数列知识点总结学生版

1、五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数， ，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N * ( 或它的有限子集1,2,3,，n) 上的函数 f(n), 当自变量从 1 开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为f(1), f(2), ；通常用 an 代替 f(n) ，于是数列的一般形式常记为ai ,a2, 或简记为an,其中 an 表示数列an 的通项。注意： ( 1)a.与 an 是不同的概念，an表示数列 ai,a2/ , 而 a.表示的是数列的第n

2、 项;(2 ) 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。( 3) an 和 Sn 之间的关系： an*35=1) 一Sn4( n 乏 2)如：已知 an 的 Sn 满足 lg(S n -1) = ng N *)，求 an、等差数列、等比数列的性质:等差数列等比数列如果一个数列从第2 项起，每一项与它 的前一项的如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的定义差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列*a*an-ad( n N ,n >2)，或n -q

3、(n 壬 N ,n2) ，或 an)n =公差(比)an + _ a n - d匹勺 ( q 式 o ) ；an已门 =3m +Bn = 9 m通项公式d = =由错项相减法推得由倒序相加法推得 q 式 1 , Sn =-=求和公 式Sn = -=- -q = 1 , Sn =-1 -右 a. 为等差数列 a*a n+b ，贝 V a = ,b用函数的思想理解 = ; 通 项公式 等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点等差数列 an , Sn =A n2+Bn+C ,则C=;A=;B=;用函数的若C式0，说明：；思想 理解求 和公式(n,S n)在二次函数的图象上，是一群孤立的点。an

4、 为递增数列二： an为递减数列 =:增减性an 为常数列二 -。任意两个数a, b 有且只有一个等差中项，即为：两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。*an = a2 *=*an-m= _ =2a 中若 m+n = p+q ，贝 U:特别当 m + n = 2 p ，则:等差( 比) 数 列在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的性顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的质项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。女口： aj ,a 3,a5 ,：问公差为ai +a? +a3,a4 +a§+a6,a7 +a $ g若 an为等比数列 an= ca n，贝 ya =, C

5、 =:若 an 为等比数列， Sn = Aa n + B ,则 a =:A =:B =:(其中的系数与为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件 qH0,q1 。 )若 BH A，说明：等比数列 an , Sn = 3 n + a，则 a= _； an 为递增数列二: an 为递减数列二: an 为常数列二: an 为摆动数列二:两个数 a, b 的等比中项为：( ab A0 )a1an = a2 =n ma 亠2=a 中若 m + n = p+q ，贝卩:特别当 m + n = 2p，则:在等比数列中，每隔相同的项抽出来的 项按照原来的顺序排列，构成的新数列 仍然是等比数列，剩下的项按

6、原顺序构 成的数列也不一定是等比数列。如: a1 ,a3,a5"': 问公比为印 +a? +a3,a4+a6 ,a7 +a$ +a g是数列；公差为：是数列；公比为：-2 -a1 a2 a3, a4 a5 a6, a7 a$ a?是数列；公比为；Sm ，S2m - S m ，S3m - S 2m ，成等差数列。a1 + a 4 + a7 ,a 2 + a 5 + a 8,a 3+ a6 + a9a1 + a 4 + a 7,a 2 + a 5 + a8,a 3 + a 6 + a9 是数是数列；公比为；列；公差为；右数列an与bn均为等差数列，则右数列a n与bn均为等差数列

7、，则manbn仍为等比数列，公比为；ma n +kb n仍为等差数列，公差为_ ；man仍为等比数列，公比为bn如：（ 1）在等差数列an中Sn =10 ,S2n =30 ，则 Ssn 二 _ ；（2）在等比数列an中Sn =10 ,S2n=30 ，则 二 _；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（ ）等差数列a.中，若an 二 m,a m 二 nm = n，则 _am 寸二；（ 2）等差数列an 中，若Sn二 m, S m _ _ 二 nm =n，则Sm =；（ 3）等差数列an中，若 Sn =Smm ： n，则 a m 卅 *a m42 +* a n = -； Sm+ =（4）右 Sp =

8、 S q，贝 y n = _时，Sn 最大。(5 ) 若an与bn均为等差数列，且前n 项和分别为Sn 与 Tn ,贝 y = S- . ambmT 'b n(6 ) 项数为偶数 2nn a1 a2n n的等差数列 an , 有 S2n（an 与时为中=尹屮）间的两项）S 偶一S奇二项数为奇数 2n -1 的等差数列an，有 S2nv =2n -1an （ an 为中间项）-3 -_ ； S 奇+ S 偶 =等比数列中还有以下性质须注意:（1 若 an是等比数列 ,则 n( =0) , | a n |也是等比数列 ,公比分别 _ ；若 an是等比数列，则2an 也是等比数列，公比分别三

9、、判定方法：（ 1）等差数列的判定方法：定义法：an1 an =d 或 an an =d（ n 亠 2 ） （ d 为常数）二 an 是等差数列 中项公式法： 2an 1= a a a是等差数列nnn 通项公式法： a. = pn ? q（ p,q 为常数） = a. 是等差数列 前 n 项和公式法： Sn = An 2 Bn（代 B 为常数） =an 是等差数列注意：是用来证明an是等差数列的理论依据。（ 2）等比数列的判定方法：ao 定义法：二 q 或 =d （n _ 2 ） （ q 是不为零的常数）二an 是等比数列anan 中项公式法： ani 2 二 an an? 2（anan ?

10、ian.2 =0 ）二an 是等差数列 通项公式法： an 二 cq n（ c,q 是不为零常数）= a. 是等差数列 前 n 项和公式法： Sn =kq 2 -k（ k 二旦是常数）二 an 是等差数列q -1注意：是用来证明an是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（ 1） 观察法：如：（ 1） 0.2 ,0.22,0.222 , （ 2） 21,203,2005,20007,（ 2） 化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。递推式为 an 1 = a n d 及 an* =qa n （ d ,q 为常数）：直接运用等差（比）数列。-4 - 递推式为 an .1 = a

11、n ? f (n) : 迭加法1 1如：已知 an 中 ai, an 1 = an2，求 an24n2 1 递推式为 an q = f (n)a n: 迭乘法n +1、如：已知 an 中 a1 =2 , a* 1an，求 ann 递推式为 an 彳=pa n ? q (p, q 为常数 ) ：an* = pa n + q构造法 ： 1、由 n*H n w 相减得 ( anH2 a n(= p(a an)，则0n_2 =pa +q an % -an 为等比数列。n、设 (an 1 t p(a n t), 得到 pt -1 = q ,7，则 an为等比数列。如：已知 a1 =1, a n 勺. =

12、2a n 5，求 an递推式为an 4 = pa n ' qn (p,q 为常数 ) ：两边同时除去n:： 1 an 1qa n转化为 bn 1 bn再用法解决。如：已知 an 中,a1， an 1= 1 anG) n 1 ，求 an32递推式为an 2二 pan 1qanp, q 为常数 ) ：(将 anpan 1 qan 变形为an tanHt =s(a n 出 tan)，可得出 丿s,t, 于是 an 1 -ta n是公比为 s 的等比数列。2 an，求 an如：已知 a* 中， a1 -1,a - 2 ， an 2 an 13S1, n = 1(3 ) 公式法：运用 an =j

13、Sn - Sn 4 , n A 2已知 Sn =3n 2 5n 1 ，求 an; 已知 an 中,S3 2a n，求 an ；p-1pqp 解出-5 -2Sn(n_2) ，求 an已知 an 中 , ai =1,a n2Sn -1五、数列的求和法：( 1) 公式法：等差 ( 比 ) 数列前 n 项和公式： 12 n 二 _ ；2& 应2 n(n 1)(2n 1),3 心心3n(n 1), 2 123 川 汕 n: 123 川 汕 n 二6 2(2) 倒序相加 ( 乘) 法：女口：求和： Sn =C0 ? 2C 1 - 3Cn ( n ? 1)C ：；已知 a,b 为不相等的两个正数，若

14、在a,b 之间插入 n 个正数，使它们构成以a 为首项， b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积 pn ；(3 ) 错位相减法：女口：求和：S = x 2x 2 3x 3 亠 亠 nx n1(4 ) 裂项相消法 :ann(n k)1 1 1如：S=n (n 1)1X22><33X4丄?丄132 4n (n 2)若 an，则 Sn(5) 并项法：如：求 S100 =1 -2 ? 3-4? 99-100(6 ) 拆项组合法：如：在数列 an中， an =10 n 2n T , 求 Sn ，六、数列冋题的解题的策略:( 1) 分类讨论问题：在等比数列中，用前n 项和公式时，要对公比q 进行讨论；只有 q = 1时才能用前 n 项和公式， q = 1 时 $ = na 1已知 Sn 求 an 时，要对 n =1, n 一 2 进行讨论；最后看a1 满足不满足an(n - 2) ，若满足 an 中的