正弦定理应用举例

1、：目标视线在水平线上方的叫仰角;：目标视线在水平线下方的叫俯角；：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角仰角俯角俯角O解斜三角形中的有关名词、术语解斜三角形中的有关名词、术语：从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为 ,从从B处望处望A处的俯角处的俯角为为 ,则则 的关系为的关系为( )., . A.B0.90C0.180CACB51o55m75o例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm

2、，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABCD.,),(,2两点间距离的方法设计一种测量达不可到两点都在河的对岸、如图例BABAABCDa解：如图，测量者可解：如图，

3、测量者可以在河岸边选定两点以在河岸边选定两点C、D，设，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出A

4、C和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解基线基线的概念的概念练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile

5、/ hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离

6、为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离都的距离都等于等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030o o，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060o o，则，则A A、B B之间的距离为多之间的距离为多少？少？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距

7、离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点

8、，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 测量垂直高度

9、测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 .,. 3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于

10、建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一

11、条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出

12、法计算出AB或或AC的长的长A AB BC CD D )(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，A AB BC CD D 1.如图如图,B,C,D三点在地面一直线上三点在地面一直线上,DC=a,从从C,D

13、两点测得两点测得A点的仰角分别是点的仰角分别是 ,则则A点离点离地面的高地面的高AB等于等于( ), () ABDCsinsin.cos()aAsinsin.sin()aBsincos.sin()aCcoscos.cos()aD2.有一幢有一幢20m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600 ,塔基的俯角为塔基的俯角为450 ,则塔高为则塔高为( )3. 20(1)3Am. 20(13)Bm. 10( 62)Cm. 20( 62)Dm:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmil

14、eCACnmileBBnmileA确到距离精角度精确到需要航行多少距离航行此船应该沿怎样的方向出发到达航行直接从如果下次后到达海岛的方向航行东沿北偏出发然后从后到达海岛航行的方向沿北偏东出发一艘海轮从如图例例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角

15、度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC已知两座灯塔已知两座灯塔A和和B与海洋观察站与海洋观察站C的距离相等的距离相等,灯塔灯塔A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东400 ,灯塔灯塔B在观察站在观察站C的南偏东的南偏东600,则灯塔则灯塔A在灯塔在灯塔B的的( ).A. 北偏东北偏东100B. 北偏西北偏西100C. 南偏东南偏东100D. 南偏西南偏西100例例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这，这个区域的面积是多少（精确到个区域的面积是多少（精确到0.1cm）?ABC).coscoscos(22sinsinsin19222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求证：在例总总 结结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明