正余弦定理的应用教学设计终极版

1、课题名称正余弦定理的应用学科数学授课班级K-1授课时数1设计者林巧红所属学校本节（课）教学内容分析（1）本节课是普通高中课程标准实验教科书必修 5第一章解三角形中的1.1正 弦定理和余弦定理的内容，该节包括正弦定理和余弦定理的发现、探索、证明和应用， 分5课时完成，本节课是第5课时，内容主要是正弦定理和余弦定理在解三角形中的简 单应用。（2） 正余弦定理的应用是中学数学教学中的重要组成部分 ，是高考的必考内容。 从知识的网络结构上看，它是三角公式及变换的延续和应用 ，也是正弦定理、余弦定理、 三角形面积公式等的运用和拓展。（3）正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理，其主要作用是

2、将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，对它们进行灵活应用，就会感到 另一种新奇与愉悦，同时也给众多题目找到了同一根源”依据课程标准（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解 决一些简单的三角形度里冋题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题。本节（课）教学目标（1）知识与技能目标：通过对任意三角形边角关系的探究，进一步掌握三角形中边 长与角度之间的疋量关系.（2）过程与方法目标：通过对两个定理的进一步学习，使学生能灵活选择它们来解决三角形中的边角问题，培养学生的思维综合能力，学会与人合作，交流.（3）情感

3、与态度目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，让学生积极参与对数 学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益，给 学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生探索数学规律的数学思想，以及在方 程思想指导下解三角形的运算能力。学习者特征分析（1）本课的学习对象为高一普通班学生，他们经过一个多学期的高中学习，已经有 一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。（2）作为高一年普通班的学生普遍存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习 有一定的困难。在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的指导，学生的 群体性小组交流能力与协同讨论学习的

4、能力不强，对学习资源知识信息的获取，加工， 处理和综合的能力较低，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极 性高。（3）正弦定理和余弦定理紧跟必修 4 （包括三角函数与平面向量）之后，因此以 这些知识作为工具或载体，运用转化与化归作为指导思想是本节学习的重点。本节的学习，又可以让学生进一步掌握三角形中边与角存在着的定量关系，这是一个从定性到定 量的飞跃过程，这些对让学生体会到事物是相互联系的辩证思想有着举足轻重的作用。 因此，本节内容让普通班学生通过网络课进行协作和探究学习是比较合适的。（4）本节课存在的困难点：1、从直角三角形到斜三角形，这样一个从定性到定量的过程，学生认识是否

5、到位， 是否只是机械套用公式？2、本节课中例1涉及到了三角形中的“多解”情况，面积、周长问题，现在的学生 动手能力较差，能否考虑到？在例 2、3中对正弦定理与余弦定理的灵活、准确选用有无 障碍？教学、学习时间是否够用？知识点学习目标描述知识点 编号学 习 目 标具体描述语句（一）知 识 目 标1、三角形的有关性质；2、正、余弦定理综合运用.（二）能力目标1、熟练掌握正、余弦定理；2、进 步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；3、综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.（三）德 育 目 标通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功 能，反映了事

6、物之间的内在联系及一定条件下的相互转化教学重点和难点项目内容解决措施教学重点正、余弦定理的综合运用.启发学生在求解三角形问题时，注意三角 形性质，三角公式变形与正余弦定理产生联系， 从而综合运用正余弦定理达到求解目的。教学难点1、正、余弦定理与三角形性 质的结合；2、三角函数公式变形与正、 余弦定理的联系在题设条件不是三角形基本元素时，启发学生 利用正余弦定理建立方程，通过解方程组达到 解三角形目的教学环境设计针对这一节课的内容，我选择在多媒体教室上课，做好博客课件，方便同学与同学 交流，与老师交流，安排学生二人一台电脑，方面同学之间合作探讨。教学媒体（资源）选择（依据“经验之塔”P42,确认

7、有助于教学）知识占八、编 号学习 目标媒 体 类 型媒体内容要点教学 作用使用 方式所得结论占用 时间媒体 来源1、知识 梳理博 客（一）三大定理1、正弦定理： 变形：2、余弦定理： 变形：勾股定理：3、面积定理：（二）常用结论1、内角和疋理2、大边对大角，大角对大边：3、三角变换：A.提 供事 实， 建立 经验E.演示提问讲解通过提问了 解学情，并初步 为解三角形扫除 知识点不足的障 碍。5网络2、例题分析博 客（1）在厶ABC中，a 2J3,b 6, A 30°，求此三角形的边c.（2）已知三角形的一个角为60°，面积为10，周长为20,求此三角形的各边长。D.提 供示

8、 范， 正确 操作F.演示讨论总结1、已知两边及一 边的一对角，解 三角形时，需考 虑解的个数。2、已知一个角， 可由余弦定理建 立一个关于 a,b,c 的关系式，再结10网络合面积公式，周 长公式求出a,b,o3、例题分析博 客在 ABC 中,tanA a2 , tan B b试判断 ABC的形状。G设 难置 疑， 引起 思辨I.学习 者自己 操作媒 体进行 学习；判断三角形的形 状，有两条思路： 化角为边； 化边为角。两条转化主要是 应用正弦定理（边化正弦，正 弦化边）和余弦 定理（余弦直接 代入）。5网络4、例题分析博 客已知a,b,c分别为 ABC的三内角A,B,C的 对 边，且aco

9、sC ccosA 2bcosB（1）求角B的大小；（2）求sinA?sinC的最大值；（3）若 ABC的外接圆半径为4,求ABC面积的最大值；思考：若 ABC的外接圆半径为4, 设D为AC中点，求中线BD的取值 范围；G设 难置 疑， 引起 思辨F演 示一 讨论 总结充分挖掘两个定 理，利用三角函 数的有界性来求 面积的最值，体 现三角函数公式 的工具性作用。10网络5、在线 测试博 客（1）已知 ABC 中，sinA:sinB:sinC=1：1：返，则此三角形的最大内角的 度数是（）A. 60 °B. 90 °C. 120 °D . 135 °（2）在

10、ABC中，若，贝y ABCcosA cosB sinC是（）A.直角三角形.B.等边三角形.C钝角三角形.D.等腰直角三角形（3）在厶ABC中，a 2,b3,C1350 贝V ABC 的5面积是（）G设 难置 疑， 引起 思辨L学习 者自己 操作媒 体进行 学习加强对正余弦定理的应用5网络“30 , 3 品A. 3 B . 3、/2c .D 2 2(4 ) 在 ABC中，已知AB 3, BC <13, AC 4 则 AC 边上的高为()3 晅3433”A. B. . C. .D. 332226课堂小结博 客熟记：正余弦定理及其变形；三角形 面积公式；合理采用公式求边、角、 面积、周长、外

11、接圆半径； 活用：灵活运用定理，实现边角转化； 注重：数形结合与转化思想。J.归 纳总 结，复习 巩固F.演示讨论总结通过提问，引导 学生回忆，作出 小结，给学生以 第二次学习的机 会。3网络7、课外 作业博 客1、若 ABC的三个内角满足 sin A:sin B:sin C 5:11:13 则 ABCA. 疋疋锐角三角形 .B . 疋疋直 角三角形.C 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝 角三角形2、在ABC中，V3厂S ,a 1,b勺3，则角B=；3、在 ABC 中，AB=4,AC=3,角平分 线AD交BC于D , AD=2，则面积S=；4、已知圆内接四边形 ABCD的四条边

12、 长分别为AB 3, BC 3,CD 8, DA 5，求四边形ABCD的面积。5、已知a,b,c分别为 ABC的三内角A,B,C 的 对 边，且acosC ccosA 2bcosB(1)求角B的大小；K.自疋 义。I.学习 者自 己操 作媒 体进 行学 习与课堂教学内容 呼应，帮助学生 有效的掌握知识2网络（2）求si nA si nC的取值范围；（3）若 ABC的外接圆半径为4，求ABC周长的取值范围。板书设计正余弦定理的应用1、知识梳理3、在线测试2、例题分析4、课堂小结例15、课外作业例2例3关于教学策略选择的阐述重视提出问题、解决问题策略的指导。学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突

13、 出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生往往不能把实际问题 抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生 发现问题、提出问题是非常必要的，并让指导学生掌握对于诸如观察、分析、归纳、类 比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法。针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容划分为三大类型一一求解斜三角形中的基本元素；判断三角形的形状；面积的最值问题。其次，在每一类型中，有代表性地选取两道例题或1小道，遵循由浅入深的原则进行 顺序上的安排。最后，利用好小结，使学生的认识再进一步升华，从而达到教学目的。课堂教学过

14、程结构设计教学环节教师的活动学生的活动教学媒体（资源）设计意图、依据课前准备1、指导学生登陆博客网 站。2、介绍博客网站的操作 方法。3、讲明上课过程中的注1、作好课前准备。2、登陆专题网站。3、熟悉专题网站的操作 方法。博客1、让少数不熟悉网络操 作的同学学会利用网络 资源来辅助学习。2、有助于本节课的顺利 进行。意事项。知识梳理1、展示本节的重要知识占：八、(1) 三大定理 正弦定理：余弦定理 面积定理(2) 常见结论 内角和定理 边角大小关系 三角变换2、提问部分学生相关知 识点内容并给予纠正与r冃疋。了解本节课的三大定理 内容及常见结论。博客、黑板解三角形的重要依 据是正余弦定理，通过

15、 提问了解学情，并初步 为解三角形扫除知识点 不足的障碍。例1分析1、请学生点击本节的例1。例1、求解斜三角形中的 基本元素是指已知两角一边(或两边一角或三 边)，求出其他三个 元素，进而求出三角 形的三线(高，角平 分线，中线)，周长， 面积等基本问题。(1 )在厶ABC中，a 2 丁3,b6, A 300，求此三角形的边C.(2)已知三角形的一个 角为60。，面积为 103,周长为20,求此三角形的各边长。2、引导学生针对题目进 行讨论，小组自讲，捕捉 学生中出现的一些意 见”。3、讲解学生中出现的一 些意见”，1、分析题目类型，小组 自讲解题思路。2、把探讨过程中出现的 问题以及亮点通过

16、博客 及时反馈给老师与其他 同学；同时也尽量回复 其他同学提出的困惑。3、听老师解惑释疑，及 时做好笔记，小结各题解题的关键点。博客、黑板1、把主动权交给学生， 让学生自发地成为一个教师”，这就要求学生不 仅要会做还要会讲，学 生如果会讲了，思维就 流畅了，过程就规范了， 能力也就自然而然地提 咼了2、调动学生的主动性和 创造性，使学生完成角 色的改变，从“要我学” 变成“我要学”。从而真 正让学生实现知识的自我反馈。例2分析1、请学生点击本节的例2。例2、判断三角形的形状1、小组讨论，派代表到 黑板板书，并及时关注 上面的同学解题过程是博客、黑板1、创造一个让学生协作 学习的空间，互相配合、

17、 互相帮助、各种观点互在ABC中，tan A a2,p ,试判断tanB b2ABC的形状2、全班分为两组，一组 角化边，一组边化角，并 派一名代表到黑板板书， 比赛谁更快。3、捕捉学生中出现的一 些意见”，并对此进行讲 解，并与学生一起对此类 型进行归纳小结。否出现纰漏，及时派人 上去修正。2、通过博客及时反馈探 讨冋题中出现的困惑。3、听老师解惑释疑，及 时做好笔记，小结解题 的关键点。相补充，完成学习任务， 从而培养学生团队精神 以及各方面的能力。2、以常用的三角公式为 基础，强化训练边角互 化，使学生掌握判断三 角形形状的两种方法， 同时通过学生板书并不 断规范解题过程既调动 了学生学

18、习的积极性， 又树立了学生们竞争向 上的进步意识，充分激 发学生的学习潜力。例3分析1、请学生点击本节的例3。例3、最值问题已知a,b,c分别为ABC的三内角A,B,C的对边，且acosC ccosA 2bco（1）求角B的大小；（2）求 sinA?sinC 的 最大值；（3）若ABC的外接圆 半径为4求ABC面积 的最大值；2、引导学生通过例题探 索解题思路，并和里面的 分析探求进行对照，注意 三角形中的三角变换公式及角度范围。关注一题 多解：角化边或边化角；3、引导学生充分挖掘正 弦定理与面积定理，利用 三角函数的有界性来求 面积的最值。1、通过例题探索解题思 路，并和里面的分析探 求进行

19、对照。2、通过博客及时反馈解 题思路中出现的困惑； 同时也尽量回复其他同 学提出的困惑。3、听老师解惑释疑，及 SB做好笔记，小结解题 的关键点。博客、黑板1、给学生一个“自学” 舞台，让学生去体会每 道题中的每一小题的交 互性和连贯性，让学生 在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合 作”中增知，在“实践” 中成长。2、教师在活动中起着“辅导者”的作用。而 学生通过自学清楚了求 三角形面积最值的来龙 去脉，运用转化与化归 作为指导思想是本章学 习的重点使学生产生学 习的成就感。在线测试1、指导学生进行在线测 试（1）已知 ABC中，1、在线测试并提交练习 卷。2、听老师解惑释疑，及 时做好

20、笔记，小结解题 的关键点。博客、黑板1、让学生实现知识的自 我反馈。2、再一次让学生体验自 己探索结果的喜悦。构sin A:si nB:si nC = 1:1:述，建学生认知体系，体现则此三角形的最大内角 的度数是（）知识的系统性，使知识 得到再现和升华。A .60 °B.90 °C . 120 °D.135 °(2 )在ABC中,若abccosA cosBsinC，则ABC是( )A 直角三角形. 边三角形B.等C.钝角三角形 等腰直角三角形D.（3）在 ABC中，a 2,b3,C13505则 ABC的面积是( )A .3B .3迈3庞nC . D .

21、23岛2(4 )在ABC中已知AB 3, BC <13, AC4则AC边上的高为( )3血A . B.23力23厂C. - D. 3*322、对学生提交的学习反馈进行讲解校对。课堂小结点评学生总结本课的教学生总结本课的教学内博客、黑板通过提问，引导学生回学内容，并对学生在自学容，并归纳在自己在自忆，作出小结，给学生中出现的普遍问题进行学过程中出现的问题。以第二次学习的机会。强调纠正。课后作业1、若 ABC的三个内角满足sin A:si n B:si nC 5:1 则厶ABCA. 疋疋锐角三角形.B. 疋疋直角三角形 .C. 一定是钝角三角形 .D. 可能是锐角三角形， 也可能是钝角三角形

22、.2、在ABC中，/3S 2!_,a 1,b J32 ， 则角B=独立完成1:13,DA 5)sB博客与课堂教学内容呼应， 帮助学生有效的掌握知 识.3、在 ABC中，AB=4,AC=3,角平分线 AD 交 BC 于 D , AD=2 , 则面积S=;4、已知圆内接四边形ABCD的四条边长分别为AB 3,BC 3,CD 8，求四边形ABCD的面积。5、已知a,b,c分别为ABC的三内角A, B,C的对边，且acosC ccosA 2bc(2) 求角B的大小；(2) 求 si nA sinC 的取值范围；(3) 若ABC的外接圆 半径为4,求ABC周长 的取值范围。教学流程图教学内容和教师的活动

23、媒体的应用学生的 活动“教师进行逻辑判断归纳总结，形成结论归纳总结，形成结论归纳总结，形成结论结束个性化教学本节课首先通过展示知识点让学生对本节课应用的知识加深印象；通过小组讨论来改变学习方式，促 进学生发展。在授课过程中关注了学生，让学生的观点不断闪现，并及时对学生进行了赞赏！让学生 在合作中体验到学的成功，享受到学的乐趣形成性检测这节课的教学内容是两个定理学习的第五课时，涉及的知识点非常重要，根据学生的课堂情况，设计有基础题型，也有综合题目这样,既调动了学生的学习积极性 ，也提高了学生的认知水平，突显了 学生的主体地位让学生的知识结构体系更完整，并为以后的实际应用打下了扎实基础评价量表（教学功能、诊断功能、调控功能、激励功能）1、 这节课给你的总体感觉如何？（）A. 效果很好（39人）B.还可以（10人）C.不好（0）D.不知道（1人）2、 你觉得老师对整个课堂的把握能力如何？（）A.很自如（35人）B. 一般（12人）C.不好 （0）D.不知道（3人）3、 请你给这节课的课件做个评价（）A. 很形象，很好，对学习内容很有帮助。（8人）B. 还可以，有利于接受教学内容。（40人）C. 无所谓，可有可无。（1人）