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文档简介
1、高中数学导数难题一.选择题(共20小题)1.对于任意的囘0,总存在bWR,使得lsin2x+t/SinX+Z>I1恒成立,则实数“的取值范围是()2A. -3, 1B. 1, 3C. -3, 3D1, 12际虫“若关和的不等式加g “ 2在s上恒成立'则吕的最小值是<>A.B- -c -4e第1贞(共页)3. 设k, bwR,若关于X的不等式 to7+lHAt (0, +8)上恒成立,贝I的最小值是()A. - e2B.-丄C.-丄 e2D. - eA a<0B. a>0取值范围为()c器霍4. 已知曲线y=±在X=Q处的切线为几曲线y=lnx在
2、X=Q处的切线为b且h丄b则X2 - Xi的取值范用是()A. 0,丄)B. ( -8, - D c. ( -8, 0) D(一co,丄)e5. 若对任意的底R,不等式 严“+沪加心20恒成立,则实数b的取值范围是()A. 9>25B. b3+ln2C b4+ln2D h5+ln26. 已知曲线f () =lnx+ax+b在x=l处的切线是X轴,若方程f (x) =m (zR)有两个不等实根x, Xly则q+X2的取值范帀是()A. (0,丄)B. (0, 1)C.(2, +)D. (4, +8)2e, x>07.已知"GR,函数/(A)=<9则下列说法正确的是()
3、-x-2x÷a,x0A. 若“<1,则y=f (Q (R)的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B. 存在实数"使得y=f(X)(aR)的图象上存在两对关于原点O对称的点C. 不存在实数"使得y=f (X) (WR)的图象上存在两对关于y轴对称的点D. 若y=(x) (aR)的图象上存在关于y轴对称的点,则“>18. 定义在R上的函数/d)满足e4 'x÷,7(x+2) =/( -),且对任意的XMI都有f (x) +2f (x) >0 (其中f (x)为/(x)的导数),则下列一定判断正确的是()A. e4f (2) >
4、(0)B. e2f (3) <f (2)C e10f (3) </( -2)D (3) </ ( - 1)9. 已知a9 beR且"HO,对于任意xM0均有(x - U) (X - h) (X 加b) 0,则()C b<0D b>0,若关于X的不等式f(x)>-x-a在R上恒成立,则实数“的 911已知函数y=f (X)在R上的图象是连续不断的,其导函数为f (-),且f (x) >-(x),若对于>0,不等式 Xf (InX) - eaxf (tx) Wo恒成立,则实数“的最小值为()12. 若对任意的aR,都存在xo%2, 2,使不
5、等式ex° + 2-2z0-6z0+4+0成立,则整数加的最小值为()(提示:n20.693)A 3B. 4C. 5D 613. 已知函数 /(x) =R-Or- 1, g (Jr) =IHX-ax - 1,其中 OVaV1, e 为自然对数的底数,若 (O, +),使/(XO) g (Xo) >0,则实数“的取值范围是()A(0,寻) B(0,丄)C , D D(丄,DeZeeze14. 已知函数/(x)- X (UeR)有两个零点M,小,且XlVX2则下列结论中不正确的是()A 0<Q<丄B. OVXV1C X+X2>2D lnx - x<lnx2
6、x15. 已知函数/(x) =InX - UX有两个零点",a-2 (MVX2),则下列说法错误的是()AB. x+x2<2e C有极大值点畑 且x+x2>2x<) D X o>e216已知函数/ (x)=卫空,g () =W j 若存在 MG (0, +8), 2Rt 使得/(1) =g (x2) =k (KVO)成立,则(H) 3/最小值为()xICTeB.A- 4e17.已知不等式-a - >m-ln (x+l)对一切正数X都成立,则实数加的取值范围是(A. (一co, B. (一co, C. (-8, 1D(-8, e32(x) tau>O
7、,则不等式 COSxis.已知函数/()是泄义在(-ZL 2L)上的奇函数.当圧o, £)时,/ a) +f 2 2 2/ (÷2L) +sia ( -x) >0 的解集为()20)A.(二匹4219. 若关于X的不等式2tvv2+ (2a - 2) x+1恒成立,则a的最小整数值是(A 0B. 1C. 2D 320. 已知可导函数f(x)的导函数f (x),若对任意的xR,都有f () >/(X)+2,且/(x) - 2020为奇函数,则不等式.f(x) -2018"V2的解集为()A. (-8, 0)B. (0, +8)C(一8, -L) D ,
8、g)匕Lee二.填空題(共10小题)21. 已知函数/(a) = - 3x,若对任意的实数X,不等式/(x+)>(x)+r(O)恒成立,则实数/的取值范囤.22. 已知函数/(Q对泄义域内R内的任意X都有/(x) =(4-x),且当x2,其导数f (x)满足灯'(x) <2f'(x),若/(3) =0,则不等式Xf (%) >0的解集为.23. 已知函数f(x) =| eX_1, X<°,则过原点且与“曲线y=f(x)在y轴右侧的图象”相切的直线方程为,Inx5 x0(I)求曲线y=f(X)在点(H /(D)处的切线方程:(2>若函数/(
9、X)存在两个极值点XI,X2,求实数"的取值范围,并证明:/(xi), .f (1), f(A-2)成等差数列. 38已知函数f(X)=Cilnx (t0)与y丄/的图象在它们的交点P (5, /)处具有相同的切线.2e(1) 求/(X)的解析式:(2) 若函数g(X)= (X-I) 2+mf(X)有两个极值点X2,且x1<X2>求O吆 的取值范羽.xI39. 已知函数/(x) -l-ayl- - + (x+l) In (a+1) (uR).e A(1) 当"=1时,求曲线y=f ()在x=l处的切线方程:(2) 若Vxi, X2G (0, +8), MVX2,
10、都有/(x) Vy(X2),求实数“的取值范围.40. 已知实数 t - h 设 f (x) = (+) Inx9 x>0.(1) 若= - 1,有两个不同实数劝,X2不满足(X!)I=If 5)1,求证:X+X2>2;(2) 若存在实数丄<c<-p使得!T(.r) I=C有四个不同的实数根,求"的取值范囤O2参考答案与试题解析一 选择题(共20小题)1.【解答】解:令 r=si0, Ib 贝IJ/ (/) =t2+at+b9 f0, 1. 由已知得:当二<0,即“20时,则2b>l ,整理得 0tl:.1+a +bla2当 0< <&
11、gt; 即-KaVo 时,则pF AI 2 2l+a+b 1a2 Rb"T>_1 ,显然始终存在符合题意的儿使原式成立:当*y即”S时,则b<l、,即.,1+a +b-1a2 、显然符合题意的b存在: sb<lXl->b即穴2时,则<2综上可知,的取值范囤是-3» 1. 故选:A.2.【解答】解:In (X-I) +xWkx+b在(1, +)上恒成立,即为In (X-I) +x - kxWb对x> 1恒成立,可令 /=X- h t>09 则 lnt+t+ - k (r+l ) Wb、令/ (r) =Int+ (1 ) /+1 - k
12、, f (f) =X-I - k,t若tl,则f (Z) >0,可得/(f)在/>1递增, 当f-8时,f (/) -8,不等式不能成立: 故k>9当丄=R-I时,f(t)取得最大值fd)"rr=f(丄)tk-1RP - In (k- 1) - kWb,所以加(1) + 12 -2- (/?- 1),PllJbi_ ln(k-D _ I,k-1k-1k-1可令 k - l=z, £ (“)g' (“)_-I-InU-I+lnU UUU2可得当 Inu= 1 时,M=丄,g (W) min= - 2e+e - 1= - e -eU21,可得始终存在/
13、”且-3t - 2.U2则哙的最小值是k-1故选:D.3.【解答】解:Jtx+/?+1 lnX在(0, +8)上恒成立,即为InX -IOC- IWb在(0, +o°)上恒成立,令 f (x) =InX W f (x) = - k.X若 kW0,则f (X)>0,可得 f(X)在(0, +8)递增,当X-8时,/(A) 一 8,不等式不能成立:故k>0,当丄=«时,/(x)取得最大值f (x) max=f (1)Xk即-Ink - 2t则匕2 - _2 - J, R>o,Rkk可令g (k) = - 2_.InLt k>o,k kr ,八 _2I-I
14、IIk l÷lnkg Cn 一活-' k kk可得当 Ink= 1 时,k=丄,g () Inin= 2e+e= - e.e贝血的最小值是yk故选:D4.【解答】解:I-XVx2>0, x>hX-1ZY-Ix2-Xl= -X-_工 Ih (x)= M牙>1则 X (A)=2_I=2l.ex/当疋(1, +8)时,y=2H为减函数,i2-<2- 1 -e<0. (x) <0在(1, +)上恒成立,故力(X)在(1, +)上为减函数,则力(x) <A (1) = - L又当Ql时,卑PVHP=(丄_)纣丄eZeeeA (X)的取值范围为(
15、-8, - 1).即X2-X1的取值范围是(-8, - 1).故选:B.5. 【解答】解:令f (x) =e2x+x2+b2 - Ibx - 20, f (x) =2e2x+lx - 2b, f, (Jr) =4e"+2>0, 所以f (X)在R上单调递增,又vk-hj fy (x)-o. -, fy (x)-O,所以存在M)使得f (X0) =0,代入化简可得e2°-xo=b>第1贞(共1页)那么/(x)在(8, Xo)单调递减,在(旳,+8)上单调递增 Z SZ S 2xn O ?9 f> f (x)min=f (x0)=e +Xg+b -2bx0-2
16、0=b-0 + xg+b -2bxo-20, S 74xn 2xn= (XD-b)2+b-20=e0+e°-20又.了(Xo) >0,即 e4x-he2>20令 t=2x°* 则八+金20,解得:r -5 (含去),&4,即 Xln2.* b=e2x'j +x0 。红曲 +ln2=4+1 n2,故选:C.6. 【解答】解:易知,切点为(1, 0),切线斜率为0,而f/ =丄吃.K.J°+b 解得 a- - J t h=.l+a=O:f ( ) =InX - +1 (>0)VfG)=丄-1 土乙易知f =0,KX且当 (0, 1)时
17、,f (X)>0: (L +8)时,f (-) <0.:.f (A)在(0, 1)上是增函数,在(1, +8)上是减函数,故若方程/(x) =m (wR)有两个不等实根MVX2,则必有 O VXlVl <M,则 2-1>l.了(M)=/(勺),-V (x2) -/(2-Xl) =(x) -/ (2-1),令 g(x)=() -/ (2-) =M-x- 1 - In (2-) - (2-) - 1=InX -In (2 - x) - 2x+2t AG (0, 1),* 心吉Sog<og (x)在(0, 1)上单调递增,而g (1) =0,故g (x) Vo在(0,
18、1)上恒成立,:.f(A-2)-/ (2 -X) Vo恒成立,即f(X2)<f (2 -Xl)恒成立而此时无2,2 -X1 (1, +),且f(X)在(1, +8)上是减函数,X2>2 - XB 即 1+X2>2.故选:C.7. 【解答】解:由关于原点对称的点的特点,可将X换为-X, y换为-y,可得/(X)= X12x+“(xW0)关于原点O对称的解析式g (x) =x2 - 2x - U (x0),令 h (x) =ex - x2+2x+a (x>0)则片() =K-2y+2, Ir (x) = -2,由x>In2可得X (x)递增:0VVn2时,(x)递减,
19、所以川(x) hl (Inl) =4 - 2b2>09因此,? (A)是单调递增的,且 h (Xy) =CX- x2+2x+ah (0) =+a9故当“V - 1, (%)有唯一零点,当1时,力(X)不存在零点,故A正确:B不正确:由关于y轴对称的点的特点,可将X换为-X,y不变,可得 f(X)= - X2 - 2x+a (x0)关于 y 轴对称的解析式加(x) = - x2+2x+a (X0),令 (Xy) =ex+x2-2xa (x>0)t Hr (x) =ex+2x - 2> n, () =er'+2,所以十(X) >0, nf (%)递增(x) M(0)
20、 = - 1,因此,“()不单调, 当"VO时,” (%)有零点,当"=1时,” (%)存在两对零点,故C, D都不正确. 故选:A.8. 【解答】解:设 F (x) =e2x-f (x),则 F (x) =2e2xf (x) +elxf (x) =e2x2f (x) +f (x), 对任意的XMl都有f (x) +2f G) >0:则F(X)>0,则F CV)在1,十8)上单调递增:F (x+2) =e2 t÷2V<A+2):F ( -x) =e'lr ( -x):因为 Rgy(X+2) =/ (P),F >.ezx.f (A.+
21、2) =f( - x). .e2 <1+2>>/ (x+2) =e'2x-f ( - %)F (+2) =F ( -),所以 F ()关于 =1 对称,则 F ( -2) =F (4),VF (x)在1, +8)上单调递增:.F (3) VF (4)即 F (3) VF ( - 2), e6 (3) <e 4 ( - 2);即61o(3) </( -2)成立.故C正确:F (3) =F ( - 1), F (O) =F (2)故A, D 均错误:F >F (2) Ae2/* (3) >/ (2). B 错误. 故选:C.9. 【解答】解:设/(
22、x) = (-<) (a) (x-2z),可得/(x)的图象与X轴有三个交点, 即 f(X)有三个零点 G b9 2a+b 且 f (O) = - ab (2r+b),由题意知,/ (O) No 在 Qo 上恒成立,RlJ ab (2a+b) 0, a<Q9 <0, 可得加+X0, ub (2a+b ) Wo恒成立,排除B, D;我们考虑零点重合的情况,即中间和右边的零点重合,左边的零点在负半轴上.则有u=b或U=IClb或b=b+2u三种情况,此时a=b<O显然成立:若b=b+2a,贝J "=O不成立:若a=2<+h9即u+b=O,可得bVO, “&g
23、t;0且"和2“+都在正半轴上,符合题意, 综上bVO恒成立.故选:C.10. 【解答】解:当 XMl 时,f (x) =Ix2 - x+4=A(X - 2) 2¼->0,3333当 XVl 时,f(X)= - Ax3+ . .+12i 则f (A)=-A.2+2v - KO,33故于(X)在(-8, 1)递减,f (X) >/ (1) =3>0, 若关于a-的不等式f GJ > Ax.a I在R上恒成立,9则-丄护+Ar - 4Av - t - v+4 且丄Q +x -Ar - t - r3+x2 -兀卜匹恒成立,33933339334,-+4霁W
24、谭恒成立,所以(-+”眷吠 _ 4) maxWaW对称轴是唏,故弋盯取最大值燼,对于72+fzE-V=P-lv+4心)对称轴是G寻故町取最小值霁第1贞(共1页对于 V=-A3 - X2+-12- -(X< 1 ), VZ =2 2a J3>0,函数在( 8, 1 )递增,故 y<y'3939 -9对于 V= - -x3+x2 -(x< 1 )t F = - (1)2,3939令;/ >0,解得丄VXV1,令才<0,解得<l,33故函数在(-F 1)递减,在(2, 1)递增,33>n = vL = =-,故-t¾2).381981
25、综合,得-t2781故选:B.11. 【解答】解:根据題意,令F (A) ="f(x),则 F (x) =exf (x) +f (x) >0,故函数F (x)在R上单调递增,F (InX) =elltf (InX) =Xfanx F (Q) =eaxf (UX又Vx>0»不等式灯(InX) - eaxf (UX) WO恒成立,所以F (InX) WF (Or)在(O, +)恒成立从而InXaX,即日Ai耍在(O, +)恒成立.令血)皿/ G)上弊XX令贰() =0,贝Ij x=e,所以g(Q二丄竺在(O. R单调递增,在(C +8)单调递减.X所以g(x)max
26、=g(e)=-> 故a>.则实数“的最小值为丄,e故选:B.12. 【解?$】解:设f (丈)=/十(4一2 Mo)M十。一6牝 +r'由题意可知/(x) $0对疋R恒成立,则A = (4-2S) 2-4(°-6牝十r)<O在加2, 2上有解,即诸十丈O-。Xo-In+4<O在-vM2, 2上有解设 g (x) =x2+2X K 加+4,:.h (x) =0 (x) =2"+2,则 ” (x) =2-K,Vh2, 2, ” (x) , (M2) =2 - e,n2=0.则gt (X)在2, 2上单调递减.Vg (仞2) =2M2>0,
27、0 (2) =6 - e2<0,3.vi (加2, 2), 0 (Xi) =0,则g G)在2, Xi)上单调递增,在(x, 2上单调递减.Tg (M2) = (M2) 2+2加2+2-m g (2) =12-e2-m,g (2) - g (M2) =Io-F- (M2) 2 - 2n2>0,则 g (M2) 0,即(加2) 2+2ln2+2 - w0,故”& (加2) 2+2b2+2,底乙加的最小值是4.故选:B.13【解答】解:由1,得f (x) =IJGTOVgVI, 当妊(0, +8)时,f ()0 恒成立,则f (x)在(0, +8)上单调递增,则/ () >
28、;/(0) =0;若FuG (0,十8),使/ (¾) g (a) >0,贝归MJG (0,十8),使 g (M) >0, KP30 (O, +°o)t 使m D 1 >0,lnx-1* 3a<j (O, +o° )i Cl V,xO令 h (X)=隹丄,则 X (X) =+ 1 =g,22xXX当曲(0,以)时,h' (x) >0> h (x)单调递增,当疋(e2, +8)时,h' (X)<0. A (X)单调递减,2力(兀)有极大值也是最大值为力(e2) =le< =I则 t<2色实数&qu
29、ot;的取值范围是(0,碁),乙e故选:A14. 【解答】解:f (x) =t - h当穴0时,f, (x) VO在MR上恒成立,此时f (A)在R上单调递减,不合题意:当 >0 时,由 f () =0,解得 = - Ina9当XV -加"时,f (x) <0, /()单调递减,当x> -加时,f (x) >0, /()单调递增,当“>0时,/(x)单调减区间为(8, - Ina)9单调增区间为(-皿 +8), 可知当X= - Ina l,函数取得极小值为f ( - Ina) =ae'bllna = lna+,又当 Xf - 8时,f () -*
30、+, a-*+8时,f (%) 一十8,f a>,0-1要使函数/(x)有两个零点,贝IJ/ ,得OGV土 故A正确:Jna + l<Oe由 f (O) =>0,极小值点 X= - /7t>0,可得OVM <兀2Vx1, x2是/&)的两个零点,h"="" 2=aex2.可得 lnx= lna+x, InXI=Ina+x故 InXl - x = lnx2 一 也,故 D 错误:由 lnx - x = lnx2 X2 = Inat设g (x) =InX -X - Ina,则XIf也为g(*)的两个零点,Q (x)=丄1=上生,得
31、g(X)在(0, 1)上单调增,在(1, +8)上单调减,0<xi<1<2,故 B 正确:设力(Xy) =g (x) - g (2 - x (O<x< 1),则力(x) =InX -In (2 - x) +2 - 2X (OVxVl),2hr (x)=丄+丄= >0恒成立,则力()在(0, 1)上单调增,X 2-xx(2-)VA (x) < (1) =0,.h (X1) =g(X) g (2 - Xi) VO,即 g(X1)Vg (2 - xj)> 得 g (x2) Vg (2 - Xi). 又 g (x)在(1, +8)上单调减,2, 2G (
32、1, +8),°X2>2 - Xp 即 m+X2>2,故 C 正确.综上,错误的结论是D故选:D.15. 【解答】解:由/(X)=InX - UXf可得/ (z)二丄a, (x>0)»X当 GWO 时,f (X)>0,. (A)在 (0, +8)上单调递增,与题意不符;当">0时,可得当f' G)=沪0,解得: QXa可得当汪(0,丄)时,f (X)>0,广()单调递增,a当* (, Q)时,f (X)<0, /(x)单调递减, a可得当Xn丄时,/()取得极大值点,a又因为由函数f(X)=InX - CIX有两个
33、零点X】,X2 (x<X2>.可得 f()=ln丄-10,可得 a<-a ae综合可得:O<a<X故A正确;由上可得f(X)由上可得x)的极大值为玖丄),设0約丄工2,设=f(-f(x)其中(o,丄,可得吕(丄)=o,aaa可得g=ln(f-z)-a(f-x)-lnx÷ax,心0,打易得龙丿时9 g (A ) =0,A a'1X (0,丄,Q (x) WO,故 (0,丄,g(x) >g(In-)=Q* 故f)-f ( X ) >0,aaaa 11f(-X1)>f (1)=f(x2)* 由 JCE(O,丄,易得2-“>丄,且
34、 0< X I << X ya 11aa 1 a1 a第贞(共页)可得存-約<吃即丫<心七2,即:有极大值点XO且x1÷x2>2oX故C正确,B不正确;由函数 f (x) =InX- ax 有两个零点 Xlf ×t (XlVX2),可得 lnx=ax> Inx2=ax27-rzeax1ax7 -rzax9 ax. a(x.+:«?)可得 x1= 1> x2 = e - nJ XIX2 = e 光 1=e1XZ由前面可得,巧七2>%弓可得皆2%也十":二/,故D正确.故选:B.16. 【解答】解:函数/
35、(x)的泄义域为(O, +), f (X)=耳严,X当* (0, 0)时,f (X)>0/3 单调递增,当 (e, +8)时,f () <0, / (a )单调递减,又/ (1) =0,所以 W (0, 1)时,f(X)<0: A (1, +8)时,/(X)>0,同时 g (x) =W= 岁 =W 若存在XIG (0, +8), 2R> 使得f (Al) =g(X2)=k Ck<0)成立,e e贝J<xl<l 且/() =S (2) =(ex2),VInXIX9 InSI所以 XI= e A2» 即 XI=InX9 又 k= 所以=k,
36、1 x1 13故(厶)ek=k%U 令 h (IC) =Q k<0, xI则於(it) =k2 (知3) »令於 (Ic) <0,解得 kJ 3、令於 <k) >0,解得:-3<<0,:h (R)在(-8, - 3)单调递减,在(-3, 0)单调递增,:.h (k) mm=h ( -3)=-马,3e故选:D.17【解答】解:由题意可知:当x>0时,mx - In (.r+l) >0恒成立,设子(X) =K -X-I- mx - In (x+l ) » 则f (x) =- 1(1 一),厂(X)=K 一兀"1D2 加0
37、时, (%) >0恒成立,f(%)递增,V/ (0) =0, x>0 时,f (x) >/(0) =0, f <-)递增,又 V/ (0) =0, x>0 时,f (x) >(0) =0,符合题意, 加>0 时,f, , () =K如一,'f " () >0 恒成立,f (x)递增,&十 1)3f, (0)=1"(Z) I-0即0VmW 1时,与同理,】符合题意,(H) 1 加<0,即 m>l 时,f (0) <0,另一方而,显然当才一+8时,f (X) >0,且厂(x)连续,由零点泄理
38、,存在也G(0, +8),使得厂(Xo) =0, 0<x< 时,f (Xy) <0, f (x)递减,又Tf (O) =0, O<x<xo时,f (X)<0, f (x)递减,/(O) =0, O<x<x时,/ (x) VO,不合题意,综上,加的范围是(-8, 1,故选:C18【解答】解:令g (a) =f(X)SinX, g' () =/ (x) COSA廿 (x) Sin-V= / (a) +f (x) tanvcosx,当疋0,)时,/() +f2(X) tau>O, 'g(X)>0,即函数g (X)单调递增.第
39、1贞(共页)Tr又 g (0) =0, x 0, 4-)时,g (x) =(x) Siu>, 2")是定义在(号f)上的奇函数,"(X)是定义在< -今)上的偶函数不等式 COSx9f (+-) +siu ( - x) >0,即 Sin (x+) f (x+) >Sinvf (无),即 g (.v+-) >g (x),2 2 2又-A<-+A<A,2 2 2故VVO0,由得不等式的解集是(卫,0).4故选:C.19.【解答】解:若关于X的不等式2lnxax2+ (加2) x+1恒成立,lnx+-问题等价于“豪在(0, +8)恒成立,
40、1 N31lnx+x(x÷l) (y2-lnx)令 g(兀)2则 Q 匕)= 21 1 27x +x十Q令 h (x) = - X - Inx9 (x>0)2 2则於 (X)=丄<o,2 X故h (x)在(0, +8)递减,不妨设/2(X)=0的根是抽,则 /LVO=- -2 2则 (0, X0)时,g' (X)>0, g(X)递增, A (XOf +o°)时,g' (x) VO, g(X)递减,Vh (1) =l>0, h (2) =J- - M2<O,2l<xo<2, <<1,2 ×o.&q
41、uot;21,"的最小整数值是1, 故选:B.20【解答】解:设g () =f°) P 由 f (X) >f (JV) +2,得:Q (A)=f' Of(d+2<o,色故函数g(X)在/?递减,由 f(X)- 2020 为奇函数,得/ (0) =2020,“(0)=/(0) -2=2018,即 g (0) =2018,J不等式/(x) -2018r<2,AfGo 2.<2O18,即 g(X)Vg (0),ex结合函数的单调性得:x>0.故不等式f(x) -2018HV2的解集是(0, +8), 故选:B.二.填空题(共10小题)21.
42、【解答】解:函数f(x) = - 3x,若对任意的实数X,不等式f (x+t) >f(X)+t (MO)恒成立,则(4) 3- 3 (+r) >j - 3x+t,即 x3+3x2t+3xt2+t3 - 3x - 3t>x3 - 3x+t,所以 3x1t+3xt2+P - 4r>0 (r0)恒成立,所以 r>0,且厶=(3f2) 2-43r(r3-4r) = - 3rl+48r2<0,解得 f>4,又fVO时,不等式不恒成立.综上,/的范围是(4, +8).22. 【解答】解:函数f (A)对泄义域R内的任意X都有f (x) =<4-x),. (A
43、)关于直线x=2对称:又当 x2 时其导函数f (X)满足 M (X)<2f CX) Of () (x-2) <0>当x>2时,f, (x) <0, /(x)在(2, +8)上的单调递减:同理可得,当x<2时,/ (*)在(-8, 2)单调递增;了 (3) =0, :.f (1) =0,即当 1V<3 时,f (x) >0,当 >3 或XVl 时,/ (x) <0,即/(x)的草图如右:则不等式")>。等叫;匸>0或;爲即 1VXV3 或 XV0即不等式的解集为-f 0) U (1, 3),故答案为:(-8, O
44、) U (1, 3)23. 【解答】解:设切点为(也,加o),由f (x) =Inx9得f (x)曲线y=f (A)任V轴右侧的图象在切点处的切线方程为y加(>=丄(X-Xn AO 把原点代入,可得-zu=-l,即x=e.则切线方程为V-I=丄(I几即y= ee作出函数f (X) = e-1, X<0的图象如图:Inx5 x0若f (x) =lv有两个不同的根,则zzO s-<m< 1. e加的取值范围为(-8, 0U (X 1).e故答案为:y=丄加(8, ou (X 1).e "e24. 【解答】解:(1) a= 时,f (x) =MU+丄,(>0)
45、,f () =lv+1 - f (X)=-23XXX故f (X)在(0, +)递增,而f(1)=0,故疋(0, 1)时,f (-) <0> f (%)递减,W 故/()极小值=/( 1)=1:(2)若f (x) Mar在(0, +)上恒成立,即 <(1- Inx)(0, +8)(T)I /hx0 即 Xe 时,Va>0f>0,恒成立,(1 InX) 0t(1, +8)时,f(.¥)>0, /(X)递增,丄>0,X2恒成立,故 U (1 - InX) W寺在(0, +8)£I-加Q>O即O时,问题转化为GW 在(0,十8)恒成立
46、,X2(I-InX)KP t-1m 只需求出 g (Q =2(1 -/u)的最大值即可,(0<<e),X2(I-InX)g' (x) =X (1 - 2lnx)9 令 g (X) >0,解得:O<x<,令 Q (X) <0,解得:fe<x<e9故g (x)在(0,頁)递增,在(貞,e)递减,故 g (X)Mu = g (J) =»2故“W丄=Z皂 e2综上,<(0, Z.故答案为:1,(0, 2e25【解答】解:由X 2x2+ax+bAInX对任意的.v 1,打恒成立,得-x2+x - 2v+4,u - X2对任意的L可恒
47、成立,令/ (x) = - x2+x - 2, g (x) =4InX - X2- 2由 g (.¥)=4InX - x2t 得 g' (X)=仝一2龙= -(IWxWw)XX当疋(1, )时,g' (x) >0, g(X)单调递增,当疋(久R)时,g' (x) VO, g ()单调递减.在同一平而直角坐标系内,作出函数y=f(X)与y=g (X)的图象如图:第1贞(共页)联立严T) -1,IUy=-X+-2设过(1, - 1)与/(x) = -x2+x-2相切的直线方程为)>+l = Q- 1),消去 y 得 X2+ (/:-1) x+l - A
48、r=O.由/k= (R-1)2-4 (1£) =Ot 解得 k= 3 或 k=.当k=-3时,直线方程为)=-3x+2.由图可知,满足不等式X - 2+v+.4Mx对任意的aL e恒成立的实数b的最大值为2. 故答案为:2.26. 【解答】解:V/(X)=AJ - t - 2 SgR), f(x) =3-2-d (x<0), 当 t0 时,ff (x) =3x2 - t>0,函数/(x)在(-8, 0)上单调递增,又/(0) = -2<0,., (a)在(-8, 0)上没有零点: 当“>0时,由f (x) =3 - </>0,解得XV-2Z孕或&g
49、t;V鱼(舍).33:.f ()在(-8,-上单调递增,在(琴,。)上单调递减,0)内有且只有一个零点,-2=0» 解得 “=3,而f (O) = - 2<0,要使/(X)在( 8, (> =(VIZ) 3_aX(_VIZ)f () =X3- 3x-2, f (X)=3/-3=3 (x+l) (- 1), .r - 1, 2,当定(-1, I)时,f (x) VO, f (-)单调递减,当妊(1, 2)时,f (x) >0, / (x)单调递增. 又/ ( - 1) =0,/(1) = -4, / (2) =0,V(A)Wrn =/ (1) = -4. 故答案为:-
50、4.27. 【解答】解:由v=÷i,得)=1-X设P(Mo,XO) (Xo>0)> 则/xO曲线在P处的切线方程为厂叼xO)20分別与y=与y=2v联立,可得A (2¾, 2o), B ( 勺十14xo2 片 % T取 X=O.可得 C (0, 2),又 O(0. 0), xO AOAC的面积Sl=吉X 2 OA =i4x02+4x02 = 22x0*×2x0 = 2:点B到直线X-y=0的距离d=% %7÷÷ix02+11V2 X Q2 Xn2: HOAB 的面积 52=-×22x0×2=2=f (0, 2).
51、Xa T xo T 1兀 故答案为:2: (0, 2). 28.【解答】解:可设/=五了,由.心0可得"1,.2 I由尸宁,可得不等2÷3÷2-a7i-a2>成立,2 2即为(I) 2十3 (-SL) +2 - Ut -0 对恒成立,2 2化为a2+at -丄(2+3) (r2+l) £0对总1恒成立,4设了 (/) =u2+</ -i- (M) (r2+l), f (/) =11 -(户+2/),由题意可得/(f)的最大值小于等于0,若/(x)不单调,可得“M3,再由 />1 时,f(ty) = (r3+2r) 2+t (r3+2z)
52、 - -A (AF3) (r2+l)4的导数为f (/) =65+1910r>0,即有/(r) >(1) =10>0,不等式不恒成立,可得/(x)单调,且 f (x)在1, +8)递减,可得(r3+2f) W0,即 “W3;又 a2+a - A× (1+3) × (1 + 1) 0,4解得-2tL即U的范围是-2, 1.故答案为:2, 1.29. 【解答】解:X2 -LV- 2«IWa - 3 RPk - 2Ix2 - “+3,可得 X-加Mt2 - "+3,或 X- 2“W - 2+< - 3,即为 UWX-3 或 3"
53、;2W+x+3 在-1 x 1 恒成立,由 y=x-x2-3 在-1, 1的最小值为-1-1-3=-5,可得 < - 5;由y=x2+x+3在-1, 1的最大值为1+1+3=5,可得3"$5,即心邑3由<>0t可得a.3故答案为:"鼻色330. 【解答】解:设直线y=2x _b与函数>=/ (x)的图象相切的切点为(加,2lnm)i由f (X)=2,可得2=2,即m=9切点为(1, 0),X m则b=2,切线的方程为y=2r-2,联立 y=g (x) =UXl -X-丄,可得 ax2 - 3x+-=0,2 2由题意可得=9-4<f3=o,解得t
54、=2 2设y=f (x)与y=f> (x)的图象在交点处存在切线y=lcx+t,且切点为S, Ilnn×if (X) =2, Q () =IaX- 1>X91可 =L= k=2an 1, 2lnn=kn+t=an2n2化为加=2,初?=空2则2/期=上2.2 2即 4bm+n= 1,设力(?) =4lnn+n, h, (n) =-+l>0>可得力5)在(0,十8)递增,由力(1) =1,可得n4lnn+n=l 的解为 n=l,则由y=-丄(">0的图彖可得,当“越大时,抛物线的开口越小,2 2可得此时y=f (a)和y=s(X)的图象相离,总存
55、在直线与它们的图象都相切, 则“的范围是3, +8).2故答案为:I啥,+8).三解答题(共10小题)31【解答】解:(l)f CX) =U - 1=1 (x>0),X X当"WO 时,f (x) <0, :.f (x)递减,当“>0时,令f (%) <0,得OVXV丄:令f (%) >0,得工>丄,aa综上:"WO时减区间为(0, +8),t>o,时减区间为(0,丄):增区间为丄, +):aa(2) GWO时,/(x)在(0,习上为减函数,:f (X)伽=f (e) =Ue - 1=4,.=5>0,舍去,“>0时若丄即“W丄时于()在(0,打上为减函数,ae:f(X)nin=f()=Ue - 1=4,a=邑舍去,若丄Va即a>2时/()在(0,丄)上递减,在(丄,可上递增,aeaa:f (A ) min=f()=1 - n-= 4,aa: G = R 32【解答】解:(1)当 “=0 时,f (x) =XSinX+cow x , . f (X) =Si
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