流体力学-第六章1-2

1、 流体力学（第六章 流体的无旋流动和有旋流动流体的无旋流动和有旋流动）同济大学汽车学院同济大学汽车学院第六章，第七章 作业6-1，6-2，6-87-1，7-3，7-77-11，7-18，7-22第12周交目 录前言前言第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 流体的物理性质及作用力流体的物理性质及作用力第三章第三章 流体静力学流体静力学第四章第四章 流体运动学流体运动学第五章第五章 流体动力学的基本原理流体动力学的基本原理第六章第六章 流体的有旋流动和无旋流动流体的有旋流动和无旋流动第七章第七章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析第八章第八章 粘性流体力学粘性流体力学第九章第九章 气体动力学气体动

2、力学第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加6 叶栅的库塔叶栅的库塔- -儒可夫斯基公式和库塔条件儒可夫斯基公式和库塔条件1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析1、移动移动2、线变形运动线变形运动3、角变形运动角变形运动4、旋转旋转刚体运动一般可分解为移动和转动两部分，而流体微团的运动一般可以分解为移动、转动和发生变形运动三部分。、流体微团运动的分析

3、、流体微团运动的分析1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析vw角变形速度角变形速度旋转角速度旋转角速度zvywyz21xwzuzx21yuxvxy21zvywx21.xwzuy21.yuxvz21由此可见，流体微团各速度分量的第一项是平移速度分量，第二是线变形运动、第三项是角变形运动、第四项是旋转运动，流体运动的线速度就是有以上各项分量所引起的。平移速度分量平移速度分量线性变形率线性变形率uxuxxyvyyzwzz1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析111111yzzyxuuzyxzxyxx111111xxzyyvvxzyzyxyy111111xyyxzwwyxxyzxzz1、平移项、平

4、移项2、线变形项、线变形项3、角变形项、角变形项4、旋转变形项、旋转变形项1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析二、流体的有旋流动和无旋流动二、流体的有旋流动和无旋流动 1 1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。2 2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。3 3、在无旋流动中角速度为零，即、在无旋流动中角速度为零，即 所以每一流体微所以每一流体微团都满足下列条件：团都满足下列条件： 0zyxzvywxwzuyuxv必须指出，必须指出，有旋流动和无旋流动仅有流体有旋流动和无

5、旋流动仅有流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关微团本身的运动轨迹无关。第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加6 叶栅的库塔叶栅的库塔- -儒可夫斯基公式和库塔条件儒可夫斯基公式和库塔条件2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论一、流体旋涡运动的基本概念一、流体旋涡运动的基本概念由于

6、流体在流动中存在粘性，所以自然界中的流体运动一般都是有旋的。流体的旋涡运动分两种情况：1、流体作圆周运动的旋涡运动2、流体宏观流动并无明显旋转或圆周运动，但流体微团的角速度不为零。2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论 流体在整个流场中作旋涡运动，或者局部流场区域中存在绕自身轴线旋转的流体微团，于是便在该流场中形成一个用角速度表示的涡量场。在涡量场中引进涡线、涡管、涡束和涡通量。VrotV2zvywxx.2xwzuyy.2yuxvzz21、涡量、涡量场涡量是流体微团的旋转角速度的两倍有涡量存在的流场称为涡量场。2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论zyxdzdydx2、涡线

7、涡线 涡量场中，任一瞬时 ，过任一点 可作一条曲线，使曲线上每一点的切线与该点处的流体微团的涡量 之方向一致。这样的曲线称为涡线。与流线一样，涡线也不能相交和折转，不定常时涡线形状随时间而变。3、涡管涡管 过涡场中任意一封闭曲线上所有点作涡线，形成一个管状柱面，称为涡管。Pt5、旋涡强度（涡通量）旋涡强度（涡通量）穿过任意面积上的法向涡量与面积的乘积定义为旋涡强度，也称为涡通量2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论dAndAdIn224、涡束涡束过涡管截面上所有点之涡线总体，称为涡束。涡束内部的流体可以像刚体旋转那样，流体各微团都以相同的角速度作圆周运动；也可以是宏观上并不作圆周运动

8、而流体微团绕自身轴线旋转的有旋流场。 AAndAndAI22速度环量的定义速度环量的定义：速度环量：速度环量 为速度为速度 沿流场中任意封闭曲线沿流场中任意封闭曲线 的线的线积分积分2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论VC二、速度环量二、速度环量CCCCSwdzvdyudxSdVdSVdSVcos速度环量是标量速度环量是标量，它的正负号不仅与速度的，它的正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。 为统一起见，为统一起见， 特规定沿封闭周线绕行的正方特规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。被包围面积的法线的正方向为逆时针方向。被包

9、围面积的法线的正方向应与绕行的正方向成向应与绕行的正方向成右手螺旋系统右手螺旋系统。斯托克斯定理为：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。 2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论dAdxdyyuxvdz2dyvdxudyvdxudDACDBCAB三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理dIdAdz21 1、微元面积上的斯托克斯定理、微元面积上的斯托克斯定理CAdxdyyuxvdzdxxwzudydzzvywwdzvdyudx任意曲线上的环量等于所围面积任意曲线上的环量等于所围面积 中的旋涡强度中的旋涡强度2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本

10、理论iiidAd2iiidAd2A2、任意平面面积任意平面面积 上的斯托克斯定理上的斯托克斯定理CAAzdAdxdyyuxvvdyudx2A以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立3、空间任意曲面 上的斯托克斯定理dAdsVAnC22 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论ACAdxdyyuxvdzdxxwzudydzzvywwdzvdyudx2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论若曲线上的环量等于零，则所围区域内不一定是无旋的。4、斯托克斯定理推得的结论斯托克斯定理推得的结论若区域内处处无旋，则区域周边的环量等于零；若区域内处处有旋，则

11、区域周边的环量一般不等于零；若曲线上的环量不等于零，则所围区域内必定有旋；2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：1、它可以将对涡量的研究转化为对速度环量的研究，即将面积分转变为 线积分。2、速度环量是否为零也可以决定流动是有旋还是无旋。3、在用速度环量来判断流动是否有旋时必须注意：包围某区域的环量为 零，该区域内不一定是无旋流动，因为有可能有反向旋转的涡量存在。2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论关于非单连通域问题关于非单连通域问题0bdbaeab0baaeabadbbbdbaeabbab

12、aCdbbCaeaCC包围机翼的任意封闭曲线上的环量等于机翼周线上的环量值2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论关于速度间断面上的旋涡问题关于速度间断面上的旋涡问题01212UUllUlUabcda00211221UUUUyuxvz2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论汤姆逊定理：汤姆逊定理：在理想流体运动中，若质量力有势，流体满足正压条件，对某一封闭的流体线的速度环量值不随时间而变化。即流体线上的环量等于常数（环量守恒定理）四、汤姆逊定理四、汤姆逊定理环量守恒定理环量守恒定理0DtD根据斯托克斯定理：根据斯托克斯定理：流体线内部区域的旋涡强度也不随时间变化，即原先是有旋的

13、流体，则永远有旋，若原先无旋则永远无旋。这说明，流场中的旋涡不可能凭空产生、也不可能凭空消失。因为理想流体没有粘性，不存在切向应力，不能传递旋转运动，既不能让不旋转的流体微团旋转起来，也不能使已经旋转的流体微团停止旋转。另外，正压性流体和质量力有势的流场等压面与等密度面是平行的，不会产生对流。2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论理想流体从静止开始运动前，理想流体从静止开始运动前，由于静止流场中每一条封闭周线的速度环量都等于零，而且没有漩涡，所以在流动中环量仍然等于零没有旋涡。理想流体从静止开始流动后，理想流体从静止开始流动后，由于某种原因流场中产生了漩涡，有了速度环量，则根据汤姆逊

14、定理，在同一瞬间必然会产生与此环量大小相等方向相反的旋涡，以保持流场的总环量等于零保持流场的总环量等于零。2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论亥姆霍兹第一定理：亥姆霍兹第一定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永 远保持为有相同流体质点组成的涡管。亥姆霍兹第二定理：亥姆霍兹第二定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。亥姆霍兹第三定理：亥姆霍兹第三定理：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管 的旋涡强度不随时间而变化，永远保持定值。五、亥姆霍兹旋涡定理五、亥姆霍兹旋涡定理2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论dlrrdlVL2,sin4六、毕奥六、毕

15、奥沙伐尔定理沙伐尔定理涡强为 的直线涡段 对垂直距离为 的任意位置 点处之诱导速度为：ABhPsin,sinrdlsinhr drddlsin式中：1121sin44sinsin42dhrddrdrVL2 流体流体漩涡运动的基本理论漩涡运动的基本理论212coscos4sin44sinsin41121dhrddrdrVL21, 0hV2对无限长直线涡对半限长直线涡hV4RV221,2对圆形涡环第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体

16、的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加6 叶栅的库塔叶栅的库塔- -儒可夫斯基公式和库塔条件儒可夫斯基公式和库塔条件3 平面势流问题平面势流问题一）平面流动平面流动必须满足的条件：平面流动必须满足的条件：1、平面上任何一点的速度、加速度都平行所在平面，无垂直该平面的分量 存在2、相互平行的所有平面上的流动情况完全一样3、实际情况不存在平行平面完全一样的流动，然 而这类问题完全可近似地作为二元流动问题来 处理3 平面势流问题平面势流问题zvywxwzuyuxv二、速度势函数二、速度势函数1 1、速度势函数、速度势函数 存在的条件：存在的条件：在无旋流动

17、无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数 ，它和，它和速度的三个分量的关系为：速度的三个分量的关系为：xuyvzwkwj vi uv3 平面势流问题平面势流问题b、对于无旋流动引入速度势函数，可以将流场中速度三个分量的求解变 为求解一个速度势函数的问题a、不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常 流动，只要满足无旋条件只要满足无旋条件，必然有速度势存在2 2、速度势函数性质的几点讨论、速度势函数性质的几点讨论c、速度势函数与环量之间的关系： 流场无

18、旋则环量等于零 两点间线积分与路径无关 存在 速度势函数 流场必定为无旋3 平面势流问题平面势流问题0zwyvxuV22xxu22yyvd、在不可压缩流体的有势流动不可压缩流体的有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程，即速 度势函数是调和函数02222222zyxe、任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差，而与曲 线形状无关BABABABAABdvdyudxdsV连续性条件22zzw3 平面势流问题平面势流问题0yvxuyvxu0vdxudy三、流函数1 1、流函数的引入、流函数的引入对于不可压缩流体的平面流动有连续性方程如下：根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的根据数学分析

19、可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件连续性条件是是 成成为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。udyvdxdyydxxdyuxv0vdxudy（流线方程）（连续性方程）1、对于不可压缩流的二维流动不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没 有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外）。3 平面势流问题平面势流问题2 2、流函数的性质几点讨论：、流函数的性质几点讨论：udyvdxdyydxxd3、由全微分式 可知，在每一条流线 上 ，流函数 都有各自的常

20、数值，流函数的等值线就是流线流函数的等值线就是流线。0d0vdxudyyxxy222、对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程流函数永远满足连续性方程。0yvxuyuxv5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位 厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差， 与流线形状无关。3 平面势流问题平面势流问题4、对于不可压缩流体的平面势流不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和流函数也是调和 函数函数。ABABABnABBAdydxxdSVQ022222yx0z0yuxvyuxv3 平面势流问题平面势流问题yxxy四、速度势函数 与流函数 的关系对于不可压缩流体平

21、面无旋流动不可压缩流体平面无旋流动，必然同时存在速度势函数和流函数，它们之间的关系为：0yyxxyuxuxvyv上式为等势线族和流线族相互正交的等势线族和流线族相互正交的条件条件。 在平面上等势线族和流线族可构成正交网格成为流网在平面无旋流动情况下，流函数或速度势函数都满足拉普拉斯方程（椭圆形方程）。由数理方程理论，满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，根据调和函数的性质可知，若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，仍然可以作为代表某一有势流动的流函数或速度势函数。3 平面势流问题平面势流问题321032221232122五、势流叠加原理五、势流叠加原理03222122研究势流叠加原理的意义在于，

22、将复杂的是流分解成一些简单的是流，将求得的简单是流的解叠加起来，就可得到复杂流动的解。第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加6 叶栅的库塔叶栅的库塔- -儒可夫斯基公式和库塔条件儒可夫斯基公式和库塔条件4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动sincosyxVsincosxyVCgpz一）平行流一）平行流流体作等速直线流动

23、，流场中各点速度的大小和方向都相同。流体作等速直线流动，流场中各点速度的大小和方向都相同。速度势函数：速度势函数：流函数：流函数：伯努利方程：伯努利方程：Cp yuxuxvyvvdyudxdyydxxdudyvdxdyydxxdvyuxuxvx4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动rQln22Qpvpr22二）点源和点汇二）点源和点汇无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地从各方无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地从各方流入的流动现象称为流入的流动现象称为点汇点汇；若流体沿径向均匀地；若流体沿径向均匀地向各方向流出的流动现象称为向各方向流出的流动现象称为点源。点源。流

24、函数：流函数：速度势函数：速度势函数：伯努利方程：伯努利方程：22218rQpp rr0rVr0VdrVdrrQVr2dQrdVdrVdr2由涡束以等角速度绕自身轴线旋转而诱导出的平面环流称为涡流；当涡束的半径趋于零，以上的涡流便称为点涡。各圆周上流体的流速沿半径的变化规律可用斯托克斯定理求得：4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动contIrV2三）涡流和点涡三）涡流和点涡涡束外涡束外2222182rpvpprv2涡束边缘涡束边缘2222182bbbrpvppbbrv24 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动0rVrrrV210brv

25、点涡的速度势函数和流函数2ddrrd2rln2drrrdvdrvdr2积分得：积分得：4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动涡束内 为有旋流动流体的压强可以用欧拉运动微分方程求得22222brrpp涡束内任一点的速度yuxvypyvvxvu1xpyuvxuu1ypy12xpx12dyypdxxpydyxdx12dpyxd1222CVCrCyxp222222222brr bbVVpp,边界条件边界条件涡束内任一点的压力4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动

26、分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体的平面流动几种简单的不可压缩流体的平面流动5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加6 叶栅的库塔叶栅的库塔- -儒可夫斯基公式和库塔条件儒可夫斯基公式和库塔条件强度为 ，为原点的点源流和平行于 轴的直线流叠加。Qx5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加cos1rVsin1rV一）点源流和平行流相叠加rQln2222QrQrVln2cos212sin21QrV5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加0rVVQy2求驻点位置sinVrVcos21rVQrrVr0V令令则则,

27、0cos2VQr驻点位置VQr2过驻点的流线5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加二）点汇和点涡螺旋流rQln22Q点汇2rln2点涡螺旋流rQln21rQln215 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加rrV21222122221118rrQrpp令上两式等于常数，便可得到等势线和流线QeCr1螺旋流rQln21rQln21QeCr2rQrVr25 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加222221lnln2)ln(ln2yxyxQrrQ三）点源和点汇偶极子流xyxyQarctanarctan221222yxxM222yxyM0QMQ 5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加222yxxMC

28、yxyM222Cyxy22222yxyM分析偶极子流动情况：CyxxM222Cyxx225 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加四）平行流绕圆柱无环量流动为平行流和偶极流叠加而成的平面流动0CCyxyMyV222即即0yVMyx222流线方程cos11222022022rrrVyxrxVyxxMxVsin112220222022rrrVyxryVyxyMyV0rr 零流线5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加cos1220rrrVsin1220rrrV0rr cos1220rrVrVrsin11220rrVrV0rr 0rVsin2VV流场中任一点的速度分量：5 平面无旋流动的叠加平面无旋流

29、动的叠加2222VpVp22sin4121VppCp圆柱面上任一点的压强：圆柱面上任一点的压强：2sin4121Vpp5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加dprdFxcos0达朗伯疑惑dprdF0dprdFysin00cossin412102220drVpFFxD0sinsin412102220drVpFFYL5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加五）平行流绕圆柱有环量流动2cos1220rrrVrrrrVln2sin12200rr cos1220rrVrVrrrrVrV2sin1122005 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加cos1220rrVrVrrrrVrV2sin112200

30、rr 0rV02sin2rVVrcos VVrsinVV流场中任一点的速度分量：边界条件：05 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加Vr04sinvr04vr040V02sin2rVV求驻点：求驻点：vr041sin1sin1sin0若若则有：则有：5 平面无旋流动的叠加平面无旋流动的叠加2000cos dprFFxD圆柱面上压强分布：2022222sin2212121rVVpVVVppr单位长度圆柱体的阻力和升力：200sinVdprFFyL库塔库塔-儒可夫斯基升力公式儒可夫斯基升力公式升力方向为来流方向沿环量方向反转升力方向为来流方向沿环量方向反转900第六章第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动流体的有旋流动和无旋涡运动1 流体微团运动分析流体微团运动分析2 流体流体旋涡运动的基本理论旋涡运动的基本理论3 平面势流问题平面势流问题4 几种简单的不可压缩流体