数列的综合问题

1、10数列的综合问题突破点 (一 ) 数列求和1公式法与分组转化法：(1)公式法； (2)分组转化法； 2倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法；(2) 并项求和法： 在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an ( 1)nf (n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn 1002 992 982 972 22 12 (1002 992) (982 972) (2 2 12) (100 99) (98 97) (2 1) 5 050.3裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2) 常见的裂项技巧：111.1 nn n 1n1

2、n n 21 1111111n2.2n 2n1. n 1 n.4 错位相减法2n2n1121nn 12n分组转化法求和例 1已知数列 an ，n 满足a1 5， an 2an 1 3n 1，*)， n an 3n*)b (n2 n Nb(n N(1) 求数列 bn的通项公式； (2)求数列 an的前 n 项和 Sn. 解 (1)an2an1 3n 1* ， n 2)，an 3n 2(an1 3n1 ，(nN)bn 2bn 1(n N* ， n 2)b1a1 3 2 0，bn 0(n 2)， bn 2，bn 1bn 是以2为首项，2为公比的等比数列n 2 ·2n 1 2nb.(2)由

3、(1) 知 an bn 3nnn2n2nn 1 3n17 2 3 ，Sn (2 2 2 ) (3 3 3) 2 2 .2 方法技巧 分组转化法求和的常见类型(1)若 an n±cn，且bn， cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an 的前 n 项和b(2)通项公式为 anbn， n为奇数，的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和cn， n为偶数错位相减法求和例 2(2016 山·东高考 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，且an bn bn 1.(1) 求数列 bn的通项公式；an 1 n 1(2)令 c

4、nn ，求数列 cn 的前 n 项和 T n.bn 2 解 (1)由题意知，当n 2 时， an Sn Sn1 6n 5，当 n 1 时， a1 S1 11，满足上式，a1 b1 b2，11 2b1 d，所以 an 6n5.设数列 bn的公差为 d.由即17 2b1 3d，所以 bn 3n 1.a2 b2 b3，6n 6n 1n 1(2)由 (1) 知 cn3n3n 3(n 1) 2· ，又 Tn c1 c2 cn，供参考得 T n 3× 2 ×2 2 3 ×2 3 ( n 1) ×2n 1 ， 2T n3× 2 ×2 3

5、3 ×24 ( n 1) ×2 n 2 ，两式作差，得 T n 3× 2×2 2 2 3 2 4 2n 1 (n 1)×2 n 2 3n·2n 2，所以 T n 3n·2n 2. 方法技巧 错位相减法求和的策略(1)如果数列 an 是等差数列， bn是等比数列，求数列 an·bn的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写 “”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐 ”以便下一步准确写出 “S ”的表达式 (3)在应用错位相减法求SnnnqSn和时，

6、若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于 1 两种情况求解裂项相消法求和例 3数列 an的前项和为n 1 2，数列 bn 是首项为1，公差为 d(d 0)的等差数列， 且 b1，nn2aSb3 ， b9 成等比数列(1) 求数列 an与 bn的通项公式；(2)若 cn2(n N * )，求数列 cn的前 n 项和 Tn.n 1 bn 解 (1)当 n 2 时， an SnSn1 2n1 2n 2n，又 a1 S1 21 1 2 2 21，也满足上式，所以数列 an的通项公式为an 2n.则 b1 a1 2.由 b1， b3， b9 成等比数列，得 (22d)22× (2 8d

7、)，解得 d 0(舍去 )或 d2，所以数列 bn的通项公式为bn 2n.2111111(2)由 (1) 得 cn n，所以数列 cn的前 n 项和 T n × × × n 1 bnn n1n 11 2 23 3 41111111n 1223 n1.n× n 1n 1n 1n 1突破点 (二 )数列的综合 应用问题1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：1 综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、 前 n 项和公式、 等差 比 中项、等差 比 数列的性质；2 重点考查基本量即“知三求二 ”，解方程 组 的计算以及灵活运用等差、等比数列

8、的性质解决问题.2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有： 1 以数列为载体， 考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n 项和； 2根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题 .3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：1 判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等. 2 以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等 . 3 考查与数列问题有关的不等式的证明问题.等差数列与等比数列的综合问题例 1

9、在等差数列 an中， a10 30， a20 50.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn 2an 10，证明：数列 bn为等比数列；(3)求数列 nbn的前 n 项和 T n. 解 (1)设数列 an的公差为，则ana1(n，由30，得方程组a1 9d 30，d1)da10a2050a1 19d 50，供参考a1 12，所以 an 12 (n 1)× 2 2n10.(2)证明：由 (1)，得 bn 2an 10 22n1010 22 n解得d 2.4nbn 14n 1，所以 bn4n 4.所以 bn 是首项为4，公比为4 的等比数列(3)由 nbnn× 4n，得 T

10、 n1× 4 2×42 n× 4n， 4T n 1× 42 (n 1)× 4n n× 4n 1，得 3T n 4 42 4nn× 4n14 1 4n3n 1 × 4n1 4. n× 4n1.所以 T n9 3 方法技巧 等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1) 设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差 ( 公比 )等，确定解题的顺序 (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定， 则要看其是

11、否有等于1 的可能， 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的数列与函数的综合问题 例 2设等差数列 an的公差为d，点 (an， bn)在函数 f(x) 2x 的图象上 (n N* ) (1) 证明：数列 bn为等比数列； (2)若 a1 1，函数 f(x)的图象在点 (a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为21 ，求数列 anbn2的前 n 项和 Sn.ln 2bn 1 解 (1)证明 ：由已知， bn 2an0.当 n 1 时， bn 2an1an 2d.所以数列 bn是首项为 2a1，公比为2d 的等比数列x1(2)函数 f(x) 2

12、在 (a2， b2)处的切线方程为y 2a2 (2a2ln 2)( xa2 )，它在 x 轴上的截距为 a2 ln 2.11n2n由题意， a2 ln 2 2ln 2，解得 a2 2.所以 da2a1 1，所以 an n， bn 2 ，则 anbn n·4 .于是 Sn 1× 4 2× 42 3× 43 (n 1)× 4n 1 n×4n，23nn14Sn 1× 4 2× 4 (n 1)× 4n× 4 .n1 4n1 43nn 1 4因此，Sn 4Sn 4 42 4n n·4n14 n&

13、#183;4n113n 4.所以 Sn1 4.393 方法技巧 数列与函数问题的解题技巧(1) 数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形供参考(2) 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决数列与不等式的综合问题 例 3(2016 郑·州质量预测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2an 2.(1) 求

14、数列 an的通项公式；(2) 设 bn log2a1 log2 a2 log2an，求使 (n 8)bn nk 对任意 n N* 恒成立的实数k 的取值范围 解 (1)由 Sn n2可得a1 因为nn ，2a2.S2a 2所以，当 n 2 时， anSn Sn 1 2an 2an1，即 an 2.所以 an 2n(n N* )an1n n 1(2)由 (1) 知 an 2n，则 bnlog2a1 log2a2 log2an 1 2 n2.要使 (n8)bn nk 对任意 n N* 恒成立，即n8 n1* 恒成立 k 对任意 n N21设 cn2(n 8)(n 1)，则当 n 3 或 4 时，

15、cn 取得最小值，为10，所以 k 10.即实数 k 的取值范围为 ( ， 10 方法技巧 数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、 放缩法等 (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了 全国卷 5 年真题集中演练 1.(2012 新·课标全国卷 )数列 an满足 an 1 ( 1)nan 2n 1，则 an的前 60 项和为 ()A3 690B 3 660C1 845D 1 830解析：选D不妨令 a1 1，根据题意，

16、得 a2 2，a3 a5 a7 1， a4 6，a610， ，所以当 n为奇数时， an 1，当 n 为偶数时构成以a2 2 为首项，以4 为公差的等差数列所以前60 项和为 S60 3030× 30 1× 41 830. 2× 3022 (2015 新·课标全国卷 )Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 an>0， an2 2an 4Sn 3.(1) 求 an的通项公式； (2) 设 bn1，求数列 bn的前 n 项和anan 122解： (1) 由 an2an 4Sn 3，可知an 1 2an1 4Sn1 3.，得22an 1 an 2(an

17、 1 an) 4an 1，2 2即 2(an1 an) an 1 an (an 1 an)( an1 an)由 an>0，得 an 1 an2.供参考又 a21 2a14a1 3，解得 a1 1(舍去 )或 a1 3.所以 an 2n 1.11111n(2)由 an 2n 1 可知 bn anan12n 1 2n 3 2 2n 12n 3.则 Tn3 2n 3.3 (2014 新·课标全国卷 )已知数列 an满足 a1 1， an 1 3an 1.(1) 证明an 1是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明： 1 1 1<3.2a1a2an2111313解： (1) 由

18、 an13an 1 得 an1 2 3an 2.又 a1 2 2，所以 an 2 是首项为 2，公比为3 的等比nn3 1数列所以 an 1 3 ，即 an1 2.因为当 n 1 时， 3n 1 2× 3n1，2.(2)证明：由 (1) 知22an 3n1112111111313所以 nn1，即nn1.于是 a1 a2 an 13 n 1 2 13n <2.3 1 2×33 1 334 (2013 新·课标全国卷)已知等差数列an的前 n 项和 Sn 满足 S3 0， S5 5.1(1) 求 an的通项公式； (2) 求数列 a2n 1a2n 1 的前 n

19、项和n n 11 3d 0，3a解得 a11， d 1.解： (1) 设 an的公差为 d，则 Sn na12d.由已知可得5a110d 5，故 an的通项公式为 an 2 n.(2)由 (1) 知11111)，从而数列1n3 2n 1 2n (的前 n 项和为.a2n 1a2n122n 3 2n 1a2n1a2n 11 2n 检验高考能力 一、选择题n 1)1 (2017 皖·西七校联考 )在数列 an中， an 2n，若 an的前 n 项和 Sn 321，则 n (264A 3B 4C 5D 6解析：选D2n 11n3211由 ann 1 n则 n1 n ，将各选项中的值代入验证

20、得22S642n 6.2在数列 an中， a1 1， a2 2，an 2an 1 ( 1)n，那么 S100 的值为 ()A2 500B 2 600 C 2 700D 2 800解析：选B当 n 为奇数时， an 2 an 0，所以 an 1，当 n 为偶数时， an2 an 2，所以 an n，1 n为奇数 ，2 100 ×50故 an于是 S100502 2 600.n n为偶数 ，3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a1 1，当 n 2 时， an2Sn1 n，则 S2 017 的值为 ()A2 017B2 016C 1 009D1 007供参考解析：选 C因为 an 2S

21、n 1 n，n2，所以 an1 2Snn 1，n 1，两式相减得 an 1 an 1，n 2.又 a1 1，所以 S2 017a1 (a2 a3 ) (a2 016a2 017) 1 009，故选 C.4设 Sn 是公差不为0 的等差数列an的前 n 项和，S1，S2，S4 成等比数列，且 a35，则数列12n 1 an2的前 n 项和 Tn ()AnB.n2nD.2nC2n 12n 12n 12n 15151解析：选Ca1 2或 a12.当 a12时，公差 d 0 不符合题意，舍去；当a12时，公差 da3 a11112 1，所以 an 2 (n1)× ( 1) n22(2n 1)，故选 C.二、填空题5已知数列 an满足 an1 1an an2，且 a1 1，则该数列的前2 016 项的和等于 _22解 析 ： 因 为 a1 1 ， 又 an 1 1 an an2 ， 所 以 a2 1 ， 从 而 a3 1， a4 1 ， 即 得 an 2221*× 112， n 2k 1 k N，故数列的前2 016项的和等于2 0161 0081