最新【金版学案】-学年高中数学第2章数列章末知识整合苏教版必修5名师精编资料汇编

1、【金版学案】2014-2015 学年高中数学第 2 章 数列章末知识整合苏教版必修 5题型 1求数列的通项公式一、观察法写出下列数列的一个通项公式：(1)1 ， 7,13 ， 19,25 ，5133381(2)2 ，2， 4 ， 8 ，16，(3) 2， 4 ，1， 4， 2，71125(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系， 以及所给数列与一些特殊数列之间的关系解析： (1) 原数列的各项可看成数列a ：1， 1,1 ， 1，与数列 b ：1,7,13,19,25，nn对应项相乘的结果又 an ( 1) n 1， bn1 6(n 1) 6n

2、 5.故原数列的一个通项公式为c ( 1)n15)(6nn(2) 原数列可改写成11111 20， 2 21，3 22， 4 23，.1故其通项公式为an n2n 1.4(3) 这个分数数列中分子、 分母的规律都不明显， 不妨把分子变成 4，然后看分母， 从而有 ，1444411， 8， 5，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an4.17 3n(4) 注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成1 0,2 1,3 0,4 1,5 0,6 1，1n所以原数列的通项公式为an n 22.?归纳拓展(1) 观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键(2)由数列的前

3、n 项归纳出的通项公式不一定唯一如数列5,0 ， 5,0,5，的通项公式可为*n*5cos(n N) ，也可为 an 5sin(n N) 22(3)已知数列的前 n 项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列如( 1) n ， n ，n 1212n 1 ， 2n， 2 ， n ， n 等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式?变式迁移1写出下列数列的一个通项公式(1)1 ， 1， 1， 1 ，；4916(2) 2， 6， 2 3， 2 5，；(3)1,3,6,10,15，；(4)1 ， 4,7 ， 10,13 ，.n1 1解析： (1)a n( 1)n2.(2)原数列可写

4、成2，6，12， 20，易得 an.(3)3 1 2,6 1 2 3,10 12 3 4,15 12 3 4 5，a 1 2 3n.n2(4)1,4,7,10,13，组成 1为首项， 3 为公差的等差数列，易得nn1(3n2)a ( 1)S1， n1，二、利用 an求 anSn Sn1，n2nn 的前 n 项的和，且n3 n*n 的通项公式设 S为数列 aS 2(a 1)(nN ) ，求数列a分析：由 Sn 与 an 的关系消去 Sn( 或 an) ，转化为 an ( 或 Sn) 的递推关系求解31) ，解析： S2(ann3当 n 1 时， S1 a12(a 1 1) ，解得 a1 3.当

5、n2时，33anSn Sn 1 2(a n 1) 2(a n1 1) ，得an 3，an 1当 n2时，数列 a n 是以 3为公比的等比数列，且首项a2 3a1 9.n 2nn2时， a 9×3 3 . 显然 n 1 时也成立n故数列的通项公式为n*a 3 (n N) n?归纳拓展已知数列的前 n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是 an Sn Sn 1(n 2) 这里常常因为忽略了 n2的条件而出错，即由 an SnSn 1 求得 an 时的 n 是从 2 开始的自然数，否则会出现当 n 1 时 Sn 1 S0，而与前 n 项和定义矛盾可见由 an Sn Sn1 所确定的 an

6、，当1 时的 a1 与 S1 相等时， an 才是通项公式，否则要用分段函数表示为nS1，anSn Sn1?变式迁移2设数列 a n 的前 n 项和为 Sn，数列 S n 的前 n 项和为 Tn，满足 Tn 2Sn n2，nN* .(1) 求 a1 的值解析： (1) 当 n 1 时， T1 2S1 1，而 T1 S1 a1，a1 2a11，解得 a1 1.(2) 求 a n 的通项公式解析： (2)n 2时， S T T2 2S (n 1)2 2S 2n 1.2S n 2Snnn 1nn 1nn 1Sn 2Sn1 2n 1，S 2S 2n 1，n 1n得 an 1 2an 2，an 1 2即

7、 an 12 2(a n 2) ，亦即 2.a 2na221222 2，a3， a 2 6， a1a n 2 是首项为 3，公比为2 的等比数列，n 1，故 an1 2.a 23·23·2nn三、叠加法已知数列 a n 满足 a1 1， an 3n 1 an 1(n 2) (1) 求 a2， a3；3n 1(2) 证明 an 2 .分析：已知a1，由递推公式可以求出a2 ，a3，因为 an 3n 1 an 1 属于 an1 an f(n) 型递推公式，所以可以用叠加法求出an.解析： (1) a1 1，a2 3 14， a3 32 4 13.(2) 由已知 an an1 3n 1，令 n 分别取 2,3,