高等代数课件(北大版)第七章 线性变换§7.4

1、2021-12-15数学与计算科学学院数学与计算科学学院数学与计算科学学院从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使的基，使v的某个线性变换在这组基下的矩阵就是的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵一个对角矩阵?有限维线性空间有限维线性空间v中取定一组基后，中取定一组基后，v的任一线性的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，为了研究线性变换性质，数学与计算科学学院设是数域设是数域p上线性空间上线性空间v的一个线性变换，的一个

2、线性变换， 则称则称为为 的一个的一个特征值特征值，称为的属于特征值，称为的属于特征值0 0( ), 若对于若对于p中的一个数存在一个中的一个数存在一个v的非零向量的非零向量, 0, 使得使得的的特征向量特征向量. 0 数学与计算科学学院 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 00()( )()()kkkk 相同相同 或相反或相反0(0) 0(0). 0( )0,0. 时时 若若 是是 的属于特征值的特征向量的属于特征值的特征向量，则，则 0 也是也是 的属于的特征向量的

3、属于的特征向量. (,0)kkp k 0 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则若且，则( )( ) . 数学与计算科学学院设设 是是v的一组基，的一组基，12dim,nvn 线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为a. 12,n 下的坐标记为下的坐标记为 010,nxx 设是的特征值，它的一个特征向量在基设是的特征值，它的一个特征向量在基0 则则 在基下的坐标为在基下的坐标为( ) 010,nxax 12,n 数学与计算科学学院而而 的坐标是的坐标是0 0100,nxx 0010100,nnxxaxx 于是于是0( ) 又又001

4、0()0.nxeax 从而从而 0100,0,nxx 又又即即 是线性方程组是线性方程组 的解，的解，010nxx 0()0ea x 有非零解有非零解. 0()0ea x 所以它的系数行列式所以它的系数行列式 00.ea 数学与计算科学学院以上分析说明：以上分析说明：若是的特征值，则若是的特征值，则00.ea 0 反之，若满足反之，若满足0p 00,ea 则齐次线性方程组有非零解则齐次线性方程组有非零解. 0()0ea x 若是一个非零解，若是一个非零解，0()0ea x 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.则向量就是的属于的一个则向量就是的属于的一个0110 nnxx 0 数学与计算

5、科学学院设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩阵称为,n nap ea 111212122212.( )nnnnnnaaaaaaaeaaaaf 称为称为a的的特征多项式特征多项式. a的的特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 （是数域（是数域p上的一个上的一个n次多项式）次多项式）( )af 数学与计算科学学院 矩阵矩阵a的特征多项式的根有时也称的特征多项式的根有时也称为为a的特征值的特征值, , 若矩阵若矩阵a是线性变换关于是线性变换关于v的一组基的矩阵的一组基的矩阵， 而是的一个特征值，则是特征多项式而是的一个特征值，则是特征多项式0 ( )af 0 的根，即的根，即0()0.af

6、的一个特征值的一个特征值.反之，若是反之，若是a的特征多项式的根，则就是的特征多项式的根，则就是0 0 （所以，特征值也称（所以，特征值也称特征根特征根.）而相应的线性方程组而相应的线性方程组 的非零解也就的非零解也就()0ea x 称为称为a的属于这个特征值的特征向量的属于这个特征值的特征向量. .数学与计算科学学院 i) 在在v中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下 12,n 就是的全部特征值就是的全部特征值. ii) 求求a的特征多项式的特征多项式 在在p上的全部根它们上的全部根它们ea 的矩阵的矩阵a .iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入

7、方程组()0ea x 的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.) 并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值12,n 数学与计算科学学院 1,1,2,niijjjcir 则则就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性的全部线性无关的特征向量无关的特征向量. 0 而而1122,rrkkk（其中，不全为零（其中，不全为零） 12,rk kkp 就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.0 111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc如果特征值如果特征值 对应方程组的

8、基础解系为：对应方程组的基础解系为：0 数学与计算科学学院对皆有对皆有(0),v ( ).kk () .nekek所以，所以，v中任一非零向量皆为数乘变换中任一非零向量皆为数乘变换k的特征向量的特征向量.例例1.在线性空间在线性空间v中，数乘变换中，数乘变换k在任意一组基下在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵的矩阵都是数量矩阵ke，它的特征多项式是，它的特征多项式是故数乘法变换故数乘法变换k的特征值只有数的特征值只有数k，且，且数学与计算科学学院1 2 22 1 2 ,2 2 1a 解：解：a的特征多项式的特征多项式 122212221ea 2(1) (5)例例2.设线性变换设线性变换在基在基 下

9、的矩阵是下的矩阵是 123, 求特征值与特征向量求特征值与特征向量. 故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重） 121,5 数学与计算科学学院 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 1 ()0,ea x 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx它的一个基础解系为它的一个基础解系为： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为1 113223,而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为1 1 12212,(,)kkk kp 不全为零不全为零 数学与计算科学学院因此，属于因

10、此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 5 ()0,ea x 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为： (1,1,1)3123而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为3333,(,)kkpk 0 0 123123123422024202240 xxxxxxxxx 数学与计算科学学院： 00v 再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即000()( )( )() 设设 为为n维线性空间维线性空间v的线性变换的线性变换，为为0 的一个特征值，令的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量为的属于的全部特征向量0v

11、 0 则则 是是v的一个子空间的一个子空间, 称之为的一个称之为的一个特征子空间特征子空间. 0v 00()( )()()kkkk 00,vkv数学与计算科学学院的解空间的维数，且由方程组的解空间的维数，且由方程组(* *)得到的属于的得到的属于的0 若在若在n维线性空间维线性空间v的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为a，则，则 00dim()vnea 秩秩即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组0v 0()0ea x (* *)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基.0v 数学与计算科学学院1. 设设 则则a的特征多项式的特征

12、多项式 ,n nijaap 111212122212.nnnnnnaaaaaaeaaaa 11221()( 1)nnnnnaaaa 由多项式根与系数的关系还可得由多项式根与系数的关系还可得 a的的全体特征值的积全体特征值的积.a a的全体特征值的和的全体特征值的和1122.nnaaa称之为称之为a的迹的迹,记作记作tra.数学与计算科学学院证证:设设 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵x，使得使得,ab 1bxax 11xexxax 1()xea x 1xea x 相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特征多项式. .1ebexax 于是，于是，ea 数学与计算科学学院 有相同特征多项式的矩

13、阵未必相似有相同特征多项式的矩阵未必相似. .成是成是矩阵矩阵a的特征值与特征向量的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但它们的特征多项式都是，但a、b不相似不相似.2(1) 多项式多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说；而线性变换的特征值与特征向量有时也说 因此因此,矩阵矩阵a的特征多项式也说成是的特征多项式也说成是线性变换的特征线性变换的特征 由由定理定理6线性变换的特征值与基的选择无关线性变换的特征值与基的选择无关. 如如 1 01 1,0 10 1ab数学与计算科学学院设设 为为a的特征多项式的特征多项式, , 则则,( )n napfea 11221( )()( 1)0.n

14、nnnnf aaaaaaa e 证证: 设设 是是 的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则( )bea ( )()( )beaea efe都是都是的多项式，且其次数不超过的多项式，且其次数不超过n1. 又的元素是的各个代数余子式，它们又的元素是的各个代数余子式，它们( )b ea 因此，可写成因此，可写成( )b 零矩阵零矩阵数学与计算科学学院120121( )nnnnbbbbb其中，都是其中，都是 的数字矩阵的数字矩阵.011,nb bb nn 再设再设111( )nnnnfaaa 则，则，111( )nnnnfeeaeaea e 而而1201021( )()()()nnnbeabbb abb a12

15、1()nnnbbaba 比较比较、两式，得两式，得数学与计算科学学院01012121211nnnnnbebb aa ebb aa ebbaaebaa e 以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、第二式、1,nnaaa e 、第、第n式、第式、第n1 1式，得式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnb aab ab aa ab ab aa ababaaabaa e 数学与计算科学学院把把的的n1 1个式子加起来，即得个式子加起来，即得121120nnnnnaa aa aaaa e ( )0.f a4. 设为有限维线性空间设为有限维线性空间v v的线性变换，是的线性变换，是( )f ( )0.f 的特征多项式，则的特征多项式，则零变换零变换数学与计算科学学院例例3. 设求设求10201 1 ,0 10a8542234.aaaae3( )21fea解：解：a的特征多项式的特征多项式用去除得用去除得( )f 8542234( ),g532( )( )(245914)gf2(243710)数学与计算科学学院( )0,f a 85422234243710aaaaeaae3 482609561061 34 数学与计算科学学院：已知为已知为a的一个特征值，则的一个特征值，则,n nap （1） 必有一个特征值为