三年级奥数专题知识要点系列之方阵问题练习

1、1. 有一队士兵 ,排成了一个方阵 ,最外层一周共有 240 人,问 这个方阵共有多少人 ?2. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层 每边有 20 个学生 ,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生 这个四层空心方阵共有多少个学生 ?3. 六一儿童节前夕 ,在校园雕塑的周围 ,用 204 盆鲜花围 成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆 ?4. 三年级 (1) 班的学生参加体操表演 ,排成队形正好是由 每 7 个人为一边的 6 个三角形组成的一个正六边形 ,求正六边 形一周共有多少名学生 ?三(1) 班参加体操表演的共有多少人5. 现有松树和柏树以隔株相间的种法 ,种成 9

2、 行 9 列的方 阵 ,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵 ? 三年级奥数知识要点系列之方阵练习答案（2）（20-2 ×3-1） ×4=42（ 个 ） （20-40 ×4×4=256（ 个）（3）最外层每边人数 = 总数÷4÷层数+ 层数204 ÷4 ÷3+3=20（ 盆）（4）7 ×6-6=36（ 人 ） 7×12-6 ×2-5=67（ 人 ）（5）最外层松柏各是 :（9-1） ×4÷2=16（ 棵）共有松柏树是 :（9 ×

3、9+1） ÷2=41（ 棵）81-41=40（ 棵）答:柏树 41 棵,松树 40 棵 ,或松树 41 棵 ,柏树 40 棵。士兵排队 ,横着排叫行 ,竖着排叫列 ,若行数与列数都相等 正好排成一个正方形 ,这就是一个方队 ,这种方队也叫做方阵 （亦叫乘方问题 ）。方阵的基本特点 : （1）方阵不论哪一层 ,每边上的人 （或物 ）数量都相同 ,每向里一层 ,每边上的 人数就少 2（2）每边人 （或物 ）数和四周人 （或物 ）的关系 ;四周人 （或物）数= 每边人 （或物 ）数-1 ×4每边人 （或物）数= 四周人 （或物 ）数÷4+1（3）中实方阵的总人数 （或物

4、 ）= 每边人 （或物 ）数×每边人 （或物 ）数（4）空心方阵的总人 （或物 ）数=（最外层每边人 （或物）数 空心方阵的层数）×空心方阵的层数× 4例 1. 三年级一班参加运动会入场式 ,排成一个方阵 ,最外 层一周的人数为 20 人 ,问方阵最外层每边的人数是多少 ?这 个方阵共有多少人 ?分析 :根据四周人数与每边人数的关系可知 :每边人数 = 四周人数÷ 4+1, 可以求出这个方阵最外层每 边的人数 ,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1) 方阵最外层每边的人数 :20 ÷4+1=5+1=6( 人)(2) 整个方阵共有学生人数

5、 :6×6=36( 人) 答:方阵最外层每边的人数是 6 人,这个方阵共有 36 人。 例 2. 明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子 15 个 ,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋 子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子 ?分析:(1)方阵每向里面一层 ,每边的个数就减少 2 个,知道 最外面一层 ,每边放 15 个,可以求出最里层每边的个数 ,就可 以求出最里层一周放棋子的总数。(2) 根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方 阵的层数 ,再乘以层数 ,再乘以 4, 计算出这个空心方阵共用棋 子多少个。解:(1) 最里层一周棋子的个数是 :(15-2-2-1)

6、 ×4=40( 个)(2) 这 个 空 心 方 阵 共 用 的 棋 子 数 是 :(15-3) ×3 ×4=144（ 个 ）答:这个方阵最里层一周有 40 个棋子 ;摆这个空心方阵共 用 144 个棋子。例 3. 玲玲家的花园中 ,有一个如下图那样 ,由四个大小相 同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花 ,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵 ,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵 ?玲玲一共种鸡冠花多 少棵?分析 :(1) 由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形 的边组成的 ,而在大三角形一条边的中间那棵花 , 是两条小三 角形的边所

7、共用的 ,所以如果小三角形每边种花 5 棵 ,那么大 三角形每边上种花的棵数就是 5×2-1=9 棵了 ,又由于大三角 形三个顶点上的 3 棵花 ,都是大三角形的两条边所共用的 ,所 以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数 的和减去三个顶点上重复计算的3 棵花 ,即:9×3-3=24, 就是大三角形一周种花的棵数。(2) 三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数 ,加上大三角形一周种花的棵数 ,再减去重复计算的 3 棵花 （因为里边小三角形的三个顶点上 的三棵花 ,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花）。解 :（1） 大 三 角 形 一

8、 周 上 种 花 的 棵 数 是 :（5 × 2-1） × 3-3=24（ 棵 ）（2） 小三角形一周种鸡冠花的棵数是 :（5-1） ×3=12（ 棵）（3） 玲玲一共种鸡冠花的棵数是 :24+12-3=33（ 棵）答:大三角形一周种鸡冠花 24 棵 ;玲玲一共种鸡冠花 33 棵。例 4. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵 ,其中甲方阵每边的人数等于8, 如果两队合并 ,可以另排成一个空心的丙方阵 ,丙方阵每边的人数比乙方 阵每边的人数多 4 人 ,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心 五年级参加广播操比赛的一共有多少人 ?分析 :若只排列一

9、个乙方阵 ,则多余的人数为 （即甲方阵的 人数 ）8×8=64（ 人）,排列一个实心的丙方阵 ,不足的人数是 :8× 8=64（ 人）假设丙方阵为实心方阵 ,则乙多的人数是 :8 ×8+8 ×8=128( 人 ),又根据方阵扩展一层 ,每边增加 2 人 ,丙方阵比乙 方阵的外边多 4 人 ,丙方阵多于乙方阵的层数是 4÷2=2( 层 ), 方阵扩展 2 层 ,需要增加 128 人,则方阵最外层的人数是 (128+2 ×4) ÷2=68( 人 ), 丙 方 阵 的 总 人 数 18 ×18-8 × 8=26

10、0( 人 )解:(1) 假设丙方阵为实心方阵 ,则方阵最外层的人数是 :(8 ×8+8 ×8+2 ×4) ÷2=68( 人)(2)丙方阵最外层每边的人数是 :68 ÷4+1=18( 人)(3)空心丙方阵的总人数 :18×18-8 ×8=324-64=260( 人 )答 :五年级参加广播操比赛的一共有260 人。例 5. 有杨树和柳树以隔株相间的种法 ,种成 7 行 7 列的 方阵 ,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树 ,柳树各多少棵 ?分析 :根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树 ,白

11、点表示柳树观察图 (1)(2) 不管是柳树种在方 阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除 最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳 树的棵数相等 ,即最外层杨 ,柳树分别为 (7-1) ×4 ÷2=12( 棵)。当柳树种在方阵最外层的角上时 ,最内层的一棵是柳树 ; 当杨树种在方阵最外层的角上时 ,最内层的一棵是杨树 ,即在 方阵中 ,杨树和柳树总数相差 1 棵。解:(1) 最外层杨柳树的棵数分别为 :(7-1) ×4÷2=12( 棵)(2) 当杨树种在最外层角上时 ,杨树比柳树多 1 棵 : 杨树 :(7 ×7+1) ÷2=25( 棵) 柳树 :7×7-25=24( 棵 )(3) 当柳树种在最外层角上时