圆锥曲线中的四心

1、圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合， 达到训练学生的思 维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强 素质的作用.关键词：思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注 重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和 新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值 等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此， 在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，

2、快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考.例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A( 2,0)、3B(2,0)、C 1,三点.2(I)求椭圆E的方程：(H) 若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；设方程为mx2 ny21思维流 得到m,n的方程由椭圆经过A、B、C三点(I) 解出m,n由 DFH内切圆面积最大_转化为 DFH面积最大得出D点坐标为0,.33转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大一D为椭圆短轴端点r内切圆3kDFH面积最大值为J31 /S DFH周长r内切圆21

3、1解题过程:(I)设椭圆方程为mx(n) | FH | 2，设 DFH 边上的高为 Sdfh ? 2 h h 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为G，所以S dfh的最大值为-3 .设厶DFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6 .所以， ny21 m 0,n03将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,2)代入椭圆E的方程，得 4m 1,1 19 解得 m ,n -.m n 14342 2椭圆E的方程-1 .43DFH1R所以R的最大值为丿3 所以内切圆圆心的坐标为(°込3' 3点石成金：S 的内切圆的周长 r的内切圆例2、椭圆长轴端点为AB , O为椭圆中心,F为椭圆

4、的右焦点，且AF FB 1 OF 1 .5(I)求椭圆的标准方程;(U)记椭圆的上顶点为M ,直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I , 使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程;若不存在，请说明理由思维流程:(a c)(a c) 1，c 1a 2,b 1写出椭圆方程由F为PQM的重心* PQ MF,MP FQ k PQ 1yxm2 23x 4mx 2m 20x22 y 22消兀两根之和， 两根之积MP ? FQ0Ik得出关于 m的方程解出m解题过程:(I)如图建系，设椭圆方程为2X2a21(a b 0),则 c 1 bFB(ac) (ac)1 a2c2'a2故椭圆方程为

5、X22y2(U)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(Xi,yJ,Q(X2,y2),：M (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是设直线1为y x m，由 :卜笃得3X2 4mx2m2 200 x(x2 1)y2(%1)又 yiXi m(i 1,2)得 X1(X2 1)(X2 m)(X1m 1)0 即2x1x2 (x1 x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得22m 2 4m22 (m 1) m m 03 34 4解得m -或m 1 (舍)经检验m-符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两向量乘积为零.2 2例3、在椭

6、圆C: 1中，印F2分别为椭圆C的左右两个焦点，P43为椭圆C上的且在第一象限内的一点，PFi F2的重心为G,内心为I .(I)求证：IGF1F2 ;(n)已知A为椭圆C上的左顶点，直线I过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点，1若AM , AN的斜率ki,k2满足ki k2，求直线I的方程.2思维流程：(I) 由已知得 F( 1,0)，F2(1,0)设 P(Xo,y。) _ 重心 gQ0,) 33I1S PF1F2 2|越|血 y。 一 SpF1F2 RPF1PF2F1F2l)r内切圆 | 一S PF1F23|内切圆yoyo3I的纵坐标为y。3IG / f1f2IGF1F2I的方程为y k(x

7、 1)(n) 由k1 k21，可知I的斜率一定存在且不为o，设为k2得(3 4k2)x2 8k2x 4k2120y k(x 1) x2y2,消去y一 一 1438k2X1 X2 23 4k 4k212x1x2利用k1 k2得k的方程解出k解题过程:()设 P(xo,y。)，重心 G(x,y)，由已知可知 £( 1,0), F2(1,0)X。（ 1）1yoG（汁）PF1F212 F1F2 yoyoPF1F212（pf1 |pf2 时2） 1内切圆S PF1F23r内切圆y0内心I的纵坐标为亚3IG /F1F2即IG(U)若直线I斜率不存在,显然k1 k20不合题意;则直线I的斜率存在.

8、设直线I为y k(x 1)，直线I和椭交于M(X1,yJ , N(x2,y2)。将y k(x 1)代入3x2 4y212中得到:(3 4k2)x2 8k2x 4k2120x1x2由韦达定理可知:x1 x18k23 4k2 4k2123 4k2又kAMkANx-i2y2x22x11xX212)k2x-i21x22)1x22X-Ix2x1x22(论 x2)42 2 28k 4(3 4k )2k 14k2 12 16k2 4(3 4k2)3k22k2 1从而 kAMkANk(2 3 寸求得k 2符合k 1.故所求直线MN的方程为：y2(x 1).点石成金：重心的特点为坐标X1X2X3y1 y2y33

9、隹占八、八、2例4、已知双曲线C以椭圆乞41的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为(I)求双曲线C的方程;(n)若F1,F2为双曲线C的左右焦点，p为双曲线C上任意一点，m为PF1F2的外心，且 F1PF2 60，求点M的坐标.思维流程:(】) 由已知易得双曲线中 a 1,c2,b写出双曲线的方程(n)M是PF1F2的外心M 在 y 轴上，且 F1MF22 F1PF2F1MF21200, MF1F2300在 Rt MF1O 中，FiO 2, MF1O 300MOM(0,解题过程:(I)由已知可知，双曲线的a 1,b，3,c 2，则双曲线的方程为22 y .x13(n)因为m为外心，所以MF1MF2则

10、点M在线段F1F2的垂直平分线上即在y轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2倍,F1MF22 F1PF2则 F1MF21200, MF1F2300在 Rt MF1O 中，FQ 2, MFQ 30°则MO即 M (0,2.3J -点石成金:外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交占八、能力提升:2 21、椭圆：令 占1(a b 0)求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程.a b解：如图（i），设点P X0, y0，内心I为（x, y），焦点Fi( c,0)、F2(c ,0) , I PF ri，PF2过内心I作ID、IE、IF垂直FFp FP、PF2于点D、E、F .*JFJ&q

11、uot;巳I*丿图（1 ）r2，J则 ri a2exo .|pe1|FiEri由切线长定理，得方程组PFIF2Fr2 ，FiD|F2D'2c结合ri a 2ex0，解得：FiDcex0 .而 Fi Dc x， xex0，既 X。-.点I 是FiF2P的内心，点D、E、F是内切圆的切点,1又 AF1F2P面积 S cy。，S -(FiF2 PFi PFf )y (a c) y，a c".(ac)y，既 I yo =将代入2X02a2y。1(a220)得丄y i0)，彳得 22 2i .c b c(a c)2可知，椭圆2 x2 a1(a0）焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆,它的离心

12、率是 .it2 22、椭圆：务占i（aa bb 0）求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程;解：如图(2)，设点P(X0 ,y°)，垂心H为(x, y)，焦 点 F, c ,0)、F2(c ,0)，贝U FiH (x c,y)，PF2 (c x° , y°).FH 丄 PF2，图（2）(x c, y) l(c x , y°) =0 .xyyo 0 .2b 1(a b0), 2y。b2(a2 x2)aX2)将式代入式，整理得:y:(=由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线， 它与哪些初 等函数图象有关？请大家思考.3、已知动圆过定点F 0,1，且

13、与定直线y 1相切.求动圆圆心P的轨迹W的方程;设过点F的直线I与轨迹W相交于A、B两点，若在直线y 1存在点C,使ABC为正三角形，求直线I方程.(K)当直线I得斜率大于零时，求 ABC外心的坐标.解：(I)设动圆圆心为P(x,y)，根据题意,得、x2 (y 1)2化简得x2 4y故动圆圆心P的轨迹W的方程为xX1 X2 4k,X1X24, y1 y k(X1 4y .(U)设直线I的方程为y kx 1 , AX, yj B(X2, y2)，弦AB中点为M (xo, y0)y 1得 A( 2,1),B(2,1)(i)当k 0时，由 2x 4y此时AB 4，有图形的对称性可知， y 1上的点C

14、只可能是(0, 1)而 AC 7(0 2)2 ( 1 1)2 242.故 AB AC，不合题意.得 x2 4kx 402X2) 2 4k 2rr r y kx(ii)当k 0时，由y 2x 4y则Xox-i x2yi y22h 2k，y0 宁 2k 1即 M (2k,2k21)若在直线y 1上存在点C，使ABC为正三角形1 21联立,则设直线 MC : y(x 2k) (2k 1)，与 yk解得x4k 2k3，即 C(4k 2k3, 1)由CM3 3 AB，得, (2k 2k3)(2k22)2_23(y1 y2 2)即（2k2k3)2 (2 k2 2)2(4k244)2化简得k2(k2 1)22(k2 1)2即k22,k、2故直线I的方程为（川）由（U）知,k . 2，直线I的方程为y 、2x 1