因式分解知识点归纳

1、因式分解知识点回顾1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：ma mb mc m(ab c)（2）运用公式法：平方差公式： a 2b2( a b)(a b) ；完全平方公式：a22ab b2(a b) 2（3）十字相乘法： x 2(a b) x ab ( xa)( xb)因式分解的一般步骤：（ 1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（ 2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（ 3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（ 4）最后考虑用

2、分组分解法5、同底数幂的乘法法则：am ganam n （ m,n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： (a b)2 g(a b) 3( ab)56、幂的乘方法则：(am )na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：( 35)2310幂的乘方法则可以逆用：即a mn(a m ) n(a n ) m如： 46(42 )3(43)27、积的乘方法则：(ab) nan bn （ n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（2x3 y 2 z) 5 =( 2) 5 ?( x3 )5 ? ( y 2 )5 ? z532 x

3、15 y10 z58、同底数幂的除法法则： a ma nam n （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab) 4(ab)( ab) 3a3 b39、零指数和负指数；a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。ap1p（ a0, p 是正整数），即一个不等于零的数的p 次方等于这个数的p 次方a的倒数。如：23(1) 312810、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数， 相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底

4、数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x 2 y3 z ?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(abc)mambmc( m, a, b, c 都是单项式 )注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如： 2x(2x3y)3 y( xy)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每

5、一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a2b)(a3b)如：(x5)( x6)三、知识点分析：1. 同底数幂、幂的运算：am·an=am+n( m， n 都是正整数 ).(am)n=amn( m， n 都是正整数 ).例题 1.若 2a 264 ，则 a=；若 27 3n( 3) 8 ，则 n=例题 2.若 52 x 1125 ，求 (x2)2009x 的值。例题 3.计算 x 2 y 3 n2 y x 2 m练习1.若 a 2n3，则 a 6n =.2.设 4x=8y-1 ,且 9y=27x-1 ,则 x-y 等于。2. 积的乘方(ab)n=anbn(n 为正整数 )

6、. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 .例题 1.计算：nm 3 pmnnm p 43. 乘法公式平方差公式：ab aba 2b 2完全平方和公式：ab完全平方差公式：ab2a22abb22a22abb 2例题 1.利用平方差公式计算： 2009×2007 200822007例题 2. 利用平方差公式计算：23. （ a2b 3c d）（ a 2b 3cd）考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（）A. x(a-b)=ax-bxB. x2-1+y 2=

7、(x-1)(x+1)+y2C. x 2 -1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若 4a2kab 9b2 可以因式分解为 (2 a 3b)2 ，则 k 的值为 _3、已知 a 为正整数，试判断 a2a 是奇数还是偶数？4、已知关于 x 的二次三项式 x2mx n 有一个因式 (x5) ，且 m+n=17，试求 m，n 的值考点二提取公因式法提取公因式法：mambmcm(abc)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母3、字母的次数 - 相同字母的最低次数习题1、将多项式20a

8、3b212a2 bc 分解因式，应提取的公因式是（）A、 abB 、4a2bC 、 4abD 、 4a2 bc2、已知 (19x31)(13x17) (13x17)(11x 23) 可因式分解为 (axb)(8 x c) ，其中 a，b，c 均为整数，则 a+b+c 等于（）A、-12B、 -32C、38D 、723、分解因式（1） 6a(ab)4b(ab)（ 2） 3a( x y)6b( yx)（3） xnxn1xn 2（ 4） ( 3)2011(3)20104、先分解因式，在计算求值（1） (2 x1)2 (3 x2)(2 x 1)(3x2) 2x(12x)(3 x2) 其中 x=1.5（

9、2） ( a 2)(a2a 1)(a21)(2a)其中 a=185、已知多项式x42012 x22011x2012有一个因式为 x2ax 1 ，另一个因式为x2bx 2012，求 a+b 的值6、若 ab210 ，用因式分解法求ab(a2b5ab3b) 的值7、已知 a，b，c 满足 ab abbcb ccaca 3 ，求 (a1)(b 1)(c 1) 的值。（ a，b， c 都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式平方差公式a2b2 (a b)(a b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、 x 24y

10、2B、 x 22y21C 、x24 y2D 、x24y22、分解下列因式（1）3x212（ ）24（）222( x 2)( x 4) x3( x y)(x y)（4）x3xy2（ ）(ab)21（ ）9( a b)230( a22)25(a b)256b（7） 2009 20112010213、若 n 为正整数，则(2n2(2n2一定能被8 整除1)1)完全平方式a 22abb2(ab)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式 x 22xyy2x 22xyy 2 x 2xy+y 2 4

11、x 21+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、B、C、D、2、下列因式分解中，正确的有（）a3 b2a2b2 )x 2y2)9abc6a 2b3abc(32a) 2 x 2 y2 xy 22 xy(xy)333A、0 个B、 1 个C、 2个D、 5个3、如果x22( m3) x16 是一个完全平方式，那么m应为（）A、 -5B、3C、 7D、 7或 -14、分解因式(1)mx24mx2m(2)2a2 -4a2(3)x32x2x222（4） (2 x 3)(x 3)（ 5） 8x y 8xy 2y（6） (x 2 -2xy) 2 +2y 2 (x 2 -2xy)+y4（ 7） 4x2

12、 12xy+9y 2 4x+6y-35、已知 ab2 ， ab2，求 1a3 b a2b21ab3226、证明代数式 x2y210x8 y45 的值总是正数7、已知 a，b， c 分别是ABC 的三边长，试比较 (a2b2c2 )2与 4a2b2 的大小考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1 的二次三项式 x2pxq 中，如果能把常数项 q 分解成两个因式 a、b 的积，并且 ab 等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式x2pxq 分解成例题讲解1、分解因式： x 25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2× 3=(-2)× (-3)

13、=1× 6=(-1) × (-6)，从中可以发现只有 2× 3 的分解适合，即2+3=512解： x 25x6 = x2(2 3) x 2 313=( x2)( x3)1× 2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：x 27 x6解：原式 = x2(1)(6) x(1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7练习分解因式 (1)x214x24(2)a215a36(3)x 24x 5(4) x2x2(5)y 22 y15(6)x

14、210x242、二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（1） aa1a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2 c1b a1 c2a2c1分解结果： ax 2bxc =(a1 xc1 )(a2 xc2 )例题讲解1、分解因式：3x211x10分析：1-23 -5（ -6 ）+（-5 ）= -11解：3x211x10 = (x2)(3x 5)分解因式：（1） 5x27x 6（2） 3x27x 2（3） 10 x217x3（ 4） 6y 211y103、二次项系数为1 的多项式例题讲解、分解因式：a 28ab 128b2分析：将 b 看成常数， 把原多项式看成

15、关于a 的二次三项式， 利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a 28ab128b 2 =a2 8b( 16b) a8b( 16b) =(a8b)(a 16b)分解因式 (1)x23xy2 y 2(2)m 26mn8n2(3)a2ab6b 24、二次项系数不为 1 的多项式例题讲解2x27xy6 y 2x 2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 =( x2 y)(2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)分解因式：（1）15 x 27 xy4y 2（2） a

16、2 x26ax8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式（1） 3x23（ 2） x3 y24x（3） x36x227x（ 4） a2b22b12、计算下列各题（1） (4 a24a1) (2 a 1)（2） (a2b2c22ab)(a b c)3、解方程（1） 16( x1)225( x2) 2（ 2） (2 x3)2(2 x 3)4、如果实数 ab ，且 10 aba1 ，那么 a+b 的值等于 _10bab15、 12232425262.200922010 2201122012212345620092010201120126、若多项式 x2ax12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a 的值（写出3 个）7、先变形再求值（1）已知 2xy1 ， xy 4 ，求 2 x4 y