2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题〔每题10分，共分〕1.某人在将中间的两个数码分别换成两位数与时，恰好都得到完全平方数：，那么数组．2.假设一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，那么椭圆的方程为：．3.实数满足，那么的最大值是．4.四面体中，平面与平面成的二面角，那么点到平面的距离为．5.从集合中，去掉所有的倍数以及的倍数后，那么中剩下的元素个数为．.函数的值域是．.．.九个连续正整数自小到大排成一个数列，假设的值为一平方数，的值为一立方数，那么这九个正整数之和的最小值是．二、解答题〔共分〕.〔20分〕给定轴上的一点〔〕，对于曲线上的动点，试求两点之间距离的最小值〔用表示〕．.〔分〕如图，、、是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为；证明：三点共线．.〔25分〕项正整数列的各项之和为，如果这个数既可分为和相等的个组，又可分为和相等的个组，求的最小值．答案1.提示：注意到，对于整数，假设的末位数为，那么的末位数必为或，易知，〔〕，，因此，于是，假设要满足条件，只可能是，，由于，，所以，．2.提示：双曲线的两顶点为，两焦点为，故由条件，椭圆的两焦点为，两顶点为，因此，，，那么椭圆的方程为．3.提示：令，那么，由，得，因为实数，那么判别式，得．4.提示：，作平面，垂足为，连，由三垂线逆定理，，所以，故，，又因为正方形，，那么，因此正三角形的面积为，设到平面的距离为，由，得5.．提示：集合中，的倍数有个，的倍数有个，的倍数有个，那么剩下的元素个数为个．.提示：，令，那么，由此，，当时两边分别取得等号．.．提示：．〔注：由，那么，即．〕.提示：设这九数为，那么有，，，，那么，得①令，得，所以，再取，，化为，取，可使左式成立，这时，，．.如图，易求得曲线上诸点的坐标为：，当，即时，曲线方程为……①；而当时，曲线方程为……②，对于情形①，即时，显然当位于顶点处时，距离取得最小值；对于情形②，即在或时，设点，由于，因，那么，，于是，当时，取得最小值；再比拟与：令，那么当时，，，即最小值为；而当时，，那么最小值．.如图，设为三条不相交的弦，其中，，，又设，点截的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证①，用记号表示三角形面积，那么由②③由此得，因此只要证，，④注意，，那么所以，即④成立，从而①成立，故结论得证．.设分成的个组为，每组中的各数和皆为，称这种组为类组；而分成的个组为，每组中的各数和皆为，称这种组为类组．显然，每个项恰好属于一个类组和一个类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组中有两个公共项，那么可以将这两个数合并为一个项，这样可使值减少，故不妨设，每对至多有一个公共项．今用点分别表示，而点表示组，如果组有公共项，那么在相应的点之间连一条边，于是得二部图，它恰有条边和个顶点．下面证明是连通图．如果图的最大连通分支为，其顶点数少于，设在分支中，有个类顶点和个类顶点，其中，那么在相应的类组和类组中，类组中的每个数都要在某个类组中出现；而类组中的每个数也都要在某个类组中出现，〔否那么将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾〕，因此个类组中各数的和应等于个类组中各数的和，即有，由此得，，所以，矛盾！因此是连通图．于是图至少有条边，即；另一方面，我们可实际构造一个具有项的数列，满足此题条件．例如取，，〔该数列有个取值为的项；个取值为的项；另将其余七个拆成七对，其中四对，两对，一对，又得到个项〕，于是，每个类组可由一个，一个，或者由一个，添加一对和为