线性代数习题答案学习教案

1、会计学1第一页，共50页。解:211233可得2. 已知1223,满足123 5 7 9 ,1 5 2 0 , , , , , ,. 求求1223由，1215 2 035 7 933， ， ， ， ，1 5 210 140263 3 333 ， ， ，754633 ， ，第1页/共50页第二页，共50页。解:312511632可得7 417 16 363,=3. 设1232()3()5(),122 1 3 0 ,1 0 2 1 , , , , , ,其中求 . 30 21 1 , , 1232()3()5()由第2页/共50页第三页，共50页。解:11223344kkkk315 12 2,.=

2、4. 写出向量(xingling)11 1 0 4 , , , , 23 22 1 , , 42 0 4 3 , , , 30,-4,5,1 , 12341,0,4,2;kkkk 的线性组合,其中(qzhng):(1)12341,3,0,2kkkk .(2)(1)11223344kkkk14 5147, ,.=(2)第3页/共50页第四页，共50页。5. 设向量(xingling)组8 31,T, , =11 2 3,T, , =2331 0,111TT,=问:向量(xingling) 可以由向量(xingling)123, 写出其表达式.线性表示(biosh)?若可以，第4页/共50页第五页

3、，共50页。1238 311 2 331 0111, ,k, ,k,k, 解： 设 即112233,kkk12338kkk12323kkk1331kk 所以向量(xingling) 可以由向量(xingling)119,k 2315,56kk. 123191556. 则有D解方程组得：123, 线性表示(biosh)第5页/共50页第六页，共50页。3.2线性相关与线性无关(wgun)一.判断(pndun)下列向量组的线性相关性(1)解:由于与对应(duyng)分量不成比例,所以与线性无关.(2)103010 ,.2= 40解:由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相

4、关1012= -43,.第6页/共50页第七页，共50页。(3)111112 2=1-1,.解:向量(xingling)组线性无关.(4)134012 2= 43,.解:123kkk设21121111130090112112D 第7页/共50页第八页，共50页。123213044003120kk, k即有也即有12312123230440320kkkkkkkk由于(yuy)齐次线性方程组的系数行列式2134400,312D 123,k k k即不全为零, 所所以以向向量量组组线线性性相相关关. .齐次线性方程组有非零解,第8页/共50页第九页，共50页。由于(yuy)方法(fngf)2:111

5、1300,112D 所以(suy)10221 ,1 ,110133 ,., 线性相关.(5)因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性解:相关。第9页/共50页第十页，共50页。二. 填空题(1) 已知向量(xingling)组线性相关,则k = _.11 2 1,T, , 解:112233,kkk令 1230kkk1340kk21 0 2,T, , 318T ,k 则有:123(1,1,2)(1,0,2)( 1, 8, )(0,0,0,0)TTkkkk 即有:12320kkkk21111042012Dkk即k =2时,123,k ,k ,k 可取不全为零的数123向量组线性相关., 第10页/

6、共50页第十一页，共50页。(2) 设向量(xingling)组123( ,0, ) ,( , ,0) ,= (0, , )TTTacb ca b线性无关(wgun),则a,b,c 必满足(mnz)关系式_.abc 0解:要使线性无关,123, 则有所以 a , b , c 需满足abc0.0020,0acbcabcab12,n n维单位向量组(3)都可由向量组12,r 线性表示,则r_ n .解:因为n维单位向量组12,n 线性无关,且每个向量都能由向量组12,r 线性表示,由课本72页推论1知:rn.第11页/共50页第十二页，共50页。三. 选择题线性无关(wgun)的充分必要条件是(

7、).中必有两个(lin )向量的分量对应12,n (1)向量(xingling)组(A) 向量组12,n 不成比例;(B) 向量组12,n 中不含零向量;(C) 向量组12,n 中任意一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示;(D) 存在全为零的数12,nk kk使1122nnkkk.成立.C第12页/共50页第十三页，共50页。(2) 设112233= (1,0,0,),= (1,2,0,),( 1 2 3), , , ,1234, 其中(qzhng)则有( ).(A) 向量(xingling)组是任意(rny)实数,44( 2 1 5), , , ,总线性相关;123, (B) 向量组12

8、34, 总线性相关;(C) 向量组123, 总线性无关;(D) 向量组1234, 总线性无关.C第13页/共50页第十四页，共50页。四.若已知向量(xingling)组证明(zhngmng)112123, 线性无关(wgun),123, 线性相关.由于向量组证:123123233()()kkkkkk1、123, 线性无关,则112123123+)+()kkk(线性无关.2、122331, 线性无关.(1)123233000kkkkkk1230kkk112123, 112123, 第14页/共50页第十五页，共50页。四.若已知向量(xingling)组证明(zhngmng)112123, 线

9、性无关(wgun),123, 线性无关.由于向量组证:131232313()()kkkkkk1、123, 线性无关,112223331+)+()kkk(线性相关.2、122331, 线性相关.(2)132331000kkkkkk123kkk令12310 kkk122331, 第15页/共50页第十六页，共50页。3、已知向量(xingling)组问1223m-11,mm, 线性无关(wgun),12m,， 是否(sh fu)线性无关？解:111221()()mmmmkkkkkk向量组考察向量方程112223m-11m1+)+ +()+ ()mmmkkkk (由于向量组123, 线性无关.112

10、1000mmmkkkkkk10001110000110000011 D第16页/共50页第十七页，共50页。3、已知向量(xingling)组问1223m-11,mm, 线性无关(wgun),12m,， 是否(sh fu)线性无关？当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关解:向量组10001110000110000011 D111 m020m为偶数m为奇数当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。第17页/共50页第十八页，共50页。五. 设有向量(xingling)组123(1 2 3)( 1 1 4)(3 32) TTT, , , ,(4 5 5) ,T, , 问：向量(xing

11、ling) 能否由向量(xingling)组123, 唯一(wi y)线性表示?解:由于向量组123, 线性相关,则向量 只要向量组123, 线性无关,123, 唯一线性表示.必可由向量组线性无关.123, 唯一线性表示.12, 123, 1230370311由于123114332 D123037004所以向量组因此向量 能由向量组第18页/共50页第十九页，共50页。六.设已知向量(xingling)组向量(xingling)组1 线性相关,123, 线性表示(biosh)？证明你的结论。解:（1）,且表达式唯一。（2）4 (1)根据向量组线性相关性的性质可得：234, 线性无关，问能否由2

12、3, 能否由123, 线性表示？证明你的结论。1 线性表示能由23, 234, 因为线性无关，则23, 线性无关，123, 线性相关,又因为1 线性表示能由23, 第19页/共50页第二十页，共50页。六.设已知向量(xingling)组向量(xingling)组1 线性相关,123, 线性表示(biosh)？证明你的结论。用反证法证明：解:（1）4112233 即：（2）4 (2)12233ll代入上式得：234, 线性无关，问能否由23, 能否由123, 线性表示？证明你的结论。4 不能由123, 线性表示4 能由123, 线性表示设由（1），可设421 2231 33ll即4 能由23,

13、 线性表示线性相关.234, 与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.第20页/共50页第二十一页，共50页。一.填空题1 、若解:1234, 则向量(xingling)组1234(,)4,R 由于(yuy)所以(suy)向量组123, 是线性_.线性无关.3.3 向量组的秩1234(,)4,R 123, 此向量组的部分组仍线性无关.应填:无关.无关2、 设向量组()的秩为向量组()的秩为1,r2,r12则 与 的关系为rr_.相等解:因为二向量组等价,则它们的秩相等.应填:相等或且() ()，12rr第21页/共50页第二十二页，共50页。二.选择题12r, 1、若向量(xingling)组

14、12( )nrA, 可可由由线线性性表表示示; ;是向量(xingling)组12,n 的极大(j d)线性无关组,则下列论断不正确的是 ( ).112( )rrnB,可可由由线线性性表表示示; ;112( )rC, 可可由由线线性性表表示示; ;12()nrrnD,可可由由线线性性表表示示. .解:由于向量组12r, 是向量组12,n 的极大线性无关组,显然向量组12r, 线性无关.而向量组12,rn, 线性相关,故12n, 可可由由B第22页/共50页第二十三页，共50页。此外(cwi),由排除法知选项(B)错误(cuw).r, 线线性性表表示示. .112,r 可可由由线线性性表表示示1

15、2nrrn,可可由由线线性性表表示示. .故应选(yn xun)(B).选项(A)正确.选项(C)正确.选项(D)也正确.显然2、 若向量组12,s 的秩r ，则 （ ） AB s B CD向量组向量组12,s 12,s 线性无关；线性相关；存在一个向量1 iir 可以由其余向量线性表示；任一向量都不能由其余向量线性表示；第23页/共50页第二十四页，共50页。当向量组的秩等于(dngy)向量个数时，向量组线性无关；3 、若向量(xingling)组1212,与rtiiijjj都是向量组则有( ) .( )Arn( )Btn ( )Crt()Drt解:同一向量组的极大(j d)线性无关组所含向

16、量的个数是相同的.故选项(C)正确.C12,n 的极大无关组,解:根据向量组的秩与向量个数的关系：当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；选项(B)正确.第24页/共50页第二十五页，共50页。1231(1,1,0),(0,2 0),(0,0,3)、,三. 求下列向量(xingling)组的秩(必须有解题过程):123110= 020003 123(,) = 3.R 解:TT2T1232(1 1 1) ,(a,1,1) ,(1,) ,、, ,a,a1232111111aaa解:211011011aaaaa第25页/共50页第二十六页，共50页。123(,) = 2.R 21101100aa

17、aaa211011011aaaaa当1a时，当01且aa时，123(,) =1.R 123(,) = 3.R 当0a时，第26页/共50页第二十七页，共50页。四. 求下列向量(xingling)组的一个极大线性无关组,121(1,2,1,3),(4, 1, 5, 6) 、并将其余(qy)向量用此极大线性无关(wgun)组线性表示.3(1, 34, 7)., 解:123121341561347 12131121309918405510 第27页/共50页第二十八页，共50页。12131121309918405510 1213112131401129905510 1211231213140112

18、99115000099 12与.31211599 .无关(wgun)组为向量(xingling)组的极大线性且有:123(,)2R. 第28页/共50页第二十九页，共50页。2、1211 5 211 3 0 , , ,34522 10 412 7 102 8 2 , , ,.解:112101122253107820412112101122253107820412112100203208012802032112100203200000000001 2 3 4 5 第29页/共50页第三十页，共50页。112103010120000000000110212301012000000000012345

19、(,)2R 向量(xingling)组的极大线性无关组为：1 2 31220 4121322且有:512第30页/共50页第三十一页，共50页。12(1,2, 1,3) ,(2,3,0,1) ,TT 五. 已知向量(xingling)组(1) 求34(3 5 11) ,(2 44)TT, , , ,k k(2) 求向量(xingling)组的一个极大线性无关组，并将其余解:12131411213012520148300262k 的秩为3的向量用极大线性无关(wgun)组线性表示。1234121323013511244k 第31页/共50页第三十二页，共50页。且 312412 12131411

20、213012520148300262k 12131241312121301252002300092k 1234(,) = 3R 90k9k当9k时，将矩阵的第3行加到第四行可将第四行化为零行，则向量组的极大(j d)线性无关组为123, 41233 第32页/共50页第三十三页，共50页。六.设n维基本(jbn)单位向量组12,n 12,n 可由n维向量(xingling)组线性表示(biosh),证明向量组12,n 线性无关.证:因n维基本单位向量组12,n 线性表示,而n维向量组等价.可由n维向量组由于等价的向量组有相同12,n 12,n 可由n维基本单位向量组线性表示,因此向量组12,n

21、 与向量组12,n 的秩,而12( ,),nRn 所以12(,)nRn. 因此向量组12,n 线性无关.证毕.第33页/共50页第三十四页，共50页。1231122233234R, 七. 设3135123, 证明(zhngmng):，证明(zhngmng)：线性无关(wgun)考虑向量方程：112233kkk 即：1122233132345kkk1311222332345kkkkkk1233R, 123, 线性无关1312232030450kkkkkk1230kkk201310220045123, 线性无关第34页/共50页第三十五页，共50页。123,; *八.设()12354,4 的秩为

22、., 若各向量(xingling)组的秩分别为:123, ()()1234,; 1235, R()= R()=3,R()=4,证明(zhngmng)向量组证:因为(yn wi)向量组的秩为3,而向量组中含3个向量,所以向量组线性无关.同理,因为向量组的秩为4,而向量组中含4个向量,所以向量组1235, 线性无关.又因为向量组的秩为3,但向量组中含4个向量,故向量组线性相关.因此向量4 可由向量组线性表示.即有4112233lll第35页/共50页第三十六页，共50页。向量方程112233454kkkk 由于向量组1235, 线性无关.显然向量组12354, 仍线性无关.因此向量组12354,

23、的秩为4.11223345112233kkkklll 14 124 234 340000kk lkk lkk lk14 1124 2234 3345kk lkk lkk lk 12340kkkk第36页/共50页第三十七页，共50页。1111()0且TnnnVx ,x| x ,xRxx一. 设为什么?12?问与是否为向量空间VV解:3.4 向量(xingling)空间2111()1且TnnnVx ,x| x ,xRxx1V是向量空间,2V不是向量空间.这是因为:121(,),nyy yyV则有1212(,)0,且nnx xxRxxx1212(,)0且nny yyRyyy.而12(,),nkxk

24、x kxkx12,nkx kxkxR121(,),nxx xxV若第37页/共50页第三十八页，共50页。1kxV .1122,nnxy xyxyR.对数乘运算封闭.1V这表明而1122(,)nnxyxy xyxy又1122(+)+(+)+(+)nnxyxyxy0001x+ yV .是向量空间.所以1V1212() =0 = 0nnkxkxkxk xxxk又1212= ()()+nnxxxyyy若122( ,),nzz zzV则有1212( ,)1且nnz zzRzzz.1V对加法运算封闭.这表明第38页/共50页第三十九页，共50页。2kzV .所以(suy)但2V12,k ,nkzzkzR

25、.显然(xinrn)1212() =1=1.nnkzkzkzk zzzkk不是(b shi)向量空间.因此12(),nkzkz ,kz ,kz而这表明2V对数乘运算不封闭.二、1. 向量(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),下的坐标是（ )2 1 0 , ,解:在基123(1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1) = -2,1,0 xxx121323210 xxxxxx123123232 xxx13 322 2,第39页/共50页第四十页，共50页。2. 已知 的两个(lin )基为：求由基 到基 的过渡(gud)矩阵。解:3RTTT123(1,1,1) ,(1,0,-1) ,(

26、1,0,1) TTT123(1,2,1) ,(2,3,4) ,(3,4,3) 123, 123, 设由基 到基 的过渡矩阵为C123, 123, 则 123123,C 1123123,C, 0101231102342214311122234010101第40页/共50页第四十一页，共50页。三. 设四维向量(xingling)空间V的两个基12323422 满足(mnz)：（1）求由基()到基()的过渡(gud)矩阵C;1234234 ()1234,; ()1234,; 12323422 （2）求向量在基()下的坐标。解：1323124222412424 2434122221234482123

27、23422 31242322 第41页/共50页第四十二页，共50页。1123421243124234822422 4210842110022100C42101000842101001002001021000001CI100200100421501800218104001040021第42页/共50页第四十三页，共50页。1002001004215018002181040010400211002001001040021001010020021010414210842110022100C10004210010084210010100200012100第43页/共50页第四十四页，共50页。四. 1.试证123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 是3R的一组基,并求3R一组标准(biozhn)正交基.1.证:先证123