概率论和数理统计期末考试试题及答案

1、20052006学年第一学期概率论和数理统计 B期末试卷(A 卷)考试时间：注意:答案一律要写在答题纸上！ !、选择题(本大题分5小题，每小题3分，共15分)设A、B互不相容，且 P(A)>0，P(B)>0,则必有(A) P(BA)(B)P(AB) P(A)(C) P(AB)(D)P(AB) P(A)P(B)三、解答题(共65分)1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2)若任取一件产品发现是次品，此次品是甲车间生产的概率是多少(2)某人花钱买了A

2、、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为p(A) 0.03, P(B) 0.01, p(C)奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A)(B)(C)(D)2X N( ,4 ), Y N(,52),PiPX4, P2(A)对任意实数,PiP2(B)对任意实数0.02,如果只要有一种PY5，则,P1 P2(C)只对的个别值，才有p1P2( D)对任意实数，都有P1P2设随机变量X的密度函数为f(x)，且f ( x) f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数(A) F( a)(C) F( a)二维随机变量(A) EX(C) EX2a成立的是a10 f(

3、x)dx(B) F( a) 12a0 f(x)dxF(a)(D) F( a) 2F(a) 1(X, Y)服从二维正态分布，则 X+Y与X- Y不相关的充要条件为EY(B)2 2 2 2EX EX EY EYEY2(D)EX2 EX2 EY2 EY2二、填空题(本大题5小题,每小题4分，共20分)(1)P(A) 0.4, P(B) 0.3,P(A B)0.4,贝U P(AB)设随机变量X有密度f(x)4x3,0x 1其它，则使P(X a) P(Xa)的常数a =设随机变量X N(2,2)，若P040.3,则 PX 0设两个相互独立的随机变量X和丫均服从N(1,1)，如果随机变量X-aY+25满足

4、条件 D(X aY 2) E(X aY2)2,f(x, y)k(6 x y), 0 x 2,0 y 40, 其它求：(1)常数k(2) P(X Y 4)2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为fx(X)1,0,0x1;其它.fY(y)e y, y 0;0, y 0.求：随机变量Z4、( 8分)设随机变量fx (x)求：随机变量Y5、(8分)设随机变量Y的概率密度函数.X具有概率密度函数x 8,0 x 4;0, 其他，eX 1的概率密度函数.X的概率密度为:f(x) -e'x求：X的分布函数.6、(9分)假设一部

5、机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润 0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少7、(10 分)设 X - N(0,1),Y - N(0,1)，且相互独立 U X Y 1,V X Y 1 ,求：(1)分别求U,V的概率密度函数；(2) U,V的相关系数UV ；4.8,则 n=已知 X B(n, p),且 E(X) 8, D(X)线20052006学年第一学期期末考试概率论与数理统计B试卷(A)标准答案和评分标准、选择题(5X 3 分)题号12345答案CBA

6、BB、填空题(5X 4 分)1、20计算题(65 分)1、解:A为事件“生产的产品是次品”,Bi为事件“产品是甲厂生产的”,B2为事件“产品是乙厂生产的” ，B3为事件“产品是丙厂生产的”1)，1,0易见Bi, B2, B3是的一个划分(1)解:解:解:由全概率公式，得 P(A)由Bayes公式有： P(B1 A)(1)由于2(2) dx0由卷积公式得P(AB)13P(Bi)P(ABi)25% 5% 35% 4%40% 2%0.0345.P(ABJP(B1)3P(ABi)P(Bi)25% 5%250.03456910f (x, y)dxdy 1,；(6 x y)dyfz(z) f (x,z所以

7、12424dx k(6 x0 0y)dy 1，可得k丄242(1x2 6x 16)dx80 29x)dx ,又因为X与Y相互独立，所以fZ(z)fx(x)fY(z x)dx0时,fx(x)fY(z x)dx0;所以z 1 时，fz(z)1 时，fz(z)My)fx (x)fY (zfx (x) fY(zfz(z)fx(x)fY(z x)dx1的分布函数Fy (y).P(Y y)P(ex 1y)P(Xx)dxx) dx1 e e z(eln(y1)1)-10分-3分5分ze ;7分ze(zx)dx 10(z x)dx e z(e 1)；z 1; z 110ln( y 1 )fx (x)dx0；4

8、 e1；0,1 2 ,"ln (y16于是Y的概率密度函数fY(y)dtFY(y)ln( y 1)8( y 1)0,y e4 1;其他.31当 x 0, F(x) 21当 x 0, F(x)2x te dt°etdtdt6、解由条件知XB(5,0.2),PXk0.2k0.85 k,k 0,1,50;1;2;310,5,Y g(X)0,2,7、解：(1)5EY Eg(X)10210g(k)PXk 0PXPXk05 PX 103 P X 4 PXPX 250.328 5 0.410 2 0.0575.216(万元)因为X N(0,1),YN(0,1)，且相互独立，所以 U X

9、Y 1,V X Y 1都服从正态分布,EUE(XY 1)EXEYE1 1DUD(X:Y 1)DXDY2所以UN(1,2)，所以fu(u)14同理EVE(XY 1)EXEY 1DUD(XY 1) DXDY所以VN(1,2)，所以fV(U)1rd4e2E(X Y 1)(X Y 1)u24E1 1u2e 4(2) EUVE(X2 Y2 2X 1)EX2 EY2 2EX 1 DX (EX)2 (DY (EY)2) 2EX 1所以UVEUV_EUEV_0、DU DV1020052006学年第一学期期末考试概率论与数理统计线B试卷（B）标准答案和评分标准题号12345答案DBBAD、选择题（5X 3 分）

10、、填空题（5X 4分）11、2、3、4 4 2 一.2205三、计算题（65 分）1、解：A为事件“生产的产品是次品”,Bi为事件“产品是甲厂生产的”,B2为事件“产品是乙厂生产的” ，B3为事件“产品是丙厂生产的”易见Bi, B2, B3是的一个划分233(1)由全概率公式，得 P(A) P(AB)P(Bi)P(A|Bi) 25% 5% 35% 4% 40% 2% 0.0345.5i 1i 1由Bayes公式有：P（B2 A）P(AB2)P(B2)3P(ABi)P(Bi)35% 4%80.034523102、解：（1）由于f (x, y)dxdy15所以24dx k(61x y)dy 1，可

11、得 k 0 02424 x2 ,(2)1dx(6 x y)dy1/ 1 2(x 6x16)dx8 -1000 24240 293、解：F（x）xf (t)dt1 x t1t当x0,F (x) e dte32210 txt1t当x0,F(x) J e dte dt1e -82024.解：Y ex1的分布函数FY（y）.i 15FY(y) P(Y y)P(eX 1ln( y 1)2y) P(X ln(y 1)fx (x)dx1,4 e1y.ln (y1)4 d于是Y的概率密度函数fY(y)dFY(y)8( y1),0 y e 1;8dy0,其他.0,y 0;124ln (y 1),0 y e 1;

12、616分分分分分分分分分分5解：由卷积公式得 fZ (z)f (x, z x)dx ,又因为X与Y相互独立，所以fZ（z）fx(x)fY(z x)dx3当 z 0时，fz(z)fx(x)fY(z x)dx 0;5当 0 z 1 时，fz(z)fx(x)fY(z x)dxze (z x)dx 1 e71 / 、当 z 1 时，fz(z)fx(x) fy(z x)dx Qe (z x)dx e z(e 1);0所以 fz(Z)fX(x)fY(z x)dx 1 ez 0 z 1;e z(e 1) z 1106、解：(1)因为X N(0,1),YN(0,1)，且相互独立，EUE(XY 1)EXEY E11DUD(XY 1)DXDY 2所以UN(1,2)，所以fu(U)2丄e： .4同理EVE(XY 1)EX EY E1 1DUD(XY 1)DXDY 2所以VN(1,2)，所以fV(U)丄e；所以