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文档简介

1、森林救火一、问题重述森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目， 且消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关。二、问题分析损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、 灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数量，队员越多灭火越快。救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。 记失火时刻为 t=0,救火时刻 t=t1,灭火时刻 t=t2，时刻 t 森林烧毁面积为B（t ）。三、基本假设1.损失费与森林烧毁面积B（t2 ）成正比，比

2、例系数c1 为烧毁单位面积的损失费；2.从失火到开始救火这段时间（0t1）内，火势蔓延程度dB/dt与时间 t 成正比，比例系数 称火势蔓延速度；3.每个消防员的救火能力与到达时的火势b 成反比，即消防员到达时火势越大消防员救火能力越小，不妨设 (b)=/(b+1)，其中表示火势很小的时候一个消防队员正常的灭火能力，分母 b+1 是防止b0时， ；4.派出 名消防队员，开始救火以后（ t>t1)火势蔓延速度降为 -(b)* ,显然要有 <(b)* ；5.每个消防队员单位时间的费用为 c2,于是每个队员的救火费用是 c2（t2-t1 ）；每个队员的一次性支出是 c3;四、模型建立根据

3、假设条件 2，3，火势蔓延程度 dB/dt 在 0tt1 线性地增加，在 t1tt2 线性地减小。 dB/dt t 的图形如图 1 所示。图一记 t=t1 时 dB/dt=b。烧毁面积 B（t2）为 dB/dt 在 0t2 上的积分，恰是图中三角形的面积，显然有B（t2 ）=1/2*b*t2, 而 t2 满足（1）于是（2）根据假设条件1，5，森林损失费为c1*B(t2),救援费为 c2*(t2t1)+c3*，将（ 1），（2）代入，得到救火总费用为（3）C()即为这个优化模型的目标函数。五、模型计算为求 使 C()达到最小，令 dC/d=0，可以得到应派出的队员数为（4）六、结果分析首先，应派出的队员数目由两部分组成，其中一部分（ 1+b） / 是为了把货扑灭所必需的队员数。因为 是火势蔓延速度，而 是每个队员到达火场时根据火势而定的平均灭火速度， 所以这个结果是明显的。从图一也可以看出，只有当 >（1+b）/ 时,斜率 (1+b)/ -的直线才会与 t 轴有交点 t2.其次，派出队员的另一部分，即在最低限度之上的队员数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度 / （1+b）和救援费用系数 c3 增大时，

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