多元函数概念多元函数的极限与连续性PPT学习教案

1、会计学1多元函数概念多元函数的极限与连续性多元函数概念多元函数的极限与连续性二二 、邻域邻域 ,)()()( ),( ),( 22222112121 nnnnnxyxyxyPQyyyQxxxPR 规定为规定为间的距离间的距离中两点中两点.)() ,( ), ,( 12 niiixyQPQP 即即记记为为, 0 , , 0 nRMM设设点点,) ,() ,( 000 MMMMNM邻邻域域为为的的点点.) ,(0 ) ,( 000 MMMMNM邻邻域域为为的的去去心心点点第1页/共27页xyo M0M, 2中中在在 R) ,() ,(00 MMMMN.)()(),(2020 yyxxyx第2页/共

2、27页设点集设点集nRS ，nRM 0，0 . （1）内内点点：若若SMN ) ,(0 ，则则称称的的是是 0SM内内点点. （2）外外点点：若若 SMN) ,(0，则则称称的的是是 0SM外外点点. 三三 、区域区域 第3页/共27页（6）区区域域：连连通通的的开开集集称称为为区区域域（或或开开区区域域）. （7）闭闭区区域域：开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起，称称为为闭闭区区域域. 第4页/共27页:例如例如第5页/共27页 21 多元函数的概念多元函数的概念 定义定义 设有点集设有点集nRA ，实数集，实数集 R， f 是一个确是一个确 定的对应法则定的对应法则. .如果如果

3、AxxxMn ) , , ,(21，通过，通过 f 在在 R 中有唯一的数中有唯一的数 u 与之与之对应，则称对应，则称 f 是定义在是定义在 A 上的上的 n元函数元函数，记为，记为 , RuAMf 其中其中nxxx , , ,21称为称为自变量自变量，A 称为称为 f 的的定义域定义域. . ),( ),( 21nxxxfuMfu 或或简简记记为为第6页/共27页解解： 001yxyx （1）yxyxz )1ln( xy 1 xy例例 1确确定定并并画画出出下下列列函函数数的的定定义义域域 D. 函数函数yxyxz )1ln(的定义域为的定义域为 xyxy1， xyo)0 , 1(第7页/

4、共27页解解： 0)1ln(010422222 yxyxyx （2 2）)1ln(4222yxyxz 104222 yxxy 定义域为定义域为 10 ,4 ),( 222 yxxyyxD. . xyo122 yxxy42 014 22222 yxyxxy第8页/共27页例例 2设设22) ,(yxxyyxf ，求求),(yxf. . 解解：设设 vxyuyx， . 11 vuvyvux则则22)1( )1( ) ,( vuvvuvuf 有有, )1( )1( 22vvu . 1)1( )1( )1( ) ,( 222yyxyyxyxf 故故第9页/共27页二元函数的概念的几何意义二元函数的概念

5、的几何意义 设函数设函数 ),(yxfz 的定义域为的定义域为 D，DyxP ) ,( ， 对应的函数值为对应的函数值为),(yxfz ，于是有序实数组，于是有序实数组zyx , , 确定了空间的一点确定了空间的一点) , ,(zyxM. . 当当),(yx取遍取遍 D 上的上的 一切点时，得到一个空间点集一切点时，得到一个空间点集 ),( ),( ) , ,( Dyxyxfzzyx ， 这个点集称为这个点集称为函数函数),(yxfz 的的 图形图形. . xyxyozPDM第10页/共27页通通常常二二元元函函数数的的图图形形是是一一张张空空间间曲曲面面. :例如例如; 的的图图形形是是一一

6、张张平平面面函函数数cbyaxz ; )0( 222的的图图形形是是上上半半球球面面函函数数 ayxaz. 22的的图图形形是是旋旋转转抛抛物物面面函函数数yxz 第11页/共27页作作 业业习习 题题 5.2 (P42)5.2 (P42)1 1 (2)(6). (2)(6).第12页/共27页 先先讨讨论论二二元元函函数数),(yxfz 当当00 ,yyxx （或或)(Mfz 当当0MM ）时时的的极极限限. . 多元函数的极限多元函数的极限 . 0)()( ,202000 yyxxMMMM 即即1 1二元函数的极限二元函数的极限 第13页/共27页二元函数的极限称为二元函数的极限称为二重极

7、限二重极限. .)(lim ),(lim000AMfAyxfMMyyxx 或或第14页/共27页例例 3 3设设)0( 1sin)(),(222222 yxyxyxyxf， 证证明明: :. 0),(lim00 yxfyx 证证： 0 1sin)(0),(2222 yxyxyxf ,22yx 0 ，取取 ，则则当当 , )0()0(0 22时时 yx总有总有 20),(yxf 成立，成立， 故故 . 0),(lim00 yxfyx 第15页/共27页注注意意第16页/共27页, 00lim)0,(lim),(lim0000 xxyxxfyxf; 00lim) , 0(lim) ,(lim000

8、0 yyyxyfyxf 0 , 0 0 ,),( . 4222222yxyxyxxyyxf考考察察函函数数例例? )0 , 0( 是是否否存存在在极极限限在在点点第17页/共27页 关关于于二二元元函函数数的的极极限限概概念念，可可相相应应地地推推广广到到元元函函数数 n )(Mfu 即即),(21nxxxfu 上上去去. ,1lim),(lim22222000kkxkxkxyxfxkxyx 第18页/共27页.)(lim 0AMfMM 第19页/共27页8.2.2 8.2.2 多元函数的连续性多元函数的连续性 第20页/共27页). , , ( )()()(1ln 222cbaczbyaxu

9、是是的的间间断断点点函函数数 第21页/共27页第22页/共27页例例 5求下列极限：求下列极限： （1 1）2210)ln(limyxexyyx ； 解解：110)0ln()ln(lim2212210 eyxexyyx. （2 2）xxyyx)sin(lim20； 解解：2)sin(lim)sin(lim2020 xyxyyxxyyxyx. 第23页/共27页（3 3）22220093limyxyxyx )93)()(lim22222200 yxyxyxyx. e 22220093limyxyxyx 解解：解解：yxxxayxyxxayxxx )11(lim)11(lim2.61 第24页/共27页（2）最大值、最小值定理）最大值、最小值定理（3）介值定理）介值定理（1）有有界