四种线性代数模型

1、线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代 数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。实验一生物遗传模型1. 工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa。常染色体遗传的规律是:后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因， 由两个基因A、a控制的，那末就有三种基因对,形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是记为AA、Aa和aa。研究所计划采用 Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任 意一代的三种基

2、因型分布如何2.问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。表6-4基因型概率矩阵后代基因对父体-母体的基因对AA AAAA AaAA aaAa AaAaaaaa aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/213.模型建立与求解设an,bn,cn分别表示第n代植物中基因型AA、Aa、aa型的植物占植物总数的百分率aog 表示植物型的初始分布。 依据上述基an则第n代植物的基因型分布为x(n)bn，x(0)cico因型概率矩阵,有anan 1bn 11bn 0 1cn 1 ， cn0 ，anbncn1，表示为22矩阵形式an11/20an 1bn

3、01/21bn 1Cn000cn 111/ 20记M01/ 21 ，则 x(n)(n 1)2 (n 2)3 (n 3)MxM xM xL M nx(0)。于是问题归结为如何计算Mn，可将M对角化。易于计算M的特征值为1、1/2、0，其相应的特征向量为(1,0,0)T ，(0,1,0)T，(1,2,1)T。10111/20令P012，则MP 01/21 P 1001000n11/20X(n) Mnx（0）p0 1/21P 1(0) X0 0 010 11n 00101101 20 (1/2)n0012X(0)00 10 0000111 (1/ 2n) 1 (1/ 2n 1)a。b0C0(1/2n

4、)b0(1/2n1)C001/ 2n1/2nX(0)(1/2n)b0(1/2n1)C000001(1/2n)b0(1/2n 1)C0(1/2n)b。(1/2n1)C0o0当n , an 1,bn0，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA型。实验二员工培训问题1.工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援yn其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核 有2/5成为熟练工。若记第 n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为2问题问题1:第n+1年熟练工与非熟练工所占比例与第n年熟练工与非熟练工所占

5、比yn 1xn例n的关系。yn1问题2:若第1年熟练工与非熟练工所占比例为X12 ，求Xn 1y11yn 123.模型建立与求解5 2 1依据题意，有 Xn 1 Xn （ Xn6 5 6Yn)， Yn 13/15(6Xnyn)。9292即Xn 1105Xn记A105，亦有X 1Xn A nYn 113Yn13Yn 1Yn1051051由问题1结果:，有Xn 1AXnA2 Xn1L An2oYn 1YnYn 112整理化简得xn9 一yy2 - 5征向量为 4,11,1 。41则p 1051113105101 4115 110(1)n118X 1An21Yn 1110292记P14因此2Anp

6、11(2)(1)n4 4占21 4(2O问题归结为求 A，可将A对角化。易于计算 1、1/2是矩阵A的两个特征值，且相应的特实验三多金属分选流程计算1.工程背景设，j 原矿产率及第j种产品产率，%，100% ；i原矿中第i种金属品位，% ；ij 第j种产品中第i种金属品位，%；第j种产品中第i种金属的理论回收率， %；按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。 金属平衡，ni j j, i 1,2,L ,mj i产品平衡，nj 100%j 1其中，尾矿产率及金属品位为解次多元线性方程组求出产品产率。各产品任一金属回收率ijj ijn100%。j ij锌、硫精矿和尾矿，已化验知

7、各产品的金属品位（见j 1产品名称品位铅（金属1）锌（金属2）硫（金属3）原矿3.143.6315.41铅71.043.7115.70锌1.2051.5030.80硫0.380.3542.38尾矿0.340.101.402问题某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、F表），试计算各产品产率和回收率。表6-5各产品的化验品位3.模型建立与求解设铅、锌、硫和尾矿的产率为线性方程组：X1,X2,X3和X4，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下71.04音 1.20X2 0.38X3 0.34x4 100 3.143.71X-1 51.50x2 0.35x3 0.10x4 100 3.6315.70X1 30.8

8、0x2 42.38x3 1.40x4100 15.41X x2 x3 X4 100MATLAB源代码：A=71.041.200.380.34;3.7151.500.350.10;15.7030.8042.381.40;1 1 1 1%创建系数矩阵b=3143631541100'% 常数列矩阵x=Ab %利用 x=inv(A)*b x =3.86596.459028.204661.4706又 xO=repmat(x,1,4);%创建多维数组B0=repmat(b,1 4)'s=xO.*A './BO%计算各产品的理论回收率，最后一列为产率s=87.46232.46843.

9、41336.65603.951191.63612.71941.69343.938612.909677.56715.58463.86596.459028.204661.4706x3100x6300200x2x7300f300 >500 X1f60S400x8500将计算结果填入下表表6-6各产品产率及回收率计算结果产品名称产率/%回收率/%铅锌硫原矿100100100100铅3.865987.46233.95113.9386锌6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾矿61.47066.65601.693461.4706实验四

10、交通流量模型1.问题，计算各线路上车辆数.图6-8给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)x10700“x9600图6-8假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.(2)全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.2. 模型的建立与求解由假设可知，所给问题满足如下线性方程组x2 x3 x4300X4X5500X7X6200X1X2800XX5800X7X8100X9400X10X9200X10600X8 X3 X61003. Matlab程序实现A=0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,

11、0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0%矩阵Ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100B=A,b%增广矩阵BRank(A)%计算矩阵A的秩Rank(B)%计算增广矩阵B的秩，若秩相等，则有解rref(B)%将增广矩阵B化为最简型4结果分析增广矩阵B =01-1100(100c300001100a05I：IO00

12、000-11002001100000a0SOO1CI010C000sao0ULI00011d010000000001040Q00Cl00000r120000a000(1001600001QQ10101QQ系数矩阵的秩Ran k(A)=8增广矩阵的秩 Rank(B)=8<10，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解.增广矩阵的最简型为：10001000a0SCO100-aca000010aa0000200001o0o0500000U010icu-10000001i0wo000a0a14CID0000000001BOOQQ0CQQQQ00000000a0a00其对应的齐次同解方程组为X5800X2X