自动控制原理,传递函数

1、12/15/20211第二节 传递函数主要内容：1.传递函数的定义；2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏变换得到； ii）复数阻抗法；3.典型环节的传递函数。12/15/20212传递函数的基本概念一、传递函数的基本概念一、传递函数的基本概念复习拉氏变换复习拉氏变换0)()(dtetfsFst)()(tfLsF一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是：1. t=0时，f(t)分段连续；3. 0)(dtetfst12/15/20213控制系统的微分方程控制系统的微分方程iu输入ou输出iuouLRCi例2-1：RLC串联电路iooouudtduRCdtudLC220)()(dtetfsFst)

2、()()()(0002sUsUsRCsUsULCsi列出微分方程为：两边取拉普拉斯变换：11)()(20RCsLCssUsUi12/15/20214 传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数。 记做：)()()( )()()(sUsGsYsGsUsY或U(s)Y(s)G(s)12/15/20215 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综

3、合传递函数的基本概念12/15/20216)()()()()()(0) 1(1)(0) 1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)0,0(,mjnibaji为常系数设系统或元件的微分方程为：将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasammmmnnnn01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm称为环节的传递函数一般的：12/15/20217传递函数的基本概念 例解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：muamcdTK uK Mdt(1)( )( )( )muamcT ssK

4、 UsKMs方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：0)(sMc( )( )( )1uuamKsG sUsT s令 ，得转速对负载力矩的传递函数：0)(sUa( )( )( )1mmcmKsGsMsT s最后利用叠加原理得转速表示为：)()()()()(sMsGsUsGscmau例1求电枢控制式直流电动机的传递函数。12/15/20218传递函数的基本概念 例2TsTssUsUsGi111)()()(01RC2iiu1i2ROu0121111iRiRdtiCiuiRiRiR221121OuiR220)()()1(2111sIRsIRCs)()()()(22111sUsIRRsI

5、Ri)()(22sUsIRO2121RRCRRT221RRR 例2 求下图的传递函数：12/15/20219)()()()(2121sFsFtftfL线性性质：)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：ssFdttfL)()(积分定理：（设初值为零）)()()(0sfedtTtfeTtfLsTst时滞定理：)(lim)(lim0ssFtfst初值定理：复习拉氏变换复习拉氏变换性质：性质：12/15/202110)(lim)(lim0ssFtfst终值定理：)()()()(21021s

6、FsFdftfLt卷积定理：ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf常用函数的拉氏变换：常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。复习拉氏变换复习拉氏变换12/15/202111用复数阻抗法求电网络的传递函数用复数阻抗法求电网络的传递函数n复数阻抗：电气元件两端的电压相量与流过元件的电流相量之比，称为该元件的复数阻抗。（1）电阻的复数阻抗推导： 假设电流为： 相量形式： 则电压是 ； 则相应的复数阻抗为00.

7、jmeII tItimsin)(tUtRIRtitummsinsin)()(00.jmeUU ReIeUIUZjmjmR000012/15/202112（2）电感负载的复数阻抗 电流： ， 电压： 复数阻抗为：00.jmeII tItimsin)()90sin(cossin)()(0tUtLIdttdILdttdiLtummm090.jmeUU LjLeeIeUIUZjjmjmR0009009012/15/202113补充：n复数的几种表示形式1. 代数形式：2. 三角形式： 欧拉公式： 从而有 3. 指数形式：4. 极坐标形式：jb aFsincosjej)sincos( jFFjeFF F

8、F1 , 1 , ,222jjjjeejeje12/15/202114传递函数的基本概念 例22121RRCRRT221RRR 1RC s1iu2ROu21211RRCsRUUio21121212112)1()1()1(RRCsRRCsRRCsRRRCsRRTsTssRRCRRRRRsRRCRRRRR111)1)()1(21122212112221例2 求下图的传递函数(复数阻抗法)：12/15/202115三、三、关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明传递函数的基本概念n传递函数的概念适用于线性定常系统.n传递函数中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数,并且与微分方程中各导数项的系数

9、一一对应,是一种动态数学模型。n传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。n传递函数是s的有理分式. 对实际系统而言, 分母的阶次n 大于或等于分子的 阶次m , 此时称为n阶系统。12/15/202116n传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。n传递函数忽略了初始条件的影响。12/15/202117传递函数的表现形式传递函数的表现形式表示为有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中： 为实常数，一

10、般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba ,表示成零点、极点形式：)()()()()()()(11jnjimignmpszsKsPsQabsXsYsGizjp式中： 称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。nmgabK 传递系数或根轨迹增益 传递函数的几种表达形式传递函数的几种表达形式 ：12/15/202118传递函数的表现形式传递函数的表现形式写成时间常数形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100) 1() 1()()()(jiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然： ，,1iiz,1jjpT jnjimigpzKK11若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来

11、表示。若 为共轭复极点，则：21, pp 222121)(1nnsspsps或121)1)(1(12221TssTsTsT其系数 由 或 求得；、21pp、21TT、12/15/202119若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式传递函数的表现形式 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。)2()()2()()(221122112121lllnljnjkkkmkimigspssszssKsG,221mmmnnn212式中：) 12() 1() 12() 1()(221122112121lllnlj

12、njkkkmkimiTsTsTssssKsG或：12/15/202120比例环节比例环节 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。 比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：0),()(ttkxtyksXsYsG)()()(时域方程：传递函数：四、典型环节及其传递函数四、典型环节及其传递函数12/15/202121积分环节积分环节 有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”表示。K表示

13、比例系数，T称为时间常数。 ttdttxkty00,)()(TssksXsYsG1)()()(时域方程：传递函数：0S平面j0)( 1)(ttxkty )(tytRe（二）积分环节：12/15/202122积分环节实例积分环节实例积分环节实例：RCiuouCsoisuRsu1)()(RCssusuio1)()(图中， 为转角， 为角速度。ikutidttku0)(可见， 为比例环节， 为积分环节。iuiu电动机（忽略惯性和摩擦）iu齿轮组12/15/202123时域方程：0),()()(ttkxtytTy传递函数：1)()()(TsksXsYsG当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得： ，式中：

14、k为放大系数，T为时间常数。ktytTy)()()1 ()(Ttekty当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面T1惯性环节惯性环节（三）惯性环节12/15/202124求单位阶跃输入的输出响应：,1)(,11)()(ssXTssXsY)11() 1()(1TsskTssksY)1 ()()(1TteksYLty 可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的惯性环节的单位阶跃响应单位阶跃响应12/15/202125R2Ciuou-

15、+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRioi22011)()(,)()(12RCiuou11)()(,)()(11RCssususuRsuioCsoCsi两个实例：惯性环节实例惯性环节实例12/15/202126振荡环节振荡环节时域方程：)()()()(001 2txbtyatyatya传递函数：121)(2201220TssTkasasabsG上述传递函数有两种情况：当 时，可分为两个惯性环节相乘。即：)1(,) 1)(1()(22, 121TTsTsTksG)1(122, 1Tp1传递函数有两个实数极点：（四）振荡环节12/15/

16、202127振荡环节分析振荡环节分析y(t)t101mIeR0n21nj21nj单位阶跃响应曲线极点分布图分析：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。 反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调升，无振荡。当 时，曲线衰减振荡。 越小，振荡越厉害。n110若 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：2222)(nnnsssG10设输入为：ssX1)()2()()()(222nnnssssXsGsY则 0),11sin(11)(2122ttgtetynt12/15/202128解：当 时，有一对共轭复数极点。所以：, Fkxfxmxkfsms

17、sFsXsG21)()()(042 mkf,1)(2mksmfsmkksG,2 ,2mfmknn解得：mkfmkn2,例：求质量-弹簧-阻尼系统的 和 。（见例2-2，p20）n振荡环节例子振荡环节例子12/15/202129微分环节微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：)()(tkxty)()()(txtxkty)()(2)()( 2txtxtxkty相应的传递函数为：kssG)() 1()(sksG) 12()(22ssksG分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。1012/15/202130CsRRRZRZsZsYsZsX1121, 22211,)()()()(1) 1()1 ()()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：y(t)x(t)R1R2C实例微分环节实例微分环节实例12/15/202131延迟环节延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。 如右图所示。其传递函数为：)()(txtysesG)(延迟环节是一个非线