北师版九年级上册数学：1.2直角三角形(二)

1、北 师 大 八 年 级 数 学 ( 下 ) 课首三角形全等的判定w公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.w推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.w想一想:w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.w如果其中一边的所对的角是直角呢?w如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.w请证明你的结论.命题的证明命题的证明 我能行我能行w命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

2、w证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:来源来源:学学*科科*网网来源来源:z*x*x*kABC ABCABC(1)(2)(3)由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;w因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 来源来源:学学*科科*网网来源来源:z*x*x*k命题的证明命题的证明 我能行我能行w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.已知:如图,在ABC和ABC中, AC=AC , AB=AB, C=C=900.求证:ABCABC.ABCABCw分析

3、:w要证明ABCABC ,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定定理及其定理及其三种语言三种语言 我能行我能行l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).w如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , wAC=AC , AB=AB(已知),wRtABCRtABC(HL).ABCABC用三角尺作角平分线用三角尺作角平分线 做一做做一做l再过点M作OA的垂线,l如图:在已知AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;l过点N作OB

4、的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是AOB的平分线.l请你证明OP平分AOB.ABOP老师期望:你能写出它的证明过程吗?MNl已知:如图,OM=ON,PMOM,PNON.l求证:AOP=BOP.l先把它转化为一个纯数学问题:证明： PMOM,PNON MOP和 NOP都是直角三角形.OM=ON,OP=OPRtMOPRtNOP(HL).POM= NOP(全等三角形的对应角相等）射线OP是AOB的平分线.蓄势待发蓄势待发w如图如图, ,已知已知ACB=BDA=900 , 要使ABCBDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.l增加AC=BD;议一议议一议ABCDl增加BC=AD;l增加ABC=

5、BAD ;l增加CAB=DBA ;l你能分别写出它们的证明过程吗?l若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?Ol你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?l你能分别写出它们的证明过程吗?知识在于积累知识在于积累w判断下列命题的真假,并说明理由:w两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w两直角边对应相等的两个直角三角形全等;w老师期望:w请分别将每个判断的证明过程书写出来.w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.开启智慧：习题1.5 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,D

6、FAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.w求证: ABC是等腰三角形. 分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC; 进而需要证明BC所在的BDFCDE;而BDFCDE的条件: 从而需要证明B=C; BD=CD,DF=DE均为已知.因此, ABC是等腰三角形可证.DBCAFE证明：D是ABC的BC边上的中点，BD=CD.DEAC,DFAB, BFD=CED=90 在RtBFD和RtCFD中BD=CD, DE=DFRtBFD RtCFD(HL)B=C(全等三角形的对应角相等)AB=AC(等角对等边)习题1.5 独立作业独立作业2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E

7、,F,DE=BF.求证:(1)AE=AF;(2)ABCD. BCAEDF分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证. 需要证明内错角A=C;而由ABFCDE可得证. (2)要证明ABCD, 由已知条件, AB=CD,DEAC,BFAC, DE=BF.可证得ABFCDE,从而可得AF=CE.（1）证明： DEAC,BFAC在RtABF和RtCDE中AB=CD，DE=BF RtABFRtCDE(HL) CE=AF(全等三角形的对应边相等）CE-EF=AF-EFAE=AF(2) RtABFRtCDE(已证）A=C(全等三角形的对应角相等) ABCD(内错角相等，两直线平行）回味无穷 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).w 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.w 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述综上所述,直角三角形全等