流体力学第三章

1、研究流体的运动规律（速度、加速度、变形等运动参数的变化规律），由于不涉及力，故对理想流体、粘性流体均适用。研究流体运动的两种方法流体质点的加速度、质点导数流体运动的基本概念连续性方程流体微元的运动分析有旋运动和无旋运动速度势函数流函数几种简单的平面势流势流叠加原理几个常见的势流叠加的例子1.拉格朗日法（随体法）t0时，坐标a、b、c作为该质点的标志x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)速度：ttcbaxux),(ttcbayuy),(ttcbazuz),(ttcbauaxx),(ttcbauayy),(ttcbauazz),(加速度：物理概念清晰，但处理

2、问题十分困难研究流体运动的两种方法2.欧拉法（局部法、当地法）某瞬时，整个流场各空间点处的状态),(tzyxuuxx),(tzyxuuzz),(tzyxuuyy),(tzyxpp ),(tzyx以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法1.流体质点的加速度dtudadtduaxxzuuyuuxuutuxzxyxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzz同理流体质点的加速度、质点导数dtdzzudtdyyudtdxxutuxxxx2.质点导数对质点的运动要素A：AutAdtdA时变导数位变导数uutudtuda时变加速度位变加速度1.恒定流与非恒定

3、流（1）恒定流（2）非恒定流所有运动要素A都满足0tA0tA2.均匀流与非均匀流（1）均匀流（2）非均匀流0Au0Au流体运动的基本概念例：速度场求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流。j txyi txyu)96()64(（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解：dtduaxx)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy2/4smax2/6smayjia64 2/smzuuyuuxuutuxzxyxxxjtuitutuyx（2）是非恒定流（3）是均匀流uu0)96()64(jxyixy0iyuuxuuiyuuxuuyy

4、yxxyxx3.流线与迹线（1）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切流线微分方程：流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致性质：一般情况下不相交、不折转1u2u)( rd)(uzyxuuudzdydxkjiurdzyxudzudyudx流线微分方程0（2）迹线质点运动的轨迹迹线微分方程：对任一质点迹线微分方程dtudxxdtudzudyudxzyxdtudyydtudzz例：速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图； （2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。解：（1）流线： 积分：btdyadxcxabt

5、yoyxc=0c=2c=1t=0时流线oyxc=0c=2c=1t=1时流线oyxc=0c=2c=1t=2时流线流线方程（2）迹线： 即dtbtdyadxdtadxdtbtdy222xaby 迹线方程（抛物线）oyx注意：流线与迹线不重合txatxadtdx00tytbybtdtdy0202例：已知速度ux=x+t，uy=y+t求：在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。解：（1）流线： 积分： t=0时，x=1，y=1c=0tydytxdxctytx)(ln(流线方程（双曲线）1xy（2）迹线：dttydydttxdxtydtdytxdtdx1121tecytecxtt由t=0时，x=1，y

6、=1得c1=c2=0迹线方程（直线）2 yx11tytx（3）若恒定流：ux=x，uy=y 流线 迹线1xy1xy注意：恒定流中流线与迹线重合4.流管与流束流管在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面5.过流断面在流束上作出与流线正交的横断面12注意：只有均匀流的过流断面才是平面例：121处过流断面2处过流断面流束流管内的流体6.元流与总流元流过流断面无限小的流束总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成7.流量体积流量质量流量不可压缩流体AudAQAmudAQQQmsm /3skg/8.断面平均流速AQv vAQ 实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式o

7、yxzdmxdmxdxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)(dxdydzdtxudmdmMxxxx)(连续性方程同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtzuMzz)(dt时间内，控制体总净流出质量：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(udivt连续性方程的微分形式不可压缩流体即0udivc0zuyuxuzyx例：已知速

8、度场 此流动是否可能出现？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现0)2(2)2(2txxt例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44 积分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(42.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则dtQdtQ2211222111AvAv连续性方程的积分形式不可压缩流体21QQ c2211AvAv分流时合流时iQQQQi

9、2211QQ刚体平移、旋转流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形流体微元的运动分析流体微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.线变形速度：xuxxyuyyzuzzx方向线变形xdtxdtxudtudtxxuuxxxxx是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度dtxuxxdtxuxAAyydtyuyydtyuyBBxx逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21urotukjizyx2121dtdtyuxuzxy2121是微团

10、绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形：dtdtyuxuzxy2121zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：cy 0 xuxx0yuyy221kyuxuxyz221kyuxuxyzxyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例：平面流场ux=ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析

11、流场运动特征解：流线方程：cyxkxdykydx22（流线是同心圆族）线变形：0yx（无线变形）角变形：0z（无角变形）旋转角速度：kkkz21（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动00即：0 x0y0zzuyuyzxuzuzxyuxuxy有旋流动和无旋流动例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流zxyoux021)0(21aayuxuxy21相当于微元绕瞬心运动例：速度场ur=0 ，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoruxuyupsinuu

12、xcosuuy021yuxuxyz是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。22yxbyryrb22yxbxrxrb无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速 度 势 函 数0由函数的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得

13、即拉普拉斯方程0zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022为拉普拉斯算子， 称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）),(rrurru01222222rrrr不可压缩平面流场满足连续性方程：0yuxuyx即：yuxuyx由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件dxudyudyx函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；c0d0dxudyuyxyxudyudx证明：流线方程（2）两条流线间

14、通过的流量等于两流函数之差；证明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）流线族与等势线族正交；0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线利用（2）、（3）可作流网（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解

15、：022xxyuxuyx（1） 满足连续性方程021yuxuxyz（2） 是无旋流（3）无旋流存在势函数：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000取（x0，y0）为（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 满足拉普拉斯方程， 是调和函数2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函数xydxdyyxdxudyudyx222取（x0，y0）为（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo

16、112323几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：1122o34ur源点o是奇点r0 ur速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）汇流 流量1122o34汇点o是奇点r0 urrQur2rQln22QQQ（3）环流势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度势函数流函数

17、速度场环流强度常数rurdu220逆时针为正1122o34u也满足同理，对无旋流：势流叠加原理012022210202势 流 叠 加 原 理（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u02sin021QrurQruln2cos021S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤：找驻点S：rQurur2cos0sin10uru, 00u0ru将代入（舍去）将代入得驻点的坐标：00r02 uQrsu0Sors（1）（2）由（2）由（1）02 uQrs将驻点坐标代入流函数，得2Qs则通过驻点的流线方程为22sin0QQru给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线04,23,2uQyr02,uQxrss,2 , 0r流线以为渐进线02uQy 外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）（2）等强源汇流（用极坐标直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）21212122rrlnqrlnrlnq22222yaxyaxlnqxyoaarr1r2P(x,y)12q-q势函数流函数21212qaxyarctgaxyarctgq2源流和汇流的叠加当a0，q，2qa常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简222yxxM222