连续函数的运算与初等函数的PPT学习教案

1、会计学1连续函数的运算与初等函数的连续函数的运算与初等函数的第一章 第九节2定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx第1页/共16页第一章 第九节3例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且

2、连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. 1,2 yxxyf xIxfyIy yf x xI如果函数在区间 上单调增加（或单调减少）且连定理续，则它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。第2页/共16页第一章 第九节4证证,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf uf u定理 设函数由函数与函数复合而成，若而函数在连续，则 0( ),f uuu在

3、点连续000,0,( )().uuf uf u使当时恒有成立00lim ( ),xxg xu又第3页/共16页第一章 第九节5将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx.成立成立 00( ).g xuu u恒有成立00( )( ) ( )( )f uf uf g xf u0lim( ).xxfg x00lim ( )()xxf g xf u第4页/共16页第一章 第九节6意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;2.( )ug x变量代换的理论依据.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数

4、数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.第5页/共16页第一章 第九节7三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .第6页/共16页第一章 第九节8 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内

5、连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第7页/共16页第一章 第九节91. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连

6、续函数在区间函数在区间注注意意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第8页/共16页第一章 第九节10 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf uf u定理 设函数由函数与函数复合而成，若而函数在连续，则 将结论的形式改变则有：0lim ( ).xxfg x0lim ( )xxf g x这一公式给计算极限带来方便。这一公式给计算极限带来方便。理论依据：理论依据：第9页/共16页第一章 第九节1110log11 lim 01lnxaxaaxa试证且01 2 limln 01xxaaa

7、ax且011 3 lim xxx为实数1例题第10页/共16页第一章 第九节12 0,1v xu xu xu x 一般地，对于形如的函数常称为幂指函数。 lim0,lim,lim.v xbu xav xbu xa若则 ln000limln limlimv xu xxxv xv xu xxxxxu xee 001 ,0 ,000v xu x若呈现为在求这一类幂指函数极限时的基本思路是通过对数恒等变换，将其变为，进而化为 或者来求解，即：第11页/共16页第一章 第九节13 lim1,lim,xaxau xv x 特别地，则:lim1 limxauxv xv xxauxe例题例题11 200101

8、)lim 1 3;2)lim3)lim , ,03xxxxxxxxxxxxxeabca b c第12页/共16页第一章 第九节143012 cos4) lim1 3xxxx考研题2 cosln3301limxxxex原式202cosln3lim xxx20cos -1ln 13limxxx20cos-13limxxx2201132limxxx解：解：第13页/共16页第一章 第九节15 1 13134 13 AxBxf xxxxxA B 设在点连续，试确定例，题。 32 0sin 1ln 1sin 014xxxxf xxxx求函数的间断点，并例题指出类型。第14页/共16页第一章 第九节16连续函数的和差积商的连续性连续函数的和