华东交通大学材料力学 轴向拉压

1、13113:17:45构件构件组成机器或结构物的部件组成机器或结构物的部件壳壳块块材料力学主要研究的对象是材料力学主要研究的对象是杆件杆件.按其形状和作用可分为四大类：按其形状和作用可分为四大类：杆：杆：长度方向尺寸长度方向尺寸其横向尺寸其横向尺寸板板: :一个方向的尺寸一个方向的尺寸1n1）引入安全系数的原因：引入安全系数的原因：1 1、作用在构件上的外力常常估计不准确；、作用在构件上的外力常常估计不准确；2 2、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，因此工、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，因此工 作应力均有一定程度的近似性；作应力均有一定程度的近似性； 3 3、材料均

2、匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，且小试样、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等。还不能真实地反映所用材料的性质等。拉伸与压缩拉伸与压缩/许用应力许用应力13113:17:49构件拉压时的强度条件构件拉压时的强度条件maxmaxNFA拉伸与压缩拉伸与压缩/强度条件强度条件其影响因素：1. 外力；外力；2. 截面；截面；3. 材料。材料。13113:17:49可以解决三类问题：可以解决三类问题：1 1、选择截面尺寸选择截面尺寸; ;例如已知例如已知 ，则，则 ,max,NFmax,NFA 2 2、确定最大许可载荷确定最大许可载荷，如已知，如已

3、知 ，则，则 ,Amax, AFNAFN, ,max,3 3、强度校核、强度校核。如已知。如已知 ，则，则AFN max,max 拉伸与压缩拉伸与压缩/强度条件强度条件13113:17:4912CBA1.5m2mF 例题例题1 1 图示结构，钢杆图示结构，钢杆1 1：圆形截面，直径：圆形截面，直径d=16 mm,d=16 mm,许用许用 应力应力 ；木杆；木杆2 2：方形截面，边长：方形截面，边长 a=100 mm, a=100 mm, ,(1) ,(1)当作用在当作用在B B点的载荷点的载荷 F=2 F=2 吨时，校核强吨时，校核强 度；度；(2)(2)求在求在B B点处所点处所 能能 承受

4、的许用载荷。承受的许用载荷。MPa1501MPa5 . 42解：解：一般步骤一般步骤：外力外力内力内力应力应力利用强度条利用强度条件解决三类件解决三类问题问题拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:49F1、计算各杆轴力、计算各杆轴力1NF2NF2NF211NF122cossinNNNFFFF,431（拉）FFN解得解得12CBA1.5m2mF（压）FFN452B拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:492 2、F=2 吨时，校核强度吨时，校核强度1杆：杆：31123132109.8416104NFA77.681076.8PaMPa12杆：杆：32223252109.8410

5、010NFAMPa5 .22因此结构正应力强度足够。因此结构正应力强度足够。拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:493 3、F 未知，求许可载荷未知，求许可载荷F各杆的许可内力为各杆的许可内力为11max, 1 AFN62101504dKN15.3022max,2 AFN62105.4 aKN45两杆分别达到许可内力时所对应的载荷两杆分别达到许可内力时所对应的载荷max,1max34NFFKN2.4015.30341杆：杆：拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:49max,2max54NFFKN3645542杆：杆：确定结构的许可载荷为确定结构的许可载荷为KNF36分析讨

6、论：分析讨论： 和和 是两个不同的概念。因为结构中各杆是两个不同的概念。因为结构中各杆并不同时达到危险状态，所以其并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先许可载荷是由最先达到许可内力的那根杆的强度决定。达到许可内力的那根杆的强度决定。FNF拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50八、八、 连接部分的强度计算连接部分的强度计算（自学）（自学）13113:17:50第三章第三章轴向拉压变形轴向拉压变形13113:17:501. 引言引言2. 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理3. 桁架节点位移分析与小变形概念桁架节点位移分析与小变形概念4. 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变

7、能5. 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题6. 热应力与初应力热应力与初应力13113:17:50一、引一、引 言言研究轴向拉压变形的目的：研究轴向拉压变形的目的：1. 分析刚度问题；分析刚度问题；2. 求解轴向拉压静不定问题求解轴向拉压静不定问题拉伸与压缩拉伸与压缩/引言引言13113:17:50二、拉压杆的变形与叠加原理二、拉压杆的变形与叠加原理13113:17:50（一）、轴向伸长（纵向变形）（一）、轴向伸长（纵向变形）lFF1l纵向的绝对变形纵向的绝对变形lll1纵向的相对变形（轴向线变形）纵向的相对变形（轴向线变形）llb1b拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形拉压杆的变形（线）应变

8、（线）应变13113:17:50（二）、虎克定律（二）、虎克定律实验证明：实验证明：AFll 引入比例常数引入比例常数E, 则则EAFll EAlFN（虎克定律）（虎克定律）E表示材料弹性性质的一个常数，表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹称为拉压弹性模量性模量，亦称，亦称杨氏模量杨氏模量。单位：。单位：MPa、GPa.例如一般钢材例如一般钢材: E=200GPa。拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形拉压杆的变形13113:17:50E虎克定律另一形式：虎克定律另一形式： 虎克定律的适用条件虎克定律的适用条件：（1）材料在线弹性范围内工作，即）材料在线弹性范围内工作，即 （ 称为比例极限）；称

9、为比例极限）； pp（2）在计算杆件的伸长）在计算杆件的伸长 l 时，时，l长度内其长度内其 均应为常数，否则应分段计算或进行积分。例如均应为常数，否则应分段计算或进行积分。例如AEFN,lEA,EA杆件的杆件的抗拉压刚度抗拉压刚度O3F4F2FBCD1）331122(OB段、段、BC段、段、CD段长度均为段长度均为l.)拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形拉压杆的变形13113:17:50应分段计算总变形。应分段计算总变形。niiiiNiAElFl1即即OBBCCDllll O3F4F2FBCD1）331122(OB段、段、BC段、段、CD段长度均为段长度均为l.)332211EAlFEAlF

10、EAlFNNNEAFlAEFlAEFl2)2()()2(3EAFl3 叠加原理叠加原理拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理13113:17:502）考虑自重的混凝土的变形。考虑自重的混凝土的变形。qlNEAdxxFl)(（三）、横向变形（三）、横向变形 泊松比泊松比b1b横向的绝对变形横向的绝对变形bbb1横向的相对变形（横向线变形）横向的相对变形（横向线变形）bb拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形拉压杆的变形13113:17:50实验证明实验证明：或或 称为称为泊松比泊松比，如一般钢材，如一般钢材， =0.25-0.33=0.25-0.33。四、刚度条件四、刚度

11、条件ll（许用变形）（许用变形） 根据刚度条件，可以进行根据刚度条件，可以进行刚度校核刚度校核、截面设计截面设计及及确定许可载荷确定许可载荷等问题的解决。等问题的解决。拉伸与压缩拉伸与压缩/拉压杆的变形与泊松比拉压杆的变形与泊松比13113:17:50三、桁架节点位移分析与小变形概念三、桁架节点位移分析与小变形概念13113:17:50桁架的变形通常以节点位移表示。桁架的变形通常以节点位移表示。12CBA1.5m2mF求节点求节点B的位移。的位移。FB1NF2NF解：解：1 1、利用平衡条件求内力、利用平衡条件求内力拉伸与压缩拉伸与压缩/节点位移分析节点位移分析13113:17:5012BAC

12、1B1l2B2lBB 902 2、沿杆件方向绘出变形、沿杆件方向绘出变形注意：注意：变形必须与内力一致变形必须与内力一致。拉力拉力伸长；压力伸长；压力缩短缩短3 3、以垂线代替圆弧，、以垂线代替圆弧，交点即为节点新位置。交点即为节点新位置。4 4、根据几何关系求出、根据几何关系求出水平位移水平位移 和和垂直位移（垂直位移（ ）。）。1BB1BB 拉伸与压缩拉伸与压缩/节点位移分析节点位移分析13113:17:5011lBBH12BAC1B1l2B2lB 901.5m2m1111AElFN1BBV FDFBFB 1FBBD 122cossintanlll mm5223.0mm157.1已知已知

13、,10,21021GPaEGPaE24tan1.5321sintanll拉伸与压缩拉伸与压缩/节点位移分析节点位移分析13113:17:50例题例题2 2 已知已知ABAB大梁为刚体，拉杆直径大梁为刚体，拉杆直径d=2cm,E=200GPa,d=2cm,E=200GPa, =160MPa.=160MPa.求：求：(1)(1)许可载荷许可载荷F,F,（2 2）B B点位移。点位移。CBAF0.75m1m1.5mD拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50F1m1.5mBADAyFAxFNF解解：(1)(1)由由CDCD杆的许可内力杆的许可内力 许可载荷许可载荷 F NFAFN由强度条件

14、：由强度条件：621016002.04KN24.50由平衡条件：由平衡条件：0AMsinADFABFNABADFFNsin5 . 2175. 0/75. 0124.502KN06.12拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50(2)(2)、B B点位移点位移EAlFlCDNCDm310CBAF0.75m1m1.5mDDBsin1DDDDCDl1Dm31067.1BABDADABADBBDD)/(ABADDDBBm31017.4拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50 例题例题3 3 图示为一图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在悬挂的等截面混凝土直杆，求在自重作用下杆的内

15、力、应力与变形。已知杆长自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长 l、A、比重比重 （ ）、）、E。3/ mN解：解：（1 1）内力）内力mmx mmx)(xFN由平衡条件：由平衡条件：0 xF0)( AxxFNAxxFN)(ldx拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50NFxol mmxmaxNFx)(xFNAlFlxNmax,时，（2 2）应力）应力AxFxN)()(xllxmax由强度条件：由强度条件：maxl拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50lxNEAdxxF)( x（3）变形）变形取微段取微段 dx)(xFNNNdFxF)(EAdxxFldN)()(lx

16、EAAxdx截面截面m-m处的位移为：处的位移为：dxmm)(222xlE杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：Ellx220EAllA2)(EAWl21拉伸与压缩拉伸与压缩/例题例题13113:17:50拉伸与压缩拉伸与压缩/小变形概念小变形概念小变形小变形的定义：与结构原尺寸相比为很小计算简化计算简化：1、计算约束反力和内力，采用 结构原尺寸，不计变形 ； 2、分析位移，以切线切线代替圆弧13113:17:50四、拉压与剪切应变能四、拉压与剪切应变能13113:17:50PLL 222222LLEAEALFEALPN()VW外力功LP 21oLBPA式中式

17、中 轴力，轴力，A 截面面积截面面积NF变形能（应变能）变形能（应变能）: :弹性体在外力作用弹性体在外力作用下产生变形而储存的能量，以下产生变形而储存的能量，以 表示表示。V轴向拉压应变能轴向拉压应变能13113:17:50ALLFN2121应变能密度应变能密度 单位体积内的应变能，以单位体积内的应变能，以 表示。表示。vVvVLLAFN2122122EE轴向拉压应变能轴向拉压应变能13113:17:50 求如图所示杆系的应变求如图所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理能，并按弹性体的功能原理(V=W )求结点求结点A的位移的位移 A。 已知：已知：P = 100 kN，杆长，杆长 l =

18、2 m，杆的直径，杆的直径 d = 25 mm， = 30，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210 GPa。例题例题 轴向拉压应变能轴向拉压应变能/例题例题13113:17:50 利用利用V=W 只能求只能求P力的作用点沿力的作用点沿P力方向的力方向的位移。本题中由对称性可知，位移。本题中由对称性可知，A点的水平位移点的水平位移 Ax=0，只有竖直位移，只有竖直位移 Ay ，即，即 A= Ay所以可用所以可用1/2 P A = V求求 A 。分析：分析：轴向拉压应变能轴向拉压应变能/例题例题13113:17:5022N1239322cos22100 10 N(2 m)2cos30210 10

19、 Pa(25 10m)464.67 N m64.67 JPlF lVEAEA1. 求结构的应变能求结构的应变能 由节点由节点A的平衡方程求得的平衡方程求得FN1= FN2 = P/2cos 结构的应变能为结构的应变能为轴向拉压应变能轴向拉压应变能/例题例题13113:17:502. 求结点求结点A的位移的位移3322 64.67 N m100 10 N1.293 10m1.293mm ( )AVP21VPA 轴向拉压应变能轴向拉压应变能/例题例题13113:17:50 五、简单拉压静不定问题五、简单拉压静不定问题13113:17:50yxFN2FN1FPABDFP 平衡方程为平衡方程为N1N2

20、P0coscos0yFFFFN1N 20sinsin0 xFFF拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:50FPABDyxFN2FN1FP 平衡方程为平衡方程为N1N2N3P0coscos0yFFFFFN1N 20sinsin0 xFFF未知力个数：未知力个数：3 3平衡方程数：平衡方程数：2 2未知力个数未知力个数平衡方程数平衡方程数FN3拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:50拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:50例题例题4 4 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静

21、定，试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次静不定？则为几次静不定？FPDBACE(a)(a)静定。未知内力数：静定。未知内力数：3 3 平衡方程数：平衡方程数：3 3(b)(b)静不定。未知力数：静不定。未知力数：5 5 平衡方程数：平衡方程数：3 3 静不定次数静不定次数=2=2拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题FPDBAC13113:17:51FP(c)(c)静不定。未知内力数：静不定。未知内力数：3 3 平衡方程数：平衡方程数：2 2 静不定次数静不定次数=1=1拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:51FP

22、 l3 l2 l1 E3A3 l3E2A2 l2=E1A1 l1E1A1 1 l1 1ABCD A coscos3321llllN3 3N1 13123311,F lF llllE AE A 物理关系物理关系拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:51将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：1111N333N3cosAElFAElF由平衡方程、补充方程接出结果为：由平衡方程、补充方程接出结果为：33311233112N1Ncos21cosAEAEAEAEFFF33311N3cos21AEAEFF( (拉力拉力) )

23、( (拉力拉力) )拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:51例题例题5 5 图示结构中，图示结构中，BCBC杆为刚性杆杆为刚性杆,1,1、2 2杆的抗拉压杆的抗拉压刚度均为刚度均为EA,EA,试求在铅垂载荷试求在铅垂载荷P P作用下作用下1 1、2 2杆轴力？杆轴力？13m2m3m245PCDBFE刚性杆刚性杆拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13113:17:51拉伸与压缩拉伸与压缩/简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题13m2m3m245PCDBFE刚性杆刚性杆2l1lEC122;2EElCClBEBCEECC13113:17

24、:51 六、热应力与初应力六、热应力与初应力13113:17:51桥梁温度裂缝13113:17:5113113:17:51热应力（温度应力）热应力（温度应力）在静不定结构中，由于温度在静不定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制，因此在杆内将产生变化引起的变形受到约束的限制，因此在杆内将产生内力和应力，称为热应力和温度应力。内力和应力，称为热应力和温度应力。温度内力引起的弹性变形温度内力引起的弹性变形由温度变化引起的变形由温度变化引起的变形杆件的变形杆件的变形拉伸与压缩拉伸与压缩/热应力热应力13113:17:51 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。

25、所示。试求当温度升高试求当温度升高 t 时横截面上的温度应力。杆的时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为横截面面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，线膨胀系，线膨胀系数为数为 l。例题例题6 6拉伸与压缩拉伸与压缩/热应力热应力13113:17:511. 若若AB杆仅杆仅A端固定，端固定，B端无约束，当温度升高端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长时，只会产生纵向伸长 lt，而不会产生内力。当，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，均为固定端时， lt受到约束不能自由伸长，受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力杆端产生约束力FA和和FB。两个未知力，一个平衡。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。方程，为一次静不定问题。(b)解：解：拉伸与压缩拉伸与