数学分析 三次样条插值

1、三次样条插值三次样条插值问题问题 抛物线插值的误差比线性插值要小，抛物线插值的误差比线性插值要小，是不是是不是插值多项式的次数越高，精度就越好？插值多项式的次数越高，精度就越好？ NO!例：例：在在 5, 5 上考察上考察 的的Ln(x)。取取211)(xxf khxk 5(h=10 / n, k=0,.,n; n=2,5,10) Ln(x) f (x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端点附近越大，端点附近的抖动越大，称为的抖动越大，称为 Runge现象现象。分段低次插值分段低次插值q 分段低次插值分段低次插值基本

2、思想基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。用分段低次多项式来代替单个多项式。具体作法具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间把整个插值区间分割成多个小区间；(2) 在每个小区间上作低次插值多项式在每个小区间上作低次插值多项式；优点优点：公式简单公式简单、 运算量小运算量小、稳定性好、收敛性稳定性好、收敛性 (3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。将所有插值多项式拼接整一个多项式。缺点缺点：节点处的导数可能不连续，失去原函数的节点处的导数可能不连续，失去原函数的光滑性光滑性。q 在处理实际问题时，总是希望将所得到的在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越数据点用得越多越好

3、多越好。最简单的方法是用。最简单的方法是用直线段直线段将函数值点直接将函数值点直接连接连接。分段线性插值分段线性插值 n问题：已知问题：已知 及及 ，i=0,1,.,n 为为x0, xn上的分段线性函数且满足上的分段线性函数且满足n计算公式计算公式n余项公式余项公式n收敛性收敛性 01nxxx()iif xy1( )Ix1(),iiIxy0,in11111( )iiiiiiiixxxxIxyyxxxx 1,iixxx ni, 1111( )( )( )( )()()2iifR xf xIxxxxx 2112( )( )( )08hR xf xIxM 但不光滑！但不光滑！11max(),iii

4、nhxx 02max( ) ,nxxxMfx ni, 1分段分段3次次Hermite插值插值 已知已知 及及 ， ， 为为x0, xn上的分段上的分段3次多项式且满足次多项式且满足01nxxx ()iiyf x 3( )Sx()iiyfx 3(),iiSxy 3 (),iiSxy 0,in1,iixxx 1, ,in 计算公式计算公式11113011011( )()()()()iiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxIxyyhyhyhhhh 323201323201222( )(21)(1)231, ( )( 23)23 ,( )(1)2, ( )(1)tttttttttttt ttttt

5、tttt 收敛性收敛性 11max (),iii nhxx 0(4)4max( ),nxx xMfx (4)22331( )( )( )( )() ()4!iifRxf xSxxxxx 2244334( )( )( )04!4384MhhRxf xSxM 余项公式余项公式 分段分段3次次Hermite插值插值 一阶光滑！而且实际工程中一般不知道一阶光滑！而且实际工程中一般不知道 的值！的值！()ifx三次样条函数三次样条函数q 样条函数样条函数由一些按照某种由一些按照某种光滑条件光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。分段拼接起来的多项式组成的函数。最常用的样条函数为最常用的样条函数为三次样条

6、函数三次样条函数，即由三次多项式组成，即由三次多项式组成，具有二阶连续导数具有二阶连续导数。 设节点设节点 a = x0 x1 xn-1 xn = b ，若函数，若函数s(x)在在a,b上有二阶连续导数，在每个小区间上有二阶连续导数，在每个小区间 xi , xi+1 上是三次多项式，则称其为上是三次多项式，则称其为三次样条函数三次样条函数。如果同时。如果同时满足满足 s(xi) = f (xi) (i = 0, 1, 2, , n)，则称则称 s (x) 为为 f (x) 在在 a , b 上的上的三次样条函数三次样条函数。定义定义三次样条插值三次样条插值 问题：问题：已知已知 及及 ，S(x

7、)为为xi-1, xi上的不超过上的不超过3次多项式，且满足次多项式，且满足(1) 插值条件插值条件： (2) 连接条件连接条件:01nxxx()iiyf x 0,in 1,1in (),iiS xy (0)(0),iiS xS x (-0)(0),iiS xS x (0)(0),iiSxSx 三次样条函数的确定三次样条函数的确定节点：节点： x0 x1 xn-1 xn函数值：函数值：yi = f (xi) (i = 0, 1, 2, , n) , ),( , ),( , ),()(1212101nnnxxxxsxxxxsxxxxsxs由定义可设：由定义可设：s(x) 满足：满足：iiyxs

8、)(i = 0, 1, 2, , n)(xsk其中其中 为为 xk-1 , xk 上的三次多项式，且满足上的三次多项式，且满足kkkkkkyxsyxs )( ,)(11(k = 1, 2, , n)边界条件边界条件每个每个 sk(x) 均为三次多项式，有均为三次多项式，有4个待定系数，所以共个待定系数，所以共有有 4n 个待定系数，需个待定系数，需 4n 个方程才能确定。前面已经个方程才能确定。前面已经得到得到 2n +2 (n -1) = 4n 2 个方程，还缺个方程，还缺 2 个方程！个方程！,)(2baCxs (k = 1, 2, , n-1)q 实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要

9、求，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的即所谓的边界条件边界条件。边界条件边界条件q 第一类边界条件：第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即给定函数在端点处的一阶导数，即00() ()nns xy , s xy q 第二类边界条件：第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即给定函数在端点处的二阶导数，即00() ()nns xy , s xy 当当 时，称为时，称为自然边界条件自然边界条件，此时的样条函数称为此时的样条函数称为自然样条函数自然样条函数。0)()(0 nx sx sq 第三类边界条件：第三类边界条件：设设 f (x) 是周期函数，并设是周期函数，并设

10、xn x0 是是一个周期，于是一个周期，于是 s(x) 满足满足q第四类边界条件（非扭结）：第四类边界条件（非扭结）：第一第一二段多项式三次二段多项式三次项系数相同项系数相同, 最后一段和倒数第二段三次项系数相同最后一段和倒数第二段三次项系数相同. )()()()(00nnx sx s ,x sx s 三次样条插值求解公式三次样条插值求解公式n利用分段利用分段3次次Hermite插值插值 n设设 ，利用，利用分段分段3次次Hermite插值公式插值公式(含含未知未知mi)，使得插值条件和连接条件的连续性和一，使得插值条件和连接条件的连续性和一阶光滑性满足；阶光滑性满足；n由由n-1个二阶光滑性

11、约束条件和边界条件来求个待个二阶光滑性约束条件和边界条件来求个待定参数定参数 ，转化为，转化为解三对角方程组解三对角方程组(一阶导数边界条件一阶导数边界条件 )()iiS xm 01,nmmm111102222222211112222nnnnnnnnnmgymgmgmgy 三次样条插值求解步骤三次样条插值求解步骤n由计算机数值求解的步骤由计算机数值求解的步骤n由边界条件和插值条件列三对角方程组由边界条件和插值条件列三对角方程组;n用追赶法解方程组求得用追赶法解方程组求得 ;n判断插值点判断插值点 x 在第在第i 个小区间个小区间;n 用第用第i 个小区间的三次样条插值多项式求插值个小区间的三次样条插值多