陈玉坤抛物线的标准方程教案

1、 12.7 抛物线的标准方程上师大四附中 陈玉坤 一、教学内容分析本节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用；我通过对二次函数图像的回忆以及几何画板的动态展示，让学生通过观察、发现、总结，归案出抛物线的定义。用掌握的求曲线轨迹的方法，建立适当的直角坐标系，并求出抛物线的标准方程，在这一过程中，可以使学生体会解析几何将几何问题代数化的基本思想，培养用已知解释未知以及分析、解决问题的能力.二、教学目标1、知识与技能： 掌握抛物线的定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线的四种标准方程. 掌握的几何意义，会用抛物线的定义解题；2、过程

2、与方法： 通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力。通过例题，掌握用抛物线定义解题的简便方法。3、情感态度与价值观：通过对抛物线问题的分析和解决，形成良好的学习和思维习惯，初步形成勇于探索、严谨细致的科学态度.三、教学重点及难点重点: 抛物线的定义及根据抛物线定义推导标准方程；难点：四种形式的标准方程的由来和区分四、教学流程设计 几何画板演示抛物线的形成过程 课堂小结并布置作业例题讲 解确立抛物线的标准方程归纳抛物线的定义五、教学过程（一）引入：“初中时，我们学习过二次函数，大家还记得它的图像吗?”“其实在生活中，也有许多抛物线的模型。比

3、如抛出的篮球，它会在空中划出一条美丽的弧线；又比如喷泉喷出的水珠，它们的运动轨迹都是抛物线，所以说，抛物线是一种美丽的曲线，值得我们去研究。”那么，我们如何定义抛物线？和圆、椭圆、双曲线一样，抛物线的标准方程又是怎么样的？这就是我们今天学习的课题；（二）讲授新课：1、抛物线的定义：问题1：（黑板上作图）平面上有一定点F和定直线l,在同一平面内，你能找出满足到点F的距离等于到直线l的距离的点吗?（学生自由发言，说不清楚的可以上黑板描绘满足条件的点）问题2：我们可以猜测一下，这些点的轨迹会是什么？（有学生会想到是抛物线）接着，用几何画板演示抛物线的形成过程，借助多媒体技术来验证这些点的轨迹确实是抛

4、物线，从而得出抛物线的定义； 定义：平面上到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹（其中F不在l上）叫做抛物线。其中F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线注：若点F在直线l上，则轨迹不再是抛物线，而是过点F且垂直与l的一条直线 （留给学生一定的时间思考）2、抛物线的标准方程： 问题1：求曲线方程的基本步骤 问题2：如图，已知点F到直线l的距离为p(p>0),求 到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹（即求抛物线的方程）首先，建立直角坐标系，可能的情况有：:以过焦点F且垂直于准线的直线为轴，以焦点F为坐标原点建立平面直角坐标系。可得方程：FFF 以过焦点F且垂直于准线的直线为

5、轴，以准线为y轴建立平面直角坐标系。可得方程： 以过焦点F且垂直于准线的直线为轴，以F到直线l的距离的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，可得方程：教师总结：（1）和中的方程都含有常数项，而的形式更简单.并且，我们把形如 的方程叫做抛物线的标准方程；（2）并且，我们可以发现，方程中的p 就是焦点到准线的距离；（3）相应的，由标准方程可得，该抛物线的焦点为（，准线为（2）利用图形的坐标变换简要的介绍其他三种常见的抛物线的标准方程（3）总结下表：标准方程图形焦点准线(,0)(-,0)(0, )(0,-)最后，思考四种形式标准方程以及相应抛物线图形的分类和区分，仿照椭圆、双曲线标准方程及其图形的分类，

6、请学生说出分类的想法:一类抛物线是焦点在轴上，另一类抛物线是焦点在轴上，便与学生理解与记忆。3、例题讲解：例1：点P与点F（2,0）的距离比它到直线的距离小2，求点P的轨迹解：经分析，可得：点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，以直线为准线的抛物线，且p=4,所以，点P的轨迹方程为（学生还可能出现的做法：设P的坐标为(x,y),由题意得+2=）说明：通过两种方法的对比，体会用抛物线定义解题的便捷例2：过抛物线的焦点，斜率为2的直线l，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长解：由题意，直线方程为，代入抛物线方程， 化简得： 设A、B的坐标分别为、， 由抛物线定义可知，、分别等于A,B到准线的距离、 = ， = ( 学生还可能出现分别求出点A，点B坐标，在利用两点间距离公式求解)