多元函数微分法52014PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法多元函数微分法52014 第九章第九章 一、坐标平面、区域一、坐标平面、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共51页( )yf x( , )zf x y( , , )wf x y z12(,)nyf x xx,xD R RD2( , )x yD R RD坐标平面坐标平面xxyooxyz2R R2注：空间直角坐标系中的 xoy平面即为R R坐标平面坐标平面第2页/共51页xyo1x1y111,Mx y222,Mxy12,M M点之间的距离为：2212

2、121212(,)()()MMxxyyM M 333,Mxy三角不等式三角不等式121323(,)(,)(,)MMMMMM 12,MM设坐标平面上的点4第3页/共51页( ,) ( ,). .Ex yx y满满足足条条件件(i) 全全平平面面: : 2R( ,)|,.x yxy , , .Sa bc d也常记作：也常记作：222(ii)( ,).Cx yxyr圆:圆: CxyOr(a) 圆圆 C SxyOabcd(b) 矩形矩形 S (iii)( ,),Sx yaxb cyd矩矩形形: :第4页/共51页00,000(),0,. P x yPP 设坐标平面上的点设所有与距离小于 的点的平面集合

3、称为 的 邻域x0 x0 x0 x 00(; ) |U xx xx平面上的邻域平面上的邻域:Oxy. P0 002200:U(P ;)=P|P,P = (x,y)| (x- x ) +(y- y ) 记为第5页/共51页00,;.U PU P注1：若是不在意 的大小可简写成000;.ooPUPUP注2： 的去心邻域记为：或000;( , )|,U Px yxxyy0P注3： 的邻域的等价定义：P0 22000;( , )|0()()oUPx yxxyy2 0P-方邻域方邻域圆邻域圆邻域00000;( , )|,( , )(,)oUPx yxxyyx yxy0P的去心方邻域：第6页/共51页圆邻

4、域与方邻域等价圆邻域与方邻域等价:(你中有我你中有我,我中有你我中有你)圆邻域与方邻域均称为邻域圆邻域与方邻域均称为邻域.0P 2 0P符号表示符号表示:0(; )U P 或或0().U P第7页/共51页问题问题: 以下两个集合相等吗以下两个集合相等吗?0000( , )|,|,( , )(,)x yxxyyx yxy 0000( , )|,|x yxxyy 0 x0p0 x0y0p0y0 xx0yy第8页/共51页 22121212120002200(,)()();( , )|,( , )|()()MMxxyyM MPU PP x yP Px yxxyy 距距离离公公式式：的的 邻邻域域：

5、Oxy. P0 第9页/共51页(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含既含 E中的内点也含中的内点也含 EE则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 . .的外点的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属

6、于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . 第10页/共51页若对任意给定的若对任意给定的 , ,点点P 的去心的去心) ,(PUE邻邻域域内总有内总有E 中的点中的点 , 则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E , 也可以不属于也可以不属于 E (因为聚点可以为因为聚点可以为 E 的边界点的边界点 ) 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例10| ),(22 yxyx(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第11页/共51页 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx

7、例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第12页/共51页D 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称 D 是是连通连通的的 ; 连通连通的开集称为的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ;。 。 E 的边界点的全

8、体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;第13页/共51页0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyo21xyoxyoxyo21第14页/共51页 整个平整个平面面 点集点集 1),(xyx是开集是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .11oxy 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D 与坐标原点与坐标原点 O 的距离的距离 OP K , 则称则称 D 为为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为否则称为无无第15页/

9、共51页n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的kx数称为该点的称为该点的第第 k 个坐标个坐标 .记作记作即即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一个一个点点, 当所有坐标当所有坐标时，0kx称该元素为称该元素为 nR中的中的零元零元,记作记作 O .第16页/共51页的的距离距离记作记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点中点 a 的的 邻域邻域为为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx

10、中的点,),(yxyx或规定为规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元与零元 O 的距离为的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR第17页/共51页引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr第18页/共51页,RnD DPPfu, )(或点集点集 D 称为函数的称为函数的

11、定义域定义域 ; 数集数集DP,Pfuu)(称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有有二元函数二元函数2R),(),(Dyxyxfz当当 n = 3 时时, 有有三元函数三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射映射R:Df称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作),(21nxxxfu 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.第19页/共51页例例 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定

12、义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 第20页/共51页 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）第21页/共51页xzy221yxz定义域为定义域为1),(22 yxyx圆域圆域说明说明: 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的图形为中心在原点的上半球面上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为的图形一般为空间曲面空间曲面 .12R),(yx三元函数三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为定义域为1),(222zyxzyx图形为图形为4R空间中的空间中的超曲面超曲面.单位闭球单位闭球

13、xyzo第22页/共51页四四.二元函数二元函数-几何意义几何意义(2)草图草图注注1:1:二元函数的图形是三维空间中的一张曲二元函数的图形是三维空间中的一张曲面面. .注注3:在定义域内的任一条与在定义域内的任一条与Z轴平行的直线，轴平行的直线， 与该曲面有且只有唯一的交点与该曲面有且只有唯一的交点.注注2:其定义域其定义域D为该曲面在为该曲面在xoy平面上的投影！平面上的投影！第23页/共51页xyzO1 22(y)1zf xxy，P P22( , )|1Dx yxy设设P(x,y)为为D内的点内的点 E( )1zf P 当：当：PO任何方式任何方式总有总有 220 xy 则称则称f 在在

14、D上当上当 时有极限值时有极限值1. PO引例：引例：问题问题：若是：若是f在在O点没定义，上述极限过程仍成立么？点没定义，上述极限过程仍成立么？第24页/共51页定义定义2. 设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf点点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称则称 A 为函为函数数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n =2 时时, 记记20200)()(yyxxPP二元函数的二元函数的极限可写作极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A ,对一对一记作记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有都有

15、对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数 ,切切0 0( , ) ( ,)lim( , )x yx yf x y 第25页/共51页说明说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第26页/共51页)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022时当yx22y

16、x 222yx , 总有要证要证 第27页/共51页 若当点若当点),(yxP趋于趋于不同值不同值或有的或有的极限不存在极限不存在，则可以断定函数极限则可以断定函数极限以以不同方式不同方式趋于趋于,),(000时yxP不存在不存在 .函数函数第28页/共51页例例3：讨论讨论 22,0,0limx yxyxy 的存在性。的存在性。解解 当当P(x,y)沿沿x轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时， 即即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，. 0)0 ,x(flim0 x 当当P(x,y)沿沿y轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，即即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y0)，.

17、0)y,0(flim0y xyODP 22,0,0lim0?x yxyxy 第29页/共51页例：例：讨论讨论 22,0,0limx yxyxy 的存在性。的存在性。续解续解xyODP当当P(x,y)沿直线沿直线y=kx轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，即即f(x,y)=f(x,kx)= (x0)，2k1k y=kx，220 x0 xkxyk1kk1klim)y,x(flim 其极限值随直线斜率其极限值随直线斜率k的不同而不同的不同而不同,因此因此 不存在不存在. 22,0,0limx yxyxy 第30页/共51页二元函数的极限二元函数的极限-不存在的例子不存在的例子问题：问题：?),(l

18、im,),(lim000AyxfkAkxxfyxx 成成立立，能能否否说说明明对对任任意意的的若若不能不能反例：反例：24200limyxyxyx 当当P(x,y)沿直线沿直线y=kx轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，即即f(x,y)=f(x,kx)= ，222243kxkxxkxkx 0lim2420 yxyxkxyx当当P(x,y)沿曲线沿曲线 轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，2xy 21444 xxx21lim24202 yxyxxyx所以极限不存在所以极限不存在第31页/共51页确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：(1)(1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋

19、向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2)(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 二元函数的极限二元函数的极限-不存在的方法不存在的方法第32页/共51页220222222xyxyyxyxyx: 解解 222200yxyxlim,y ,x 一元函数极限的四则运算法则，迫敛性，都可以推广一元函数极限的四则运算法则，迫敛性，都可以推广到多元函数的极限运算上

20、来，但是到多元函数的极限运算上来，但是洛必达法则洛必达法则和和单调单调有界定理有界定理除外除外;求二元函数极限的一般思路是求二元函数极限的一般思路是转化转化为一为一元函数的极限来处理。元函数的极限来处理。例例1 求求: 0lim02lim22220,0,0,0, yxyxxyyxyx另解：另解： sin,cosryrx 令令 2224022220,0,sincoslimlimrryxyxryx 则则0sincoslim2220 rr极坐标换元极坐标换元第33页/共51页例例2 求求: x)xysin(lim2 ,0y,x yxysin(xy)limx)xysin(lim:2,0y,x2,0y,

21、x 解解0t2yx,xy 且且则则设设0t 221ylimt)tsin(limyxysin(xy)limx)xysin(lim2y0t2 ,0y,x2 ,0y,x 第34页/共51页例例3 求求: yxxyxx 2)11(lim0, yxxxyxyxxyxxx )11 (lim)11 (lim0,0,2 yxxxyxyxx 0,lim0,)11 (lime 解：解：第35页/共51页例例4：求极限求极限.11lim)0,0(),(xyxyyx )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 分子有理化分子有理化第36页/共51页定义定义3 .

22、设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上上,0DP 聚点如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,0P此此时时称为称为间断点间断点 .则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续, 第37页/共51页注注1:00000(,)( ,),P xyP x yxxxyyy 、设设00( ,)(,)zf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx yyf xy 为函数为函数 f 在点在点 的的全增量全增量. 0P则则 f 在点在点 连续连续0P(

23、,)(0,0)lim0 xyz注注2:若若z=f(P)在区域在区域D 上每一点都连续，则称函数在上每一点都连续，则称函数在区域区域D上连续，记为：上连续，记为：( )C(D)f P 第38页/共51页 22(y)1zf xxy ，区域区域D 上连续函数的上连续函数的几何表现几何表现为：为：D上方上方张开的张开的一张一张“无孔无缝无孔无缝”的曲面片。的曲面片。多元连续函数四则运算以及复合法则类似一元函数。多元连续函数四则运算以及复合法则类似一元函数。注注3:xyzO1例例:22( , )|1Dx yxy 在在上连上连续续第39页/共51页0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点

24、(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上间断上间断.122 yx 故故 ( 0, 0 )为其为其间断点间断点.在圆周在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义一切多元初等函数在定义区域区域内连续内连续.第40页/共51页.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2第41页/共51页,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在

25、D 上一致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) (一致连续性定理一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 第42页/共51页1. 区域区域 邻域邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域区域连通的开集连通的开集 空间nR2. 多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数),(21nxxxf常用常用二元函数二元函数 (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数DP)(Pfu

26、 nR第43页/共51页APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有有)( APf4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续第44页/共51页),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221y