递推最小二乘法的应用

1、1递推最小二乘法在电厂模型辨识中的应用电厂中大多数热工对象可以用一阶或二阶有迟延和非迟延的模型来表示，对这些模型中参数的辨识，递推最小二乘法是一种较好的方法。 本文以火电厂部分 典型一阶模型为例子，借助丁某电厂现场数据，分别对以下几种环节进行辨识。1.1 一阶惯性环节火电厂中，来自锅炉的过热蒸汽，经高压调节汽门和导汽管道进入高压缸膨 胀做功，高压缸的排汽回到锅炉再热器被重新加热， 加热后的蒸汽经中压调节汽 门进入中低压缸进一步膨胀做功， 做功后的乏汽最终排入凝汽器变成凝结水， 一 股中压调节汽门的开度是高压调节汽门的 3倍，即在机组负荷大丁额定的 30% 或者滑压运行时，汽轮机的中压调门是完全

2、开启的。因此，在简化模型中，汽机 侧调速器一级压力与机组有功功率可以简化为一阶惯性环节如下：Gi (s)=Tis 1将以上环节离散化，并写成差分方程的形式y(k) = aj -y(k -1) b|U(k -1) v(k -1) a1 =(T -T1)/T1, =K1T /T1其中u为调速器一级压力，y为机组有功功率，v(k)为零均值方差为1的高斯白噪该论文依据递推最小二乘法原理， 借助MATLAB工具编写程序，设定合适 的初始值和加权因子进行参数辨识，辨识结果为国=2.7547, b? = -0.9193，由3,?可得到K1 =34.12, I = 12.36s进而得到系统的传递函数为:G(s

3、) =34.1212.36s 1卜面运用递推最小二乘法对所得结果进行仿真：假设匕=34.12 , T=12.36s已知，采样时间为T =1s,则计算可得a =(T -工)/T1 =(1-12.36)/12.36 - -0.9191b1 小丁/气=34.12/12.36 =2.7670用M序列作为输入信号，得到输出信号，然后对参数进行辨识。程序如下:%最小二乘的递推算法%Z(k+1)=0.9191*Z(k)+2.7670*u(k)+v(k)%=clearclc%=400 个产生 M 序列作为输入=x=0 1 0 1 1 0 1 1 1; %initial valuen=403; %n为脉冲数目M

4、=; %存放M序列for i=1:ntemp=xor(x(4),x(9);M(i)=x(9);for j=9:-1:2x(j)=x(j-1);endx(1)=temp;end%=产生均值为 0,方差为 1的高斯白噪声=v=randn(1,400);%=产生观测序列 z=z=zeros(402,1);z(1)=-1;for i=2:401z(i)=0.9191*z(i-1)+2.7670*M(i-1)+v(i-1);end%递推求解P=10*eye(2); %协方差阵Theta=zeros(2,401);%参数的估计值，存放中间过程估值Theta(:,1)=0.001;0.001;% 参数估计值

5、初始值 a1=0.001,b1=0.001u=0.99; %遗忘因子for i=2:401h=-z(i-1);M(i-1);K=P*h/(h'*P*h+u); %增益矩阵Theta(:,i)=Theta(:,i-1)+K*(z(i)-h'*Theta(:,i-1);P=(eye(2)-K*h')*P/u;end%=输出结果及作图=disp('参数a1 b1的估计值:')Theta(:,401)a1=zeros(1,401);a1(1,:)=-0.9191;b1=zeros(1,401);b1(1,:)=2.7670;i=1:401;figure(1)pl

6、ot(i,Theta(1,:),'m',i,a1,'g',i,Theta(2,:),'b',i,b1,'r');e_a1=Theta(1,:)-a1;% a1 的误差e_b1=Theta(2,:)-b1; % b1 的误差figure(2)plot(i,e_a1,'m',i,e_b1,'b'); % 误差曲线图递推算法仿真曲线如图1所示：图1递推算法仿真曲线误差曲线如图2所示:得到400个数据的al bl估计值为：a1= -0.9208, b? =2.6564由估计值可得T? = 12.63s,昭=

7、33.55由递推算法仿真曲线图1可知，参数估计收敛速度较快，占用内存较少。由 误差曲线图2可知，al辨识效果较好，bl辨识误差较大。1.2 一阶惯性迟延环节炉内燃烧与传热过程可以简化为磨煤机动态和水冷壁动态两个部分，在此我们将两者合并为一个一阶惯性迟延环节，研究表明此简化也能较好反映锅炉传热过程：G1(S)二K2e-ST2S 1B(s)式中，B为炉膛的燃料量，为已知量；D为锅炉总有效吸热量；i为纯迟延时 问；K2、T2为传递函数的系数。针对纯迟延的参数应用改进的具有最小损失函数的递推最小二乘法辨识，具体辨识算法为：y(k) = h(k)e(k)h(k) =-y(k-1>)11, - y(

8、k -n),u(t -d -1Ml'u。-d- m)司尼,Hl,an,bi,b2,川，bmB为已知量，令:G(s)=K2e-ST2S 1对K2、T2进行辨识。假设采样时间T=1s, T = d*T。将以上环节离散化, 并写成差分方程的形式y(k) = a1 y(k -1) 0u(k -1 一 d) v(k -1) a =(T -1)/" = K1T/T1相对丁递推最小二乘法 h (k)中多了一个时间常数d,其中，参数h (k)是各 个参数的函数，输入输出观测向量是纯迟延时间 d的函数，残差e (k)取决丁 各参数的拟合误差，最小二乘估计是使目标函数 J (k, d) =min

9、 J (k, d)最 小，由丁 d为离散值，当已知纯迟延时间在某一范围dmin, dmax内时，可 以采用最小损失函数的方法将纯延迟时间d和其他参数向量一起辨识。具体实现方法可以分2步来进行：(1)假设纯迟延时间已知，利用最小二乘法对其他参数进行估计J(Rd) =minJ(gd);例如假设d=2,则y(k) =a1【-y(k -1) M(k -3) v(k -1)类似一阶惯性环节，可以利用递推最小二乘法辨识程序辨识出3=（乳？）。检查是否满足收敛条件或者达到搜索次数，若满足收敛条件或达到搜索次数，则输出辨识结果，否则进行下一步。（2）对丁关丁纯迟延的损失函数进行优化，得到纯迟延的估计值J&,c?） =minJ （段 d）, di dmin, dmax,再返回上一步。最小化损失函数的递推最小二乘算法程序框图如图3所示：图3最小化损失函数的递推最小二乘算法2总结采用递推最小二乘法，基丁某电厂的实时数据，在MATLAB中编写递推最小二乘法辨识程序，程序中可以根据实际需要设定采样时间和初始值， 选取适当 的初始值对火电厂两个典型的一阶惯性环节进行参数辨识。火