多元函数的极值90434PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值多元函数的极值90434一、多元函数的极值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是某点函数值比该点附近函数值大(小).定义点P0为函数的极大值点. 类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域, ),()(,00PfPfPP 为极大值.则称)(0Pf第1页/共38页 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的, 一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.注第2页/共38页xyzOxyzO2243yxz 22yxz xyz

2、 函数是否存在极值, 在(0,0)点取极小值. 在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数 xyzO 第3页/共38页2.极值存在的必要条件证.定理1(必要条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 具有具有处处且在点且在点),(00yx则它在该点的偏导数必然为零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏偏导导数数,有有极极值值处处在点在点),(),(00yxyxfz 有极大值,不妨设的某邻域内任意的某邻域内任意则对于则对于),(00yx),(),(00yxyx 都

3、有),(),(00yxfyxf 00,yyxx特特别别地地, ,当当时时),(),(000yxfyxf 有有这说明一元函数处处在在00),(xxyxf 有极大值,必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy类似地可证第4页/共38页推广如果三元函数),(),(000zyxPzyxfu在点在点 具有偏导数,则它在),(000zyxP有极值的必要条件为, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz驻点极值点一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,的的是函数是函数点点xyz )0 , 0(驻点,但不是极值点. 注

4、第5页/共38页3.极值存在的充分条件定理2(充分条件),(),(00yxyxfz在点在点设函数设函数 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数, 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在点在点则则处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值,时时当当0 A有极大值,时时当当0 A有极小值;(2)时时02 BAC没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值,也可能无极值.（用定义判定）第6页/共38页求函数 极值的一般步骤:),(yxfz 第一步解方程组 0),(0)

5、,(yxfyxfyx求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值.CBA、第三步定出2BAC 的符号,再判定是否是极值.具有二阶连续偏导数极值的求法极值的求法的函数的函数),(yxfz 第7页/共38页例1. 解.又在点(0,0)处, 在点(a,a)处, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf229aBAC 故),(yxf2227aBAC aA6 且且故),(yxf即.),(3aaaf 的极值.0 在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,0 ,6x ,3a

6、.6y 0 第8页/共38页04222 xxzzzx解.求由方程010422222 zyxzyx.),(的极值的极值确定的函数确定的函数yxfz 将方程两边分别对x, y求偏导数,04222 yyzzzy 由函数取极值的必要条件知,驻点为),1, 1( P将上方程组再分别对x, y求偏导数,21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 例2. 第9页/共38页故22)2(1zBAC )2( z函数在P有极值.0 )1, 1( P将将代入原方程,6, 221 zz有有,21时时当当 z41 A, 0 2)1, 1( fz为极小值;,62时时当当 z41 A, 0 6)1, 1(

7、fz为极大值.所以所以第10页/共38页然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数22yxz 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.可能极值点: 驻点, 偏导数不存在的点.由极值的必要条件知,若函数偏导数存在,但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数注释极值只可能在驻点处取得.第11页/共38页对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法第12页/共38页解.yxz 18xyzV ：区域区域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例3.已知长

8、方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为., zyx、由题意长方体的体积为18, 0, 0 yxyx)6 , 6(驻驻点点 且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,18 zyx第13页/共38页上例的极值问题也可以看成是求三元函数zyx、但但的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件 有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法xyzV 18 zyx第1

9、4页/共38页拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数),(yxfz 0),( yx 在约束条件 下取得 如函数(1)在),(00yx0),(00 yx 由条件0),( yx (1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数).(xyy 不必将它真的解出来,则于是函数(1),(00yx在在0 xx 即, 在 取得所取得极值.求的极值.),(,(xyxfz 第15页/共38页其中 0ddxxxy代入(4)得:)5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 由一元可导函数取得极值的必要条件知: 0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddx

10、xyyxxxyyf 0 ),(),(0000yxyxyx 0 xx 取得极值.在(3) ,(5)两式),(00yx在在取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的)(,(xyxfz 第16页/共38页 设 ),(),(0000yxyxfyy上述必要条件变为: (6)中的前两式的左边正是函数:0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6),0),(00 yx ),(),(),(yxyxfyxL 的两个一阶偏导数在),(00yx的值. 参参数数函数),(yxL称为

11、拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.第17页/共38页拉格朗日乘数法:),(yxfz 0),( yx 总结：条件极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数),(),(),(yxyxfyxL 为某一常数,其中可由 解出, yx其中就是可能的极值点的坐标.yx, 0),(),( yxyxfxx, 0),(),( yxyxfyy. 0),( yx 第18页/共38页如何确定所求得的点实际问题中, 非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点第19页/共38页其中最大者即为最大值, 与一元函数相类似,可

12、利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有可能的极值点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,三、有界闭区域上函数的最值第20页/共38页解.(1) 求函数在D内的驻点 由于所以函数在D内无极值.(2) 求函数在 D边界上的最值(现最值只能在边界上)与与在在求函数求函数0, 0212 yxyxxz1 yx直直线线围成的三角形闭域D上的0 最大(小)值.例4.xzx21 2 yz 1 yxDxyO第21页/共38页在边界线在边界线由于最小, 由于又在端点(1,0)处,所以,最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0

13、,21( z有驻点 函数值有, 0 x单调上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10上上 x1 yxDxyO第22页/共38页在边界线所以, 最值在端点处. )1(212xxxz由于 函数单调下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比较),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z1 yxDx

14、yO第23页/共38页解.),(000zyxP设设为椭球面上的一点,令1),(222222 czbyaxzyxF则,2|20axFPx ,2|20byFPy 202|azFPz 的切平面方程为),(000zyxP过过在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例5.1222222 czbyax切平面,四面体体积最小,求切点坐标.0)()()(020020020 zzczyybyxxax第24页/共38页目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面体的体积xyzV61 0002226zyxcba 约束条件在条件

15、1220220220 czbyax下求V 的最小值,第25页/共38页令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由 , 00 xL01220220220 czbyax, 00 yL00 zL第26页/共38页可得即当切点坐标为)3,3,3(cba四面体的体积最小abcV23min 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 第27页/共38页.)21, 1 , 1(22的最短距离的最短距离到曲面到曲面求点求点yxz 解. d为简化计算,令

16、222)21()1()1(),( zyxzyxf22yxz ),(zyx设设是曲面上的点,它与已知点的距离为问题化为在),(zyxf下求的最小值.222)21()1()1( zyx目标函数约束条件例6.第28页/共38页 ),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由 )1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1( zyx设02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代代入入)4(第29页/共38页由于问题确实存在最小值，与与由由22xz xxxz212121 故xx21

17、22 有最小值有最小值d得唯一驻点24,41,41 zyx333222141412 33处处，故在点故在点 244141333第30页/共38页解.22)1(yxz 先求函数先求函数 0202yzxzyx驻驻点点22)2(yxz 再再求求 为此作拉格朗日乘函数: ),(yxL上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx )0 , 0(9)2()2(2222 yxyxz在圆在圆求函数求函数例7.第31页/共38页)(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代代入入)(c225 yx比较比较)3(,25 z. 0 z, yx 22

18、 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值为最小值为、)0 , 0( z、 225,225z 22,22z上，上，在圆在圆9)2()2(22 yx第32页/共38页选择题已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续, 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且则(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.(B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y)的极值点.例8.第33页/共38页多元函数极值的概念条件极值 拉格朗日乘数法多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念三、小结(上述问题均可与一元函数类比)第34页/共38页思考题,),(00的极值点的极值点为为若若yxfx是否为是否为点点),(00yx?),(的极值点的极值点yxfz 答不一定.二元函数),(yxf在点),(000yxP处有极值(不妨设为极小值),是指存在),(0