时在 x=1.65 处的 y 值，就可以得到不同情况下储油量与油位 高度的对应关系，不再赘述b、标定函数的修正根据

18、无变位进油时的实验数据得到Xha与 h 对应关系，如图（9）ab2Vbian-Vkong2- 1*严心5近曲二cosFP2.45二ab10图（9）Vcha与 h 对应关系11根据上图的规律，设修正函数f（h）为关于 h 三次函数，利用最小二乘法对曲线进行拟合得:f（h） =2.88910Jh-0.001028 h21.024 h -222.4拟合的相关指数为1,标准误差为0.1779，拟合的效果也非常好这样我们就得到了修正后罐容表的标定函数：2.889 10” h-0.001028 h21.024h-222.42.05k h -1h -0.4k -b 口 丄式中 p =arcsin（），q =

19、arccos（），且k =-tan 二。bb修正后标定函数的理论值与实验数据的相对误差均不足0.02%,达到了很高的精度。5.1.2变位对罐容表的影响上面分别求出了未变位以及发生纵向变位时的储油罐的罐容表标定函数，为了分析变位对罐容表的影响，我们同时画出两种不同情况下储油量与油位高度的函数关系图， 如图（10）：图（10）未发生变位和发生变位储油量与油位高度的关系图通过对比发现储油罐的小角度变位对罐容表产生了影响，在油位高度为储油罐高度 的一半时误差最大，这是因为在此位置油面的宽度最大，油高 h 很小的偏差就能对显示 储油量产生较大的影响。5.1.3重新标定罐容表有了上面的分析，就可以得到变位

20、后的罐容表的标定值（油位高度间隔为1cm，如表（1）。表（1）小椭圆型储油罐变位后罐容表标定值（其余见附录表一）油位高度/mm罐内的油量/L400924.45410960.41420996.844301033.744010714501108.84601146.94701185.4abiLWh二cosFp=2124801224.34901263.65.2问题二5.2.1无变位时罐容表的标定实验数据中给了一定高度下的显示油量容积，即在此油位高度下，储油罐没有发生 变位时的储油量。为了研究非油因素的影响，我们先研究在储油罐未发生变位时的情形。（1）标定函数的求解储油罐未发生变位时，油面与罐体相平行，

21、如图（11）所示。以左边的球冠的球心 为原点建立空间直角坐标系，简单计算可得左边球罐体所在的球面的方程为x2y2z2=2.64图（11）未发生变位时实际储油罐的示意 求此时储油罐内储油量时分两步计算，先求球冠部分的储油量： 运用多重积分先对z积分，再对x积分，得到弓形横截面的面积, 分便得到左边球罐体内的储油量：h 4.5 -0.625zVguan一64#JZdxdy(2.64 - y2)arccosr.625- 0.625 2.25 - y2dy2.64 - y再求中间圆柱体部分的储油量:求该部分储油量的积分方式与问题一中平放时的情况相同，用同样的方式得中间圆柱部分的储油量：h1.5 丄h1

22、.5 丄Vzhu=18arcsin9si n( 2arcsin) 9 二1.51.5于是得到储油罐平放时罐容表标定函数：Vzong2VgUanVzhu(2.64-y2)arccos ,0.6250.625$2.25 y22.64-y2h 1.5丄h 1.5丄18arcsin9si n( 2arcsin ) 9:1.51.5再沿 y 轴方向积h 4.5h 4513(2)标定函数的修正考虑到实际情况各种因素的影响，需要根据附件2的实验数据对罐容表的标定函数 进行修正。把附件2中的油位高度 h 带入到式(6)中，把该结果与实验数据中的显示 油量值比较，便得到误差Vchazong-Vshi。与实际数据

23、对比发现误差VCha均小于0.8L， 这可能是实际油罐中的气压温度等各种复杂情况抵消了油罐厚度，进出油罐等的影响。 通过此数据可以认为在本问题中储油罐发生变位时也无需再对罐容量的标定函数进行 修正。522有变位时罐容表的标定(1)罐容表标定函数的求解实际储油罐发生变位后，多了纵向变位参数：和横向变位参数对罐容表标定函数 的影响。在求解此时油罐的罐容表标定函数时， 先考虑：的影响，实际油位高度 H 与显 示的油位高度 h 关系为H二Rzhu* (h-Rzhu)cos 1，在下面的计算中只利用 H 即可。具体 的求解过程如下：左端球罐体储油量的求解：以左边球冠的球心为原点建立空间直角坐标系，首先求

24、解油面与x 一 y 平面的交线y=kx+t 与直线 y=1.5 的交点(x；hang1.5)，以及 y = kx+t 与圆x2+ y2=2.64的交点(Xi,yj。分一下情况进行讨论：如果y,cO，左端球冠的储油量：-0.62521-Vzuo二 (2.64 x2)(一 sin2:-)dxx2 2式中甲=arcsinkx+t。丁 2.64 -x2如果y10，左端球冠的储油量:V V V zuo gua n zuoo3 25- x,-0.625o1兀二黛(1.625 xj2( -)(2.64 x2)( 一sin2 一)dx3x122kx t 式中 =arcs in =J2.64-x2右端球罐体储油

25、量的求解：以右边球冠所在球的球心为原点建立空间坐标系x22从1小兀Vyou二.0.625(2.64 -x )C：,sin2 ：)dxk(x 6.75) t式中二arcsi n (2.64-x2如果y20，右端球冠的储油量：Xi此时油面直线与 X-y 平面交线的方程为：y = k( x 6.75) t，该直线与圆罐内储油量的方发类似： 如果y2：0，右端球冠的储油量：x2x2y 2.64的交点为 区2)。与求解左边球1423 25 + x_0.62521-TT(1.625-X2)2(-)(2.64 -x2)( sin2一)dx3x22中间圆柱中储油量的求解：此时与问题一中有变位时的情形完全类似，

26、用同样的方式得到中间圆柱的储油量：3.375 r c C 兀 c13=qVzhu=(日sin B ” + COST ”sinB ”一一 cos 日)P，uk23P,7.375k+t、q = arccos()。Rzhu所以实际储油罐变位时的罐容表标定函数:Vzon*VzuoVyoV(2)变位参数:的求解由于实际储油罐变位时储油量用解析的方法无法求得，为了求出变位参数，我们利 用附录2中前302组实验，采用数据数值积分和计算机MATLAB件模拟搜索的方法找 出了符合一定精度的变位参数。下面是本问题关于数值积分选取合理步长的算法：步骤1:任意选取 d0作为初始步长进行积分得到相应的积分值f0。d0步

27、骤2:选取步长 d1=再次进行积分得到相应积分值f1。2步骤3:检验f0与f1的相对误差，如果相对误差较小即再减小步长对精度的提高 作用不明显则转到步骤4;否则，令 d1=-并且f0=f1,然后转到步骤2。2步骤4:输出积分值f1。在模拟搜索两个定位参数时，取:和1的搜索范围均为O0,1O0，步长均为0.10， 再让计算机设置一定的相对误差值。本题搜索的优化模型如下：|V -Vmin:g=max ，i = 2,3.3O2s.tW，=V；_1-Wi,i =2,3.3O2Vi =V；ong(h),i=1,2.302式中 g 为目标函数，V，为第 i 次出油后的实际剩余油量，V为通过模型得到的第 i

28、 次 出油后的剩余油量，w为第 i 次的出油量根据上述模型，利用MATLA软件求出满足一定精度的两个变位参数，其中=2.1，-=4.60，最大的相对误差不到0.22%。(3) 模型正确性和可靠性的检验将上面得到的两个变位参数带入到实际储油罐发生变位时的罐容表标定函数中。利用附录2中后面的301组数据进行检验，最大的相对误差仍不会超过0.22%,可见本问 题建立的模型精度是很咼的。(4) 重新标定后罐容表表（2）实际储油罐变位后重新标定罐容表（其余见附录表二）式中 p = arcsin(-0.625k tRzhu(7)Vyou15油位高度/mm储油量/L100380.00242001116.94

29、43002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29六、模型的优缺点优点：（1） 问题一及问题二都有较为准确的表达式。（2） 问题一模型的精度高而且有准确的解析式。 缺点：（1） 问题一中未精确考虑度角度变化对罐容表的影响。（2） 问题二模型的求解因为需要穷举法而花费较长的运行时间。（3） 问题二的模型精度容易受数值积分的影响而产生微小的的波动。七、模型的推广本文题的研究方法可以运用到实际生活求解不规则容器的体积中去，同时对其他 容器的罐容表标定问题有一定的指导意义。参考文献：1王绵森 马知恩，工科数学分析基础，北京：高等教育出版社，2006年。2孙亮，MATLAB语言与控制系统仿真，北京：北京工业大学出版社，2001年3聂玉峰 王振海，计算方法，西安：西北工业大学出版社，2009年。16附录表一小椭圆型储油罐变位后的罐容表标定值油位高度/mm储油量/L100380.00242001116.9443002294.7924003785.9655005523.3036007466.4697009585.09380011854.1190014251.73100016758.29110019355.641200