椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

1、椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结、直线与椭圆问题的常规解题方法:1 .设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my + n的区别）2 .设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求” ）3 .联立方程组；4 .消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5 .根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论k是否存在）:二 OA _OB ,二 ki k2 = 1= OA OB =0= X1X2 yi y2 =0“点在圆内、圆上、圆外问题”w “直角、锐角、钝角问题” u “向量的数量积大

2、于、等于、小于 0问题”二XiX2 + yiy2>0;“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系（ki +k2 =0或ki =k2）；“共线问题”I T（如：AQ=7QBu数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A, O , B三点共线y直线OA与OB斜率相等）；“点、线对称问题” U坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” U转化为坐标与玄长公式问题 （提醒：注意两个面积公式的合理选择 ）;6 .化简与计算；7 .细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.、基本解题思想:1 .“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2 .“是否

3、存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解;3 .证明定值问题的方法： （1）常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关;（2）也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明.Word资料4 .处理定点问题的方法: (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；(2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5 .求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值 卜三角代换法(转化为三角函数的最值 卜利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6 .转化思想：有些题思路易成，但难以实施.这就要优化方法，才能使计算具有可行

4、性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题.、常见基本题型:在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的.(1)直线恒过定点问题21 .已知点P(Xo,y0)是椭圆E： x_+y2=1上任意一点，直线l的方程为-2+y0y=1,直线1。过P点与直线1垂直，点M(-1,0)关于直线1。的对称点为N,直线PN恒过一定点 G,求点G的坐标.解：直线 1。的方程为 x0(yy。)=2y°(xx°),即 2y°x x°y x。y。

5、=0设M ( -1,0)关于直线lo的对称点N的坐标为N(m , n),! n 二一 x0则 m .1 一 2y0'2y0 my1 -x2n -%y0 =0,解得2x3 3x2 -4x0 -4m =2x0 -4-4,3,2c2x0 4x0 - 4刈 - 8刈n =22y0 4x0Word资料n - y0 x4 4x3 2x2 -8x0 -8所以直线PN 的斜率为 k = =-1?一，m x。2y° -x3 -3xo 4从而直线 PN 的方程为： y y0 =x-4： 32x0 28x08 (x-x0 )2y°(-x3 -3x：+4)'322y0-x0 - 3

6、x04x 32x0 4x) 2x0 一8x0 -8从而直线PN恒过定点G(1,0).2 .已知椭圆两焦点 Fi ,F2在y轴上，短轴长为2位，离心率为 乌,P是椭圆在第一象限弧上一点，且PA,PB分别交椭圆于 A,B两点.PFi P?2=1,过P作关于直线FiP对称的两条直线(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;22_解：(1)设椭圆方程为 。+=1,由题意可得a =2 , b = J2 ,c =2j2 , a b22所以椭圆的方程为号+多=1, 则 F1(0,J2)才2(0,-夜),设 P(xox >0,y0>0)则 PF1 =(% , V2 y0 ), PF2=(

7、-x0 , J3.已知动直线y=k(x+1)与椭圆C：乙+5 y0 ),所以 PF1 PF2 =x2 (2 -y2 )=1 ,22因为点P作，y0旅曲线上，则£+手=1,22所以 X0 =2,从而 一2 (2 y0 )=1 ,得 y0 =V2 ,则点P的坐标为(1, J2).(2)由(1)知PF1/X轴，直线PA , PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k >0),则PB的直线方程为：y72 = k(x1),y-72=k(x-1),由 « 22得(2+k2 K2+2k(亚一k)x + (>/2k)2 4 = 0,(XT"，设 B(xB' yB

8、),则 XB =212二2) -1 =k 亲-2同理可得Xak2 2 2k -22 k2yA -b = -k Xa -1k xb -1 = 2 8； 2 ,所以直线AB的斜率kAB衣为定值.XA -XBy =1相交于A , B两点，已知点 M(7,0), 533求证：MA MB为定值.解：将y所以所以XiX2 =6k23k2 -52,X1X2 =-23k 1 3k 1MA MB =Xi7 ,yiX27,y2=Xi7X27 VM3333772=X1-X23 kX11 X21=1 k2 X1&3 k2X1X2 詈 k2222 3k -5 -7 2 6k .492=1 k 3?F 3 k -

9、3?F q k 3k4 -16k2 -5 . 49 . k2 =4一 3k2 19-94.在平面直角坐标系22XOy中，已知椭圆 C：牛+y =1 .如图所不，斜率为 k(k>0)且不过原点的直线l 3交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x = -3于点D(4,m).22 一求m +k的取小值；(2)若OG2 =OD OE ,求证：直线l过定点.解：(1)由题意：设直线 l: y=kc+n(n¥0),y =kX +n ,由 <22 消 y 得：(1+3k2 *+6knX+3n2 3 = 0,y 42 22222 =36kn -4(1 +

10、3k )>3(n 1)=12(3k +1 n )>0 ,设 A, , y B(X2 , V2 ), AB 的中点 E(X0 ，V。卜则由韦达定理得：为"2=二吗，1 3k即 X0 = Tkn2 ，y0 =kX0n = _3kn2 k n = j ,1 3k1 3k1 3k所以中点E的坐标为-3kmn1 3k2 ' 1 3k222= k(x + 1)代入 x+卷=1 中得(1+3k2 ,2 +6k2x+3k2 5 = 0,34_2_2_2 =36k4 -4(3k2 + 1 02 5)=48k2 +20>0,因为O , E , D三点在同一直线上，所以 koE

11、=koD ,即 4 =-m ,解得 m =?,3k 3k所以m2 +k2 =4+k22 ,当且仅当k =1时取等号，即 m2 +k2的最小值为2. k(2)证明：由题意知：n>0,因为直线 OD的方程为y=mx,3V m Y,y =-3X -所以由423 得交点G的纵坐标为士 y2 =13 y又因为 ve =一 J , yD =m ,且 OG2 =OD OE ,所以13k2mm2 3二m1 3k又由(1)知：m=1，,所以解得k=n, k所以直线l的方程为y=kx+k,即y=k(x+1), 令x=-1得，y=0,与实数k无关.椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围

12、问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围.5.已知直线l与y轴交于点P(0, m),与椭圆C: 2x2+y2 =1交于相异两点 A,B,且AP=3PB,求m的取值范围.(2)当直线斜率存在时：设解：(1)当直线斜率不存在时：m=±2;l与椭圆C交点为A(x , 1 ), BQ ,V2、,J =kx +m，所以 222x y =1,得 k2 2 x2 2knx m2 -1 =0所以：=(2kn)2 -4 k2 2 m2

13、-1 =4 k2 -2m2 2 0 ()2X Y 2 -2km xx -m -1 x1 x2-kF*"-k2+2一 x1 =3x2 ,Kr-rw fx1 +x2 - -2x2， 所以x1x2 =3X2 ,所以2消去 X2得 3(Xi +X2 j +4x1X2 =0 ,22所以 3( w) +4 m2 -1 =o, k 2 k 2整理得 4k2m2 +2m2 -k2 -2 =0 ,2m2 =：时，上式不成立；m2 ¥工时，k2 =2-22m ,444m -12.所以k2 =2 -2m0 ,所以一1, m <或1 <m, 1,4m -1222把 k2 =22m 代入

14、(*)得1<m<1 或 <m<1 ,4m -1221 ,、1所以 A cm < -2 或 2 <m <1 ,综上m的取值范围为一1, m < 2或为<m, 1.(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围.一一-T 一6.已知点 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足 MN MP=6|PN|.求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点N的直线l交轨迹C于A,B两点，若-18JNA .NB -12,求直线l的斜率的取值范围. 75-1-1T解：(1)设动点 P(x,y),则 MP =(x4,y),MN =

15、(4,0),PN =(1x, y). 22由已知得 _3(x 4) =6«'(1 x)2 +(y)2 ,化简得 3x2 +4y2 =12 ,得一+±=1 . 4322所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为 左+匕=1 .43(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y=k(x-1),设A, B两点的坐标分别为 A(x , % ), B(x2,y2).fy =k(x -1),由 2v2消去 y 得(4k2 +3)x2 8k2x+4k2 12 = 0 ,|-1,43因为N在椭圆内，所以A>0.一 8k2“一3 4k22_4k -122 13 4k因

16、为 NA NB =x1-1x2-1 <y1y2= 1k2x1-1x2-1 = 1 k2 i|x1x2-Jx1“21Word资料2_222 4k -12 -8k 3 4k3 4k2_2R1 +k)3 4k2，2所以-3解得倒k23.(3)利用基本不等式求参数的取值范围227.已知点Q为椭圆E:、+与=1上的一动点, 182解：AP =(1,3),设 Q(x,y),AQ=(x-3,y-1),占八、A的坐标为(3,1),求AP AQ的取值范围.Word资料AP AQ =(x -3) 3(y -1)=x 3y 622因为人+匕=1 ,即 x2 +(3y)2 =18, 182而 x2 +(3y)2

17、-2 |x| j3y|,所以-181(6xy 18.而(x +3y)2 =x2 +(3y)2 +6xy =18 +6xy 的取值范围是0 , 36,x +3y的取值范围是-6,6, Ii所以AP AQ=x+3y6取值范围是-12,0.8.已知椭圆的一个顶点为A(0, -1),焦点在x轴上.若右焦点到直线 x-y + 2j2=0的距离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线y=kx+m(k#0)与椭圆相交于不同的两点M ,N .当AM = AN时，求m的取值范围.解：依题意可设椭圆方程为 +y2=1,则右焦点F(Va2 -1,0), aVa2 -1 +2阂2由题设4=3 ,解得a2 =3 ,故所求

18、椭圆的方程为 保+ y2 =1 .设 P(xp,yp ), M (xm ,yM ), N(xN,yN )，y = kx + m ,P 为弦 MN 的中点，由 “22得(3k2+1 *+6mkx+3(m21 )=0Jy ”因为直线与椭圆相交， 所以=(6mk)2 -4(3k2 +1 y3(m2 -1 )>0= m2 <3k2 +1 ,所以=十二一四'从而ypMkxp+m：/、'所以kAP =巨二=Xp2m 3k 13mk,又 AM =AN ,所以 AP_LMN ,2贝U _m 3k_1 = _1 即 2m =3k2 +1 , 3mk k把代人得m2 <2m ,解

19、0 cm <2 ,由得k2 =2m-=1 >0,解得m >1 . 32综上求得m的取值范围是1cm <2 .29.如图所示，已知圆 C： (x+1)2 +y2=8,定点A(1,0) , M为圆上一动点，点 P在AM上，点N在CM r-t- 山八、»、，,，、 _上，且满足 AM =2AP,NP AM =0 ,点N的轨迹为曲线 E.求曲线E的方程;(2)若过定点F(0 ,2)的直线交曲线 E于不同的两点G , H (点G在点F , H之间)，且满足7g =?7H，求九的取值范围.解：(1)因为 AM =2AP,NP AM =0.所以NP为AM的垂直平分线，所以

20、NA = NM ,又因为 CN +NM =2，2 ,所以 CN +AN =2圾 >2 .所以动点N的轨迹是以点C(1,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a =2应，焦距2c =1 .所以 a =应,c =1 , b2 =1 .2所以曲线E的方程为x+y2=1(2)当直线GH斜率存在时，2设直线GH方程为y =kx +2 .代入椭圆方程 ,+ y2 =1 ,得(2 +k2 * +4kx +3=0,由 A >0得 k2 >| ,4k3设 G(X , y ), H(X2 , y2 ),则 x1 +x? =-, x1 % =-1 k21 k222-t又因为 FG =KFH

21、 ,所以(X1 ,y1 -2、=，(x , y2 2),所以 X| =>以2 ,所以 X +X2 =(1 +A)X2 , X1X2 =1x2 ,所以(空至2=x2 =坐，1 A '，f Bk ( .17k2 所以二厂(1)232，整理得 一6一；九312k)2(1 '')因为k解：(1)由题意知e=c A3,所以4<I6<16,所以4 <九记十2 <16,解得c<3. 233332- - a 2k又因为0儿1,所以1 九1.3又当直线GH斜率不存在，方程为 x=0,FG=；FH,儿， 33所以1，九1,即所求£的取值范围是

22、32 210.已知椭圆C：与+匕=1(a b 0)的离心率为 W，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直 a b2线x -y +J2 =0相切.求椭圆C的方程;(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆 C相交于两点 A , B ,设P为椭圆上一点，且满足 OA +OB =tOP (O为坐标原点)，当|武-困|挛时，求实数t取值范围.322,2,所以 e2 =c2 = Jb a a即a2 =2b2,所以a2 =2, b2 =1 .2故椭圆C的方程为x +y2 =1.(2)由题意知直线AB的斜率存在.设 AB： y=k(x-2), A(xi , yi J, B(x2,y2 ), P(x,y),y

23、 =k(x -2),由22得(1 +2k2 )x2 8k2x +8k2 -2 =0 ,5+y =1, =64k4 -4(2k2 +1 (8k2 -2 )>0,k2 <2 , x +x = 8k2 x 乂 =8k2 -2x1 x22 5 x x221 2k1 2k一，T ，x1 x28k2因为 OA +OB =tOP ,所以(5 +x2 , y1 十y2尸t(x, y), x =七芝=-8， t t 1 2k2yiV2=1 7k 01 +X2 )4k=一=4,t -t 1 2k2 22因为点P在椭圆上，所以 邰)2 +2 L 2 =2,t2 1 2k2 t2 1 2k2因为|PAPB

24、卜二竺，所以1-k23X1 X2,所以3,22.1 k j 1X1X2: -4x1 X2<209，所以1 k2K164k4/ 8k2 -22 -422k21 2k2201<-9?所以(4k2 -1 *4k2 +13 >0 ,所以21k >4，因为 16k2 =t2(1 +2k2 ),所以 t2 =1 2k21 2k2所以或呼一,所以实数t取值范围为(_2,-2反)U(R6, 332)椭圆中的最值问题一、常见基本题型：(1)利用基本不等式求最值，11.已知椭圆两焦点 FF2在y轴上，短轴长为2应，离心率为 斗，P是椭圆在第一象限弧上一点，且T PF1 PF2 =1,P作关

25、于直线EP对称的两条直线 PA,PB分别交椭圆于 A,B两点，求iPAB面积的最大值.解：设椭圆方程为 J+5=1 ,由题意可得a=2 ,b =亚，c=22 , a b故椭圆方程为、 ； =1设AB的直线方程：y=42X+m.所以 16k2 =t2(1 +2k2 >y =72x +m ,由2 v2得 4x2 +272mx+m2 -4 =0 ,x yl丁+才=1，由 A=(2T2m)2 -16(m2 -4 )>0,得-2"<m<2",P到AB的距离为d =里,3则 s&ab =21AB 1d =2J(42m)3 13，8m25 +8,唐要%=隹

26、.当且仅当m = d2W（-272L,2&）取等号，所以三角形 PAB面积的最大值为 & .（2）利用函数求最值, 12.如图，DP_Lx轴，点 M在DP的延长线上，且 DM =2DP .当点P在圆x2 + y2 =1上运动时.求点M的轨迹C的方程;(2)过点T(0,t)作圆x2+ y2=1的切线l交曲线C于A,B两点，求 MOB面积S的最大值和相应的点坐标.解：（1）设点M的坐标为（x , y）,点P的坐标为（xo , yo）,则x = x0 , y = 2y° ,所以x° =x, y0 =£ ,因为 P(Xo , yo)在圆 x2 +y2 =1

27、 上，所以 X02 +y02 =1 将代入，得点 M的轨方程C的方程2+-1 （2）由题意知，|t1.当t =1时，切线l的方程为y =1 ,点A, B的坐标分别为（冬1 ）, （§,1）,此时AB =73;当t =1时，同理可得AB =73 ； 当|t»1时，设切线l的方程为y=kx+m,k WR,y =kx +t,由y2得(4 +k2 )x2 +2ktx +t2 -4 =0x 于1，设A, B两点的坐标分别为% ）,（X2,y2 ）,则由得:x x2 二一 2kt2 ,x1x2 =-=4 4 k4 k又由l与圆x2 +y2 =1相切，得=1 ,即t2 =k2 +1 .,

28、k2 1所以 |AB |= , X2.x i r.V2 -y1=, 1 k24k2t24t -4,2L(4+k )4 3|t|t2 3因为 |AB|=±2L_L1= 4V32,且当 t=±J3时,t 3|t| W1 1 |t|AB =2 ,所以AB的最大值为2,依题意，圆心 O到直线AB的距离为圆x2 +y2 =1的半径，所以 MOB面积S=3ABM1, 1 ,当且仅当t=±班时，MOB面积S的最大值为1,相应的T的坐标为（0,-石）或（0,73） .213.已知椭圆G: 24+y2=1.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.将AB表示为m

29、的函数，并求AB的最大值.解：由题意知，|m1.当m=1时，切线l的方程为x=1 ,点A,B的坐标分别为（1,亨）,（1, 此时AB=73；当m=_1时，同理可得AB二向；当1mAi时，设切线l的方程为y=k（x-m）.y =k(x -m),由 jx22 得(1+4k2 )x2 _8k2mx+4k2m2-4 = 0 .7+y =1,设A , B两点的坐标分别为（x , yi ）,（X2 , V2 ）,又由 l 与圆 x2 +y2 =1 相切，得 1kmi =1 ,即 m2k2 =k2 +1 . k2 1所以 AB = J(x2 x1 j +(y2 _y1 j = J(1 +k2 )(x2 +x

30、 f -4x1x2 1k24264k4m24(4k2m2 4)1 4j3|m|2 2(1 +4k )1 4k2由于当m=十时，AB =73 ,AB 二4 3 |m|4.3,2, 3|m|当且当m = W3时，AB =2 .所以AB的最大值为2.【练习题】21 .已知A, B , C是椭圆m:与 a2+*=1(a>bA0)上的三点，其中点A的坐标为(2j3,0), BC过椭圆m的中心，且 AC，BC=0,|BC|=2| AC|.求椭圆m的方程;(2)过点M (0 , t)的直线1(斜率存在时)与椭圆m交于两点P ,Q ,设D为椭圆|DP |DQ|,求实数t的取值范围.m与y轴负半轴的交点，

31、且2 .已知圆M : (xm)2+(y n)2 =r2及定点N(1,0),点P是圆M上的动点, r 1 _一_上，且满足 NP=2NQ,GQ NP=0.点Q在NP上，点G在MP若m=1 ,n =0,r =4 ,求点 G的轨迹C的方程;(2)若动圆M和(1)中所求轨迹C相交于不同两点 A , B ,是否存在一组正实数m , n, r ,使得直线 MN垂直平分线段AB,若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由.3 .已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为1 .(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不

32、是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.4 .如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在倍且经过点M (2,1),平行于 OM的直线交椭圆于A,B两个不同点.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)求证直线MA , MB与x轴始终围成一个等腰三角形.L.解椭图+-=1WordC)由条件,t)1*当2忖,显然强2,当上文时，设！：三匕目 ”2x =1,:上=g；-金=币、行的轨迸方程是曲直线MV的方程为：3*-!）,谀用.斯工赢总必中点，阴小.见3工修；门）7两=上而二点。内FN的中点.又| 丘盯 | + | <7* =闭口 * 丘F R HM |= *二照G的凯地是以鼠,丫为焦点的襁圈，（幻解:不存在这样一用正宗效.下面证明二由施意，若存在这格的一组正实茸.当亶然九三的弱率存在时，设之为上,又+工.】4rM ,附式械雷工-+4 = 43（专一电X、+电）I 5一¥±整1+岫）_043"注意到也二竺=，且2则出='©V、 * J+K$耳 k；.12又点D在自纣河上