高中数学知识点

1、第 一 章 集 合 与 函 数 概 念 一、集合1、集合的含义与表示一般地， 我们把研究对象 统称为元素。把 一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 。通常用大写字母A, B, C, D,表示集合，用小写拉丁字母a, b , c,表示元素。2、集合中元素的特征确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如, “中国的直辖市构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州不在这个集合中。“身材较高的人不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的 或说是互异的，即，集合中的元素是

2、不重复出现的。相同元素、重复元素，不管多少，只能算作该集合的一个元素。无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A ；如果a不是集合A中的元素， 就说a不属于集合A,记作a A。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集 或自然数集，记作 N ；所有正整数组成的集合称为正整数集在自然数集中排除 0的集合，记N*或N+ ;全体整数组成的集合称为整数集，记Z;全体有理数组成的集合称为有理数集，记 Q;全体实数组成的集合称为

3、实数集，拓展与提示：无序性常常作为计算时验证的重要依据。注意N与N的区别。N*为正整数集，而 N为非负整数集，即 0 N但0 N*。集合的分类有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集无限集：含有无限个元 素的集合叫做无限集按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。,只含有特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集 一个元素的集合叫做单元素集。例 P x, y,1,Qx2,xy,x,且P Q,求x, y的值解析由y x2,或y2 xy,xy 1,x 1,解得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。解得x= -1或1舍去这时y=0-x= -1 , y=06、集合的表示方法

4、列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：a1,a2,a3,令描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值或变化范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限 集。形式：x D px，其中x为元素，px表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么x D可以省略，只写其元素x，如x Rx 10韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线 圆、椭圆、矩形等内。例 用适当

5、的方法表示以下集合，并指出它是有限集还是无限集：由所有非负奇数组成的集合；平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。解：由所有非负奇数组成的集合可表示为：A xx 2n 1,n N，无限集。平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：C (x,y)x 0且y 0，无限集。方程x2+x+1=0的判别式的 <0 ,故无实数，方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空 集。7、集合的根本关系子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合 B中的元 素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合B的子集，记作A B(或 B A)

6、，读 作“ A含于B(或“ B包含A)。可简述为：假设x A x B，那么集合A是集合B的子集。集合相等：如果集合 A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)， 此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合 A与集合B相等，记作A=B。数学表述法可描述为：对于集合 A、B,假设A B，且B A，那么集合A、B相等。真子集：如果集合A B，但存在元素x B，且x A，我们称集合A是集合B的真 子集，记作心(u )或说：假设集合A B，且A MB,那么集合A是集合B的真子集。空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提

7、示：(1) A, A A。(2)? B(其中B为非空集合)(3)对于集合 A，B，C,假设A B,B C,那么A C。 对于集合A，B,C,假设A豣，? C那么A豣Q5)对于集合A，B,假设A B且B A,那么A B。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。(7) a A与a A不同，前者为包含关系，后者为属于关系。8、集合间的根本运算并集：一般地，由所有属于集合 A或集合B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并拓展与记作:对于任意读作“ A并,B1,即A A,axx aa或2)Abba-,(3) A (A B), B (A

8、 B) ；(4) ABA A B。交集： 一般地，由属丁集合A 且属丁集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的'交拓展与记作：对于任意集合“ Aa交bB艮A A A Ba, a X A,且X2) ba。b b a ； (3) (A B) A,(A B) B ; (4) A B A A B ; (5) (A B) (A B)。全集与补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U。 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作euA x

9、x U ,且x A。例 设集合 A x2 ,2x 1, 4,B x 5,1x,9，假设 A AB= 9，求 A U B。解析由A AB= 9得，9 A。/x2=9 或 2x- 1=9 由X2=9得，X= ±3。当X=3时，A 9,5, 4 ,B 2, 2,9，与元素的互异性矛盾。当 X=-3 时，A 9, 7, 4 ,B 8,4,9，此时，A B 8, 7, 4,4,9 . 由2x-仁9得x=5.当X=5时，A 25,9, 4 , B 0, 4,9，此时，A B 4,9，与题设矛盾。综上所述， A B 8, 7, 4,4,9 .集合中元素的个数:在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个

10、数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。例如：A a,b,c ,那么card(A) 3.一般地，对任意两个有限集 A, B,有 card(A U B)=card(A)+card(B)-card(A AB).当时仅当 A AB= 时，card(A U B)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。例学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解解设A 田径运动会参赛的学生 ，B 球类运动会参赛的

11、学生，那么A B 两次运动会都参赛学生 ，A B 所有参赛的学生 ，Card(A U B)=card(A)+card(B)-card(A AB)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示1、 函数的概念：一般地，我们说：设A ,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A - B为集合A到集合B的一 个函数，记作y f(x),x A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函 数值，函数值的集合f(x)x A叫做函数的值域，显然，值

12、域是集合 B的子集。2、函数的三要素函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。提示：函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。3、区间：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式avxvb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b);满足不等式 awxvb或a<x <b的实数x的集合叫

13、做半开半闭区间，分别表示为a,b , a,b这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。定义名称符号数轴表示x| a x b闭区间a，b 7x| a x b开区间(a，b)x| a x b半开半闭区间a, btx| a x b半开半闭区间a,b-实数集常用区间表示为，“读作“无穷大。“ 读作“负无穷大，“ +%读作“正无穷大集合 集合符号数轴表示x| x aa,Iax| x aa,k 一Lix| x b(,b)二.x| x b，b一拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表 示不包括在区间内的端点。求函数定义域，主要通过以下途径实现。 假设f(x)是整式，那么定义域为R;

14、 假设f(x)为分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数； 假设f(x)为偶次根式，那么定义域为使被开方数为非负数的全体实数；例1求以下函数的定义域y x 1 1解：要使y x 1亍有意义'那么必须x 102x0x1x 2, 即 x冷且x至，故所求函数的定义域为 x|x1且 x 2例2 函数f(x)的定义域是-1 , 3,求f(x+1)和f(x2)的定义域 函数f(2x+3)的定义域为 1,2，求f(x-1)的定义域解：Tf(x)的定义域为-1 , 3,f(x+1)的定义域由-1 <x+1 <3 确定，即-2 <x<2 ,fx+1)的定义域为-2 , 2 .f(

15、x2)的定义域由-1 <x2<3确定，即3 x ,3fx2)的定义域为.3 3：函数f(2x+3)的定义域为1,2 ,2x+3 中的 x 满足-1<x <2,°.1v2x+3 <7.令t=2x+3，那么f(t)的定义域为1,7 .又 1<x-1 <7,.2<x <8 f(x-1)的定义域为2,84、反函数式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A,值域为C,我们从式子y=f(x)中解出x得到x=g(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A中都有唯一 确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y是

16、自变量x的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x) 的反函数，记作x f 1(y)，一般写成y f 1(x).拓展与提示： 函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域; 函数y=f(x)的图象和它的反函数y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。5、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。(1) 函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数 值的全体。(2) 函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到x轴上的区域范围，其值

17、域是图象投射到y轴上的区域范围。6、分段函数假设函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函f,x)x D1 fn(x) x Dn数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是:f (x)f2(x) x D2分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1U D2U-U Dn.拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集例 中国移动通信已于2006年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通移动 资费“套餐，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号根本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时

18、间话费(元/分钟)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40请问：“套餐中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通 话用时之和)的函数关系式。解：“套餐中第3种收费函数为168,0 t 330,yi跖 168 0.5(t 330),t 330.7、复合函数假设y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),x (a,b),u (m,n),那么y关于x的函数y=f g(x) ，x (a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x) 的值域。8、映射设A，B是两个非空的集合，如果

19、按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A-B为从集合A到集合B的一个映射。拓展与提示：(1)映射包括集合 A B以及从A到B的对应法那么f,三者缺一不可，且 A、B 必须非空。A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应，而 B中的元素却不一定在 A中找到对 应元素，即使有，也不一定只有一个。9、函数解析式的求法待定系数法。假设函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用条件列方程或方程组，再求系数。换元法。假设函数y f (x)的解析式，可令t (x)，并由此求出x=g(t)，然后代 入解析式求得y=f(t)的解析式

20、，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。1列方程(组)法求解。假设所给式子中含有f(x)， f -或f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另x一个方程，通过解方程组获解。配凑法例解答以下各题： f(x)=x 2-4x+3，求 f(x+1)； f(x+1)=x 2-2x，求 f(x)；二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5 ，图象过原点，求g(x)。解： f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x方法一：(配凑法)f(x+1)=(x+1) 2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1) 2-4(x+1)+3 ，/f(

21、x)=x 2-4x+3方法二：(换元法)令x+1=t，那么x=t-1 ，f(t)=(t-1) 2-2(t-1)=t 2-4t+3 ,f(x)=x 2-4x+3.由题意设 g(x)=ax 2+bx+c , aO.g(i)=i,g(-i)=4，且图象过原点,a b c 1,a 3,a b c 5,解得b 2,-'g(x)=3x 2-2xc 0.c 0.三、函数的根本性质1、函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 X1,X2，当X1<X2时，都有f(xi)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，如图所示。

22、如果对于定义域1内某个区间D上的任意两个自变量>1的值X1 ,X2，当X1<X 2时，都有f(X1)>f(X2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，如图所示。(L)1：ht如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间拓展与提示：定义中的Xi,X2具有任意性，不能用特殊值代替。假设f(x)在区间D，D2上都是增(减)函数，但f(x)在DU D2上不一定是增(减)函数。由于定义域都是充要性命题，因此由 f(x)是增(减)函数，且f(xj f (x2)x1 x2 (x1x2)，这说明

23、单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推函数单调性的判断方法 定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设XI、X2是该区间内的任意两个值，且 X1VX2。第二步：作差、变形。准确作出差值，并通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。第三步：判断f(Xl)-f(X2)或f(X2)-f(Xl)的符号。第四步：根据定义作出结论。简记为“取值一作差一变形一定号一结论。 直接法。运用的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：i函数y=-f(X)与函数y=f(X)的单调性相反；ii当函数f(X)恒为正或恒为负时，函数y 与y=f(X)

24、的单调性相反；f(X)iii在公共区间内，增函数+增函数，其和为增函数，增函数-减函数，其差为增函数等。 图象法：按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。 假设当 x (a,b)时，f'(x)>0，那么 f(X)在(a,b)上递增；假设当 x (a,b)时，f '(x)<0 ,那么 f(x)在(a,b) 上递减。拓展与提示：定义有如下等价形式：设xi,x 2 a,b ，那么 丄凹_0f(x)在a,b上是增函数， 丄血_112 0 f (x)在a,b上是减函数；X1 X2X1 X2 (XiX2)f(Xi)f (X2)0 f (x)在a,b 上是增函数

25、，(XiX2)f(Xi)f(X2)0 f (x)上是减函数。例讨论函数f(x)兀但1)在(-2，+可上的单调性。解：设-2<x 1<X2，那么 f(x)ax 2a 1 2a1 2a1 2a(a2a-2-).=(111x1 x22a)(厂).= (1 2司？区2)力 2)又'/-2<x 1<x 2,x1 x2(X22)(X1 2)0.1当 1-2a>0，即 a 时，上式 <0 ,即卩 f(X2)vf(x 1); 当 1-2a<0 时，即 a 1 时，上式 >0 ,即 f(X2)>f(x 1)当a 1时，f(x) 竺在(-2，+ %)上

26、为减函数2x 2当a丄时，f (x) 竺在(-2，+ X)上为增函数2x 2复合函数的单调性对于复合函数y=f g(x)，假设t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，那么y=f(t)在区间(g(a),g(b) 或(g(b),g(a)上是单调函数；假设t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，那么y=f g(x) 为增函数，假设t=g(x)与g=f(x)单调性相反，那么y=f g(x)为减函数，简单地说成“同增异 减y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=f g(x)增增减减-函数的最大(小)值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足对于任意的x I，

27、都有f(x) <M ;存在X。 I，使得f(X0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。同样地：如果存在实数M满足：对于任意x I，都有f(x) >M ;存在X0 I,使得f(x0)=M. 那么我们称M是函数的最小值。函数的最大(小)值是函数的图象的最高点 (最低点)对应的纵坐标。一个连续不断的函数在闭区间:a,b 上一定有最大值和最小值。求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)=ax 2+bx+c，当a>0时，在闭区间m,n 上的最值可分如下讨论: 假设-a 假设 n时，那么最大值为f(m)，最小值为f(n);a

28、假设m a1例-a3m时，那么最大值为f(n)，最小值为f(m);n时，那么最大值为f(m)或f(n)，最小值为f(1，假设 f(x)=ax 2-2x+1令 g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。解：f (x) a xb2).，在1 , 3上最大值为M(a)，最小值为N(a)，13.a又 x 1，1当x丄时，af(x) min =N(a)=a 1时,f(x) max =M(a)=f(3)=9a-5.f(x) max =M(a)=f(1)=a-19a.g(a) M(a) N(a)a丄a1a2丄31,3、函数的奇偶性偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f

29、(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数拓展与提示：并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是f(x)=0 。判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否那么称为非奇非偶函数。2、函数奇偶性的性质(1)假设函数f(x)是偶函数，那么： 对任意定义域的X,都有f(-x)=f(x)； 函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。假设函数f(x)是奇函数，那

30、么： 对任意定义域内的x，都有f(-x)=-f(x)； 函数f(x)的图象关于坐标原点对称； 函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。函数奇偶性的判定方法 定义法：f(x)是奇函数 f( x) f(x) f( x) f (x) 0 ；f(x)是偶函数f( x) f (x) f ( x) f (x) 0 利用图象的对称性：f(x)是奇函数f(X)的图象关于原点对称。f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称。例 设函数 f(x)对任意 x、y R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x>0 时,f(x)<0 , f(1)=-2求证：f(x)为奇函数试问在-3 <

31、x<3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解:f(x)对于任意x、y R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 成立.令x=y=0，得 f(0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0再令 y=-x，得 f(0)=f(x)+f(-x)，即 f(-x)=-f(x)，.°.f(x)为奇函数设 X1<X 2 时，且 X1、X2 R,那么 f(X2-Xl)=f X2 + (-X 1) =f(X 2)+f(-X I)=f(x 2)-f(X 1),由 X>0 时，f(X)<0 ,.°.f(X2-X1)vO，即 f(X2)-f(X 1)&l

32、t;0f(X2)Vf(X 1),.，.f(x)在 R 上为减函数f(X2)在-3 , 3 上，当 X=-3 时，f(X)取最大值，即 f(X) maX=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6 当 X=3 时，f(X)取最小值，即 f(X) min =f(3)=-6.第二章根本初等函数 一、运算公式1、指数幕 a+ n 石； aras= ar s( a>O,r,s Q)；(ar)S= ar*s (a>O,r,s Q); (ab)r= arbr (a>0，b>0，r Q胃 n am2、对数(a>0,且 a工1，m 0,且 m 1, M>0,N>0 log

33、a(MN) logaM loga N ;®lOgalOga M lOg a N ; lOQ Mnloga M(n R)二 lOgaNNlog m Nlog m a推论 logambn log a b (a 0且 a 1, m,n 0，且 m 1,n 1, N m二、指数函数及其性质0).1、 指数函数的概念：一般地，函数y axa 0,且a 1叫做指数函数，其中x是自变量, 函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 .2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域R值域y>0定义域R值域y> 0在R上单调递增在R上单调递减

34、非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定函数图象都过定点°，1点°， 1注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：1 在a , b上，fxa °且a 1 值域是卩6或fb,fa；2 假设x °，那么fx1 ； fx取遍所有正数当且仅当x R ；3对于指数函数fx a °且a 1，总有f 1 a ；三、对数函数1、对数的概念：一般地，如果 ax N a °,a 1，那么数x叫做以a为底n的对数， 记作：x loga N a 底数，N 真数，logaN 对数式说明：注意底数的限制a °，且a 1 ；2 ax N loga N x

35、 ；2、两个重要对数：常用对数：以1°为底对数；自然对数：以无理数e 2.71828 为底的对数ln N。3、对数函数对数函数的概念：函数y lOgaxa °，且a 1叫做对数函数，其中x是自变量，函 数的定义域是°，+ X。注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：y 2iog2x，xy 55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。对数函数对底数的限制：a °，且a 1.对数函数的性质：a>1°<a<1-2 -1140.1015-，定义域x >0定义域x > 0值域为R值域为R在R上递增在R

36、上递减函数图象都过 定点1，0函数图象都过定点1，0四、幕函数1、 幕函数定义：一般地，形如y x a R的函数称为幕函数，其中为常数。2、幕函数性质归纳所有的幕函数在0， + %都有定义并且图象都过点1 , 1 。0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0，上是增函数。特别地，当 1时,幕函数的图象下凸；当01时，幕函数的图象上凸。 0时，幕函数的图象在区间0，上是减函数。在第一象限内，当X从右边趋向原 点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴在第一象限内，过1,1点后,胡越大,图象下落的速度越快.解析式fx xa，当a=1时，一次函数；当a

37、=2时，二次函数；当a=-1时，反比例第三章函数的应用第四章空间几何体一、空间几何体的结构棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD'。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平 行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

38、，由这些面所围成 的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。表示：用各顶点字母，如五棱锥 p a'b'c'd'e'。几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶 点到截面距离与高的比的平方。棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。 表示：用各顶点字母，如五棱台 P A'B'C'D'E' 。几何特征：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱

39、锥的顶点。圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展 开图是一个矩形。圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的局部。几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个 弓形扇环。球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的

40、三视图和直观图1三视图：正视图：从前往后；侧视图：从左往右；俯视图：从上往下。2 画三视图的原那么：长对齐、高对齐、宽相等。3 直观图：斜二测画法。 4 斜二测画法的步骤：在图形中取相互垂直的 X轴和y轴，两轴相交于0。画直观图时，把它们画成对 应的X'轴与y'轴，两轴交于点0'，且使x'0'y' 45 或135 ，它们确定的平面表示水平面。图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X'轴或y'轴的线段;图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段，长度为原来的一半。5用斜二测画法画出长方体的步

41、骤：画轴；画底面画侧棱成图三、空间几何体的外表积与体积1、空间几何体的外表积与体积体名棱柱棱锥圆柱圆锥圆台球外表积各面积和2 rl 2 r22rlrrl r2 RlR24 R2体积S底h3 s底h1 ._ S上 出 S上 S下Sr h3*-nR33第五章 点、直线、平面之间的位置关系一、空间点、直线、平面的位置关系公理1 :如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线此平面内。应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示：A l,B I,且A ,B l公理2 :过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平 面。公理2及其

42、推论的作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。平面a和B相交,交线是a，记作aPpa。公理3为：P 且PI且P I公理3作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证假设干个点共线的依据。二、空间直线与直线之间的位置关系 共面平行+相交或异面；平行或不平行相交 +异面 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。相交。 判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角：作平行，令两线相交

43、，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90。,假设两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。2、求异面直线所成角步骤：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时 平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。证明作出的角即为所求角利用三角形 来求角3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。三、空间直线与平面之间的位置关系：1、 三种位置关系直线在平面内：I，有无数个公共点；直线不在平面内：相交：IA，有一个公共点；平行：I / ，无公共点2、直线与平面平行判定定理：平面外的一条直线和这个平面内的一条直

44、线平行，那么这条直线和这个平面 平行。a ,b ,且a / b a /。做题思路：在平面内“找出 一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。 即将“空间问题转化为“平面问题。性质定理：一条直线和一个平面平行，那么过这条直线的任一平面和这个平面的交线， 与该直线平行。3、直线与平面相交：斜交和垂直。直线与平面所成的角，0 ,90 直线与平面垂直 定义：如果直线I和平面 内的任何一条直线都垂直，那么说直线I和平面互相垂直，记作I 判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么该直线与此平面垂直。做题思路：在平面内“找出两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面 垂直。即将“线面垂直转

45、化为“线线垂直 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。四、平面与平面之间的位置关系1、 平行：没有公共点；/ 。相交I :有一条公共直线，斜交和垂直。2、平面与平面平行判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。做题思路：在一个平面内“找出两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题转化为“线面平行问题。性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。3、平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。做题思路：转化二面角为直角；“找出 一条直线与另一平面垂直，将“面面垂直问题转化为“线面垂直问题性质定理：两个平面垂直，那

46、么一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。做题思路：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线五、有关概念II1、异面直线所成的角：两条异面直线a,b，经过空间任意一点O作直线a / a,b / b我们把a'与b所成的锐角或直角叫异面直线 a与b所成的角夹角。0 ,902、 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0。的角。0 ,903、 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做

47、二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点 O,以该点为垂足，在两 个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 OA、OB,那么OA、OB构成的 AOB叫二面角的平面 角。 0 ,180 。 90时直二面角4、点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线， 那么这个点和垂足间的距离叫做这 个点到这个平面的距离5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面 的距离，叫做这条直线和这个平面的距离6、和两个平行平面同时垂直的直线， 叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平 面间的局部，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线

48、段的长度叫做两个平行平面间的距离。第六章直线与方程、倾斜角：直线I向上方向与x轴正向夹角a。注意0 Wa W0、斜率：直线I的倾斜角的正切值。即k=tan a注意倾斜角为90 直线斜率k不存在。斜率公式P1x1y1、P2X2,y2。k y2 力x2 x-i三、直线关系判定及性质：方程组的解1、设 h : y k/ d， I2: yk?x b? dk1 k2,b b2 方程组无解，11与12重合kik2, b b2 方程组无数解 l1l2k1k21。2、设 l1 : A1x B1y C10， l2: A?xB 2 y C2且Ai、A2、B1、B2都不为零,li / I2C 方程组无解I； I1与

49、I2重合A1AB12-C± 方程组无数解C 2四、直线的五种方程i、点斜式：yyik(x2、斜截式：ykxb(b3、两点式：yyiXy2yiX24、截距式：Xyi (a、ab5、 般式：AxByCxj 直线I过点PyJ，且斜率为k。为直线I在y轴上的截距。乞(yi y2)(P(Xi,yi)、P2(x2,y2)(Xi X2)。xib分别为直线的横、纵截距，a b 0。0其中A、B不同时为0。五、平面两点AXi,yJ , BX2,y2间的距离公式uuuUIW iundA,B= | AB| . AB AB . (x2Xi)2 (Y2 yi)2六、点P(x0, y0)到直线l : Ax By

50、C o的距离两平行线距离：可转化为点到直线距离d Ax 0 By 0 C.A2 B2七、四种常用直线系方程1、定点直线系方程：经过定点Poxo,y°的直线系方程为y yokx x°除直线x x°,其中k是待定的系数；经过定点丘仪。的直线系方程为Ax X。By y。0,其中代B是待定的系数.2、 共点直线系方程：经过两直线li： AiX Biy Ci 0,l2：A2X B?y C2 0的交点的直线 系方程为Ax Biy CiA2X B2y C2 0 除 I2,其中入是待定的系数.3、 平行直线系方程：直线y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方 程.

51、与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By 00,入是参变量.4、 垂直直线系方程：与直线Ax By C 0 A工0 , B工0垂直的直线系方程是Bx Ay0,入是参变量.第七章圆与方程、圆的方程1、标准方程x a 2 y b 2 r2，圆心a, b，半径为r；点M(xo,y。)与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系：当(X。a)22 2(yo b) > r ，点在圆外当(X。a)2(yo b) = r ，点在圆上当(X。a)2(yo b)2< r2，点在圆内。2、一般方程x2 2y Dx Ey F o当D2E24F o时，方程表示圆，此时圆心为D, E，半径为 r 1.D2 E2 4F2 2 22当DE24F o时，表示一个点；当D2E24F o时，方程不表示任何图形。、求圆方程的方法:一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方 程，需求出a，b，r;假设利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过