对赵州桥力学行为的分析

1、对赵州桥力学行为的分析赵州桥,又名安济桥，位于河北赵县境内的洨河上，乃隋代匠师李春设计建造，是世界首创，又是目前世界上最古老的圆弧石拱桥。这座千年古桥在桥梁的设计和建造方面有许多独到之处。赵州桥的突出特点为：（1）它是有资料记载的最早的采用圆弧形拱轴线的拱桥（在这以前传统的拱轴线为半圆形），全桥长64.4m，净跨37.02m，弧矢径27.2m。（2）大弧拱的二肩上各有两个小拱-伏拱。两小拱的半径分别为2.3m和1.2m，跨度分别为3.81m和2.85m。这一创造性设计，不但节省石料，减轻桥重，而且增强了桥体的泻洪能力，造型优美，是建筑史上的稀世杰作，1991年被美国土木工程师学会誉为“国际土木

2、工程历史古迹”。1赵州桥圆弧形拱轴线对其力学行为的影响通过力学的学习我们知道，两端绞支的简支梁在受到均匀载荷作用时，将形成下凸的曲线，工程上称之为悬链线，当梁的形状为倒悬链线，那么其挠度、转角均为零，下面就具体进行分析计算。如图所示：最高点在桥的中点，且拱内只有水平方向内力将桥从中间截开进行受力分析： (y方向)（x方向）两式联立，得（q为常数）边界条件：x=0，y=0x=s/2，y=h/2可解出曲线方程： 又 得如果实际拱轴线曲线与所求得的曲线一致，那么认为是安全、经济的结构设计，通过数据拟合比较结果，取八个孤立点具体计算误差。赵州桥是一个弧形设计：已知弧半径r=27.7m,净跨l=37.0

3、2m,弧矢h=7.05m。如图所示：先求出任意点拱高y与横坐标x之间的关系。由几何关系：y+(r-h)+(-x)=r,所以y=-(r-h)左图是用matlab作图的结果，源程序如下：h=7.05;r=27.7;s=37.02;x=0:0.01:37.02;y=4*h/(s2).*(s*x-x.2);y1=sqrt(r.2-(s/2-x).2)-r+h;plot(x,y,'r',x,y1,'k')红色曲线是理论值；黑色曲线是实际值。下面我们取八个点具体计算误差：程序：h=7.05;r=27.7;s=37.02;x=2.25:2.25:18;y=4*h/(s2).*

4、(s*x-x.2);y1=sqrt(r.2-(s/2-x).2)-r+h;y,y1,(y-y1)./y结果： -0.1029 -0.0779 -0.0536 -0.0342 -0.0195 -0.0091 -0.0027 -0.0001点号12345678X值2.254.56.75911.2513.515.7518Y值（理论）1.60983.01124.20435.18905.96556.5335 6.8933 7.0446Y值（实际）1.7755 3.24584.42975.36636.08176.59326.91227.0453误差0.10290.07790.05360.03420.019

5、50.00910.00270.0001我们可以看出赵州桥简洁，易施工的圆弧形拱轴线与现代科学分析得出的曲线极其类似，与从前的半圆形设计相比是工程设计上的重大进步。2伏拱对应力分布的影响假设桥身两端铰支，取如图的圆弧形桥共为研究对象。记拱绞处（x=0）竖直力为V，水平力为H。在xx处截面上，拱高y(x),倾角(x),轴力P，剪力，弯矩M，重力G（x）。由受力分析可得：因为有伏拱与无伏拱的值不同，导致其它相关值也不同，力学性质有显著区别。实验测知：有伏拱条件下：V=1146.60kN,H=1345.60kN无伏拱条件下：V=1407.98kN,H=1442.48kNa.对无伏拱先求已知弧半径r=2

6、7.7m,净跨l=37.02m,弧矢h=7.05m。如图所示：先求出任意点拱高y与横坐标x之间的关系。由几何关系：y+(r-h)+(-x)=r,所以y=-(r-h)(x)=G(h-y)=Gr-,其中为常数。为求这个常数=V/2。而V的数据为已知。用数值积分的方法可以求出常数G。V/2=G=G*41.242又因为V=1407.98kN,所以G=17.070.所以(x)=17.070* r-数值积分过程：qiao.m文件：function y=qiao(x)r=27.7;l=37.02;y=r-sqrt(r.2-(l/2-x).2);quad(qiao,0,18.51)VG/2=quad(qiao

7、,0,18.51)= 41.2421所以G=17.070.b.对有伏拱(x)=61.945 kN/m应力分析：对于石质结构的拱桥，其界面之间只能承受压应力（>0），而不可以承受拉应力（<0），因此，与多数情况不一样，我们不必运用最大切应力准则较核，而只需计算各截面的 。轴力P只产生压应力，弯矩M能产生拉压应力最小正应力： （已知b=1m,h=1.03m）数值计算应力分析：下面我们仍然利用matlab计算八个孤立点的应力状态。.m文件：function y=qiao3(x)r=27.7;l=37.02;y=(17.070.*x).*(r-sqrt(r.2-(l/2-x).2); fu

8、nction y=qiao2(x)r=27.7;l=37.02;y=17.070*(r-sqrt(r.2-(l/2-x).2);function y=qiao4(x)q=61.945y=q.*x;无伏拱：x=0;h=1442.48;v=1407.98;r=27.7;l=37.02;c=7.05;o=atan(0.5).*(r.2-(l/2-x).2).(-0.5).*(-2.*x+l);G=quad('qiao2',0,x);P=h*cos(o)+(v-G)*sin(o);d=quad('qiao3',0,x);y=sqrt(r.2-(l/2-x).2)-r+c

9、;M=v*x-h*y+d-x*G;b=1;a=1.03;n=P/(b*a)-6*M/(b*(a2);P,M,n有伏拱：x=18;h=1345;v=1146;r=27.7;l=37.02;q=61.945;c=7.05;o=atan(0.5).*(r.2-(l/2-x).2).(-0.5).*(-2.*x+l);G=q.*x;P=h*cos(o)+(v-G)*sin(o);d=quad('qiao4',0,x);y=sqrt(r.2-(l/2-x).2)-r+c;M=v*x-h*y+d-x*G;b=1;a=1.03;n=P/(b*a)-6*M/(b*(a2);P,M,n通过此程序

10、可计算任意点的弯矩、剪力、最小拉应力点号12345678X值2.254.56.75911.2513.515.7518有伏 P 拱 M拱形 1680.11599.215271465.51415.91378.91355.31345.435.02166.9370.4592.9799.4966.61079.01127.81433.1608.8-612-1930.4-3146.7-4127.7-4786.4-5072.0无伏 P拱 M拱形 1855.61749.31677.91627.415871548.41505.71455.2327.9637.81030.11550.82243.73145.4428

11、45677.3-53.4-1909.2-4196.8-7190.9-11149-16286-22767-30696为了更直观的表示，进行了数据拟合。x=2.25:2.25:18;y1=1433.1 608.8 -612 -1930.4 -3146.7 -4127.7 -4786.4 -5072.0;y2=-53.4 -1909.2 -4196.8 -7190.9 -11149 -16286 -22767 -30696;a=polyfit(x,y1,5);b=polyfit(x,y2,5);t1=polyval(a,x);t2=polyval(b,x);plot(x,y1,'k+',x,t1,'k',x,y2,'r+',x,t2,'r')红线表示无伏拱的情况；黑线表示无伏拱的情况；可以看出伏拱的存在有效地降低了拉应力的影响，全桥的应力分布比较均匀。无伏拱的桥梁不但拉应力更大，而且应力分布起伏很大，对拱桥强度不利。小结：以上一方面对赵州桥圆弧形拱轴线与理论曲线进行了比较，发现古代设计与理想曲线基本吻合；另一方面对