数列的通项与求和二轮专题训练(理科)

1、数列的通项与求和二轮专题复习（理科）一、真题回访回访 1an 与 Sn 的关系1(2015 ·全国卷 )设 Sn 是 an 的前 n 项和，且 a1 1，an1SnSn 1，则 Sn_.212(2013 全·国卷 )若数列 an 的前 n 项和 Sn3an 3，则 an 的通项公式 an_.回访 2数列求和23(2015 ·全国卷改编 )Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 an0，an2an4Sn3，则 (1) an 的通项公式为 _；(2)设n1，则数列 bn的前n 项和为 _bn n 1a a4(2012 ·国卷全 )数列 an 满足 an 1

2、( 1)nan2n1，则 an 的前 60 项和为 _二、热点题型探究热点题型 1数列中的 an 与 Sn 的关系2an数列 an 中， a1 1，Sn 为数列 an 的前 n 项和，且满足2 anSn Sn1(n2)求数列 an 的通项公式变式训练 1 (1)已知数列 an 前 n 项和为 Sn，若 Sn 2an 2n，则 Sn_.(2)已知数列nnnn*)，则 a 的各项均为正数，其前n 项和为 S，且2S 23a(nNan _.热点题型 2裂项相消法求和已知等差数列 an的公差 ，它的前n项和为n，若5，且d 0SS70a ， a ，a22成等比数列，27(1)求数列 an 的通项公式；

3、113(2)若数列 Sn 的前 n 项和为 Tn ，求证： 6Tn<8.n142 3 8. 变式训练 已知数列 a 是递增的等比数列，且aa 9，a a(1)求数列 an 的通项公式；a(2)设 Sn 为数列 an 的前 n 项和， bnn1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.S Sn n1热点题型 3错位相减法求和已知数列 an和n满足1，1 ， n1n *)，b a 2 b 1 a2a (n N1 1 21 31nn11(nN*)b 2b 3b nb b(1)求 an 与 bn；(2)记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.变式训练 3已知在公比大于f(x)(x 2)(

4、x8)的两个零点(1)求数列 an 的通项公式；1 的等比数列 an 中， a2，a4 是函数(2)求数列 2 nan 的前 n 项和 Sn.三、课后作业1已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an 4(n N* )，则 an ()A2n 1B2nC 2n1D2n 22数列 a 满足 a 1，且当 n2 时， a n1a ，则 a ()nn1nn 1511C 5D6A.5B6SS2 012104在等差数列 an 中， a1 2 012，其前 n 项和为 Sn，若 2 012 10 2 002，则 S2 014 的值等于 ()A2 011B 2 012C2 014D 2 0135中国

5、古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，请问第二天走了()A192 里B96 里C48 里D24 里6(2016 ·西安模拟 )设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，an4Sn3，则 S4 _.7(2016 ·广州二模 )设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a212，Snkn21(nN* )，1则数列 Sn 的前 n 项和为 _8已知 an 的前 n 项和

6、Sn 满足 Sn2an1(nN* )，且 a1 1，则通项公式 an_.9设 an 的前 n 项和为 Sn，S2 4，an 12Sn1，nN* ，则 a1_， S5_.10(2016 郑·州模拟 )已知等差数列 an 中 a25，前 4 项和 S428.(1)求数列 an 的通项公式；(2)若 bn(1)nan，求数列 bn 的前 2n 项和 T2n.11设数列 an 满足 a13a2 32a3 3n 1ann3，nN* .n(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bnan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn.12已知首项都是 1 的两个数列 an ， bn( bn0，nN* )满

7、足 an bn 1an 1bn 2bn 1bn0.an(1)令 cnbn，求数列 cn 的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列 an 的前 n 项和 Sn.数列的通项与求和二轮专题复习（理科）参考答案一、真题回访回访 1an 与n 的关系S1a SS ，aS S，SSSS.又 S 0， 1，n 1n 1nn1n n1n1nn n1n11SnSn1即 1 1 1.又1 1，1是首项为 1，公差为 1 的等差数列，Snn1SSSn11n1 1 (n1)×(1) n，即 S .Snn1当211.2 ( 2)nn 11 a1 ， 1时， S33a2 1当 n 2 时， an SnSn1 3

8、an 3 3an1 3 3(anan 1 )，212a 2a ，即n2， 2，a 是以 1 为首项的等比数列，其公比为nn1anan1n1×(2)n1，即n(2)n1.aa回访 2数列求和3 (1)a 2n 1n22a4S 3，(2)3 2n 3(1) 由 annnn2可知 an1 2an14Sn13.22，得 an1 an2(an1 an) 4an1，2 2即 2(an1an)an1an(an1an)(an1an)由 an >0，得 an1 an2.212a14a13，解得 a1 1(舍去 )或 a13.又 a所以 an 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an2

9、n1.11111(2)由 an2n1 可知 bn22n3 .2n12n 1a a2n3nn1设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2 bn1111111n23557 3.2n12n3 2n34 an1 (1)nan2n1，a2 1 a1，a32a1，a47a1，a5a1 ，a69a1，a7 2 a1，a815a1，a9 a1，a1017 a1，a11 2 a1 ，a1223 a1， ，a57a1，a58113 a1，a59 2 a1，a60119a1，a1 a2 a60 (a1a2 a3a4)(a5a6a7 a8) (a57a58a59a60) 102642 23415×

10、; 10234 1 830.2二、热点题型探究热点题型 1数列中的 an 与 Sn 的关系n解 由已知，当 n2 时，2an n21，na S S2 SnSn12 SnSn1111所以21，2 分即1，所以 SnSn12.4分SnSn1 Sn Sn Sn1Sn又 1a11，所以数列1是首项为，公差为1的等差数列，6分Sn12S所以11n1，即 Sn21 (n1)2.8 分Sn2n1nnn1222.10 分所以当 n2 时， aS S n1nn n 11，n1，因此 an212 分，n2.n n 1 变式训练 1(1)n·2n(nN* )(2)2× 3n1(nN* )(1)

11、由 Sn2an 2n 得当 n1nSn1SnS时， 1 a1 2；当 n2 时， Sn 2(Sn Sn 1 ) 2n ，即 n ，所以数列nS22n112Snnn时，也符是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则 2n n，Sn·2 (n 2)，当 n1合上式，所以 Snn·2n(nN* )(2)因为 2Sn2 3an，所以 2Sn1 2 3an 1 ，由，得 2Sn12Sn3an13an，所以 2an1 3an13an，即an13.an当 n1 时，22S13a1，所以 a12，所以数列 an 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以 an2×3n1(n N*

12、) 热点题型 2裂项相消法求和解(1)由已知及等差数列的性质得S55a3，a3 14，1 分2又 a2，a7，a22 成等比数列，即a7a2·a22.2 分由(a 6d) (a d)(a 21d)且 d0，解得 a 2d，a 6， d 4.4 分1211131nn*.6分故数列 a 的通项公式为 a 4n2，nN1 n21111n aa1 ，8 分(2)证明：由 (1)得 S 2n 4n， 4 nn2Sn22n 4nn 21111113111.10 分Tn 1 n24 324nn28 4 n13111113又 TnT1 43 ，所以 Tn<.12 分82668变式训练 2 解(

13、1)由题设知 a ·aa ·a 8，2 分1423又 a1a49，可得a11，a48或a1 8，a4 1.(舍去 )4 分由 a4a1q3 得公比 q 2，故 an a1qn12n1.6 分(2)Sn a1 1qnnn an 1Sn1 Sn11分1q2 1.8分，又 b，10SnSn1SnSn1SnSn1所以 Tn b1b2 bn 1 1 1 11111 nS1 S2S2 S3Sn11SSSn111 n 1.12分2 1热点题型 3错位相减法求和解(1)由 a1 ， n12an，得n n*).2分2 aa 2 (nN由题意知：当 n1 时， b1b2 1，故 b22.3 分

14、当 n 2 时， 1b bn n1 n分整理得n1，所以 bn *分nb bb .4nn(n N ).6n 1 n(2)由 (1)知 anbnn·2n，因此 Tn22·223 ·23 n·2n，2Tn222 ·233 ·24 n·2n1，8 分所以 Tn 2Tn22223 2n n·2n1.9 分故 Tn(n1)2n12(nN* ).变式训练 3 解 (1)因为 a ，a 是函数 f(x)(x 2)(x8)的两个零点，且等24比数列 a 的公比 q 大于 1，所以 a 2，a 8，2 分n24n1*).6分所以 q

15、2，所以数列 a 的通项公式为 a 2 (n Nnn由(1)知n × n ，所以n2 n×2n， 7 分(2)2na n 2S1×22×22Sn1×222×23 (n 1)×2n n× 2n1， 8 分23nn122n× 2n 1分由，得 S 22 2 2 n× 2 n× 2 ，11n1 2所以 Sn2(n 1)×2n1(nN* ).12 分三、课后作业1A 由 Sn2an4 可得 Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)，即 an 2an 1(n2)

16、又 a12a14，a1 4，所以数列 an 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，则an4×2n12n1，故选 A.n1nn12A 因为 a1 1，且当 n2时， an nan1 ，则 an ，所以 a5an1a5 a4 a3 a243211故选····1，即5××××15.A.a4 a3a2 a1aa 5 4323.C111111，n1 21n2 2nn n22 n n 2 2 11 211111112121 1 132435 n21 31 41n112n 21 31131112 2n 2 .n1n2

17、 4 2 n 1n n1ndSnS4C 等差数列中， Snna12d， n a1(n1)2，即数列 n是首项为dSSd2 01210a1 2 012，公差为 2的等差数列因为 2 012 102 002，所以 (2 01210)2d2 002， 2 1，所以 S2 0142 014(2 012)(2 0141) ×12 014，选 C.5 B 由题意，知每天所走路程形成以a1 为首项，公比为12的等比数列，则1a1 1261 378，解得 a1192，则 a2 96，即第二天走了 96 里故选 B.1 2620nn111时，27a 4S 3，当 n1 时， a4a 3，解得 a 1，

18、当 n2nnn1an1nnan1an1n为4S a 3，4S 3，4a a，3， a 是以 1an11141380× 3204首项， 3为公比的等比数列， S 1814 27.1 37n令 得1S1 k1，令 n 2 得 S2 4k1a1a2k 1 12，2n1n1a2111111，解得 k4，所以 S 4n 1，nS4n 12n1 2n12 2n 1 2n1n21111 1111111则数列 Sn的前 n 项和为 2 132 35 212 112n12n2nn.2n11，n 1，83n N * 由 Sn2an1(n N* )可得 Sn1 2an(n 2， n1· n 2，

19、 n 2，22*nn1nan13*)N)两式相减得： a 2a 2a，即a (n2，nN2n又由 a11 及 Sn2an1(n N* )可得 a212，n 从第二项开始成一个首项为213所以数列 aa2，公比为 的等比数列，231，n1，3nN* .故当 n>1，n N* 时有 an1· n 2，所以有 an2 21· n2，n2，2291121a 2S 1，SS 2S 1，n1nn1nnn1nn11Sn1，数列Sn1是公比为 3 的等比数列，S3S1，S 32221S22 13.又 S24，S1 1，a1 1，S12S512 S112 × 3432×342432，S5121.10解 (1)设等差数列 an 的公差为 d，则由已知条件得a a d 5，214×32 分S44a1 2 ×d28，a11，an a1(n1)×d4n3(n N* ).6 分4 分d4，(2)由 (1)可得 bn (1)nan(1)n(4n 3)，8 分T2n 15913 17 (8n3)4×n4n(nN* ).12 分11 解(1)因为 a13