由牛顿莱尼兹公式知ppt课件

1、由牛顿莱布尼兹公式知: 计算定积分( )baf x dx 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改变积分限. 下面举例说明.6.4 6.4 定积分的计算方法定积分的计算方法一一.凑微分法凑微分法第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分 .的关键在于求出(x)在a, b上的一个原函数F(x); 而由例例11 11 计算计算120(1)1xx dx1211222001 1(1)(1)2xx dxxdx解32211 2(1)02 3x350 (2)sinsinI

2、xxdx33222211(11 )(10 ) (2 21)333532sinsinsin(1 sin)xxxx解因32cossinxx3322220sinsinsinsinxdxxdx552222224sinsin0555xx2233220 cossincossinIxxdxxxdx故3232cossin0,)2cossin,2xxxxxx(1) 在,上单调连续且具有连续导数;(2) ()= a, ()= b, 那么( )( ( )( )baf x dxftt dt二二.换元积分法换元积分法定理定理8 8 若若(x)(x)在在a, ba, b上连续上连续, , 而而 x = x =(t) (t

3、) 又满足又满足证证 设设F(x)是是(x)的一个原函数的一个原函数, ( )( )F xf x即 ( )( )( )baf x dxF bF a故 ( ) ( )( )dFtFttdt而 ( )( )ftt ( ) ( )( )Ftftt是的一个原函数,且 ( )( )ftt dt( ) ( )( )baf x dxftt dt此式称为定积分的换元公式.(3) 求出 ( )( ) ( ) ( ) ftttFt的一个原函数 ( )Ft ( ) ( )( )( )FFF bF a 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:(1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;(2)

4、换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;求不定积分那样把 (t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可.后,不必象例例12 12 当当 a 0a 0时时, , 计算计算0(1) 1adxx2 (0),2,xtttxdxtdt解令则有且012(1)2ln(1)10aadtttt0,0,xtxa ta002 11aadxtdttx故2ln(1)aa22 sin ,cos ,cosxataxatdxatdt解 令有0,0;,2xtxa t且220 (2)aax dx222200coscoscosat atdtatdt220aax dx2201cos22tadt2

5、221(2sin2 )044atta注注1 1 由几何意义知由几何意义知, , 此定积分此定积分即为圆220 aax dx222xya在第象限的面积.性质性质1 1 设设(x)(x)在在 a, aa, a上连续上连续, , 那么那么02( ),( )( )0,( )aaaf x dxf xf x dxf x当为偶函数时当为奇函数时证证 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx因 (1)若为(x)偶函数, 则有(x)=( x) 令x = t, 那么 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt从而00( )( )( )aaaaf x dxf x

6、 dxf x dx00( )( )aaf t dtf x dx (2)若为(x)奇函数, 则有(x)=( x) 令x = t, 那么 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt00( )( )aaf t dtf x dx 从而00( )( )( )0aaaaf x dxf x dxf x dx 02( )af x dx注注2 2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算定积分的计算. .例例13 13 计算计算2742122221(arctan ) cos2(1) (2)(1)5xxxdxdxxx解 (1)

7、 被积函数为奇函数. 则原式= 0.112222102(1)(1)dxdxxx令x = tanu, 那么 2secdxudu0,0,1,4xuxu且(2) 被积函数为偶函数, 故12422410112sec(1)secdxuduxu2402cos udu224(1)secxu例例14.14.设设241,0( ) ,(2).1,101cosxxexf xf xdxxx 求解 设x = t +2, 那么 t = x2, d x = d t1,1,4,2xtxt 且401(1cos2 ) 22u d u411(2sin2 )(1)022 2uu4211(2)( )f xdxf t dt0210( )

8、( )f t dtf t dt4111tan222e2021011costdttedtt202210211()22cos2tdtedtt性质性质2 2 设设(x)(x)在在0, 10, 1上连续上连续, , 那么那么2200(1)(sin )(cos )fx dxfx dx ,22xttx dxdt 则证令有, ,xttx dxdt 令证则有022002(sin )(cos )(cos )fx dxft dtfx dx 0,022xtxt且0,0 xtxt且00(2)(sin )(sin )2xfx dxfx dx00(sin )() sin()xfx dxt ft dt 00(sin )(s

9、in )2xfx dxfx dx00(sin )(sin )fx dxxfx dx00(sin )(sin )ft dttft dt三三.分部积分法分部积分法定理定理9 9 若若u = u(x)u = u(x)及及v = v(x)v = v(x)在在a, ba, b上有连续导数上有连续导数, , 那么那么bbaabudvuvvdua证证 因因d(uv) = udv + vdu, d(uv) = udv + vdu, 两边积分得两边积分得().bbbbaaaabudvd uvvduuvvdua注注3 3bbaabudvuvvdua.bbaabuv dxuvu vdxa注注4 4 用分部积分法计算

10、定积分用分部积分法计算定积分, ,因没有引入新的变量因没有引入新的变量, ,故故在计算过程中自始至终均不变限在计算过程中自始至终均不变限,u ,u 、 v v的选择与不定积的选择与不定积分的分部积分法相同分的分部积分法相同. .例例15 15 计算计算10(1)arctanxxdx112001 arctanarctan2xxdxxdx解122011arctanarctan 02xxx dx1120011821dxdxx212012 41xdxx1111arctan082242x20 (2)sinxexdx2200sinsinxxexdxxde解220sincos0 xxexexdx220cosxexde2220cossin0 xxeexexdx2201sinxeexdx2201 sin(1)2xexdxe故例例